שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך Math-Wiki
 
(541 גרסאות ביניים של 73 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 13: שורה 13:
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 9| ארכיון 9]]
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 9| ארכיון 9]]
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 10| ארכיון 10]]
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 10| ארכיון 10]]
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 11| ארכיון 11]]
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 12| ארכיון 12]]
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 13| ארכיון 13]]
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 14| ארכיון 14]]
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 15| ארכיון 15]]


=שאלות=
=שאלות=


== שלילת הגבול של פונקציה ==
== הערה בקשר למבחן ביום שני ==
 
אני תלמיד של מיכאל שיין ולא היה לנו תרגול אחד על חתכי דדקינד בכל הסמסטר ואני בספק אם מישהו יודע איך לפתור את התרגילים בנושא חתכי דדקינד.
 
אשמח אם תתחשבו בנו.
 
:מצטרפת. לא היו שיעורי בית בנושא, בהרצאה לא פתרנו תרגילים, ואין במיזלר. אשמח אם תענו לי למטה על השאלה לגבי חתכי דדקינד.
 
 
מצטרף גם.. אין לנו מושג איך לגשת לתרגילים האלו כי אף פעם לא הראנו לנו איך לפתור תרגילים כאלה.. אפשר להעלות חומר ללימוד או לפחות פתרון לתרגיל שאדווארד העלה לאתר:
http://sites.google.com/site/eduardkontorovich/


אפשר את ההגדרה של שלילת גבול של פונקציה
אני חושב שכמעט אף אחד בקבוצה לא יודע לפתור תרגילים כאלה..
תודה
::ואם מישהו יודע (ולא נראה לי), אז הוא בטוח למד ממקור נוסף שאני לא מכירה.


===תשובה===
http://dl.dropbox.com/u/2237179/infi1dedekind.pdf
שלילת הגבול לפי קושי:
 
== שאלה בקשר למבחן ביום שני ==
 
מישהו יכול בבקשה לפרט אילו שאלות עלולות להופיע במבחן באינפי 1 ביום שני? יופיעו שאלות חישוביות?
תודה.
:תלוי באיזו קבוצה אתה. אם אתה אצל התיכוניסטים, מבנה המבחן הוא כדלקמן:
:יש שש שאלות ואין בחירה ביניהן, סה"כ זמן המבחן שעתיים וחצי. כל שאלה 18 נקודות = סה"כ 108 נקודות.
:תהיה שאלה על סדרות, על טורים, על פונקציות (גבולות וכדומה), רציפות/רציפות במ"ש, נגזרות ויישמון של נזגרות (טיילור, לופיטל וכו...). עבור תלמידיו של ד"ר שיין - יהיו חתכי דדקינד במקום ישומי הנגזרות.
:כל מה שנכתב כאן נאמר על ידי ד"ר הורוביץ.
:[[משתמש:Gordo6|גל א.]]
::לא בדיוק - גם בקבוצה של שיין לופיטל בחומר.
 
== שאלה על פתרון שאלה ==
 
תרגיל 10 (http://www.math-wiki.com/images/d/db/10Infi1Targil10Sol.pdf) שאלה 2- כתבתם שקיים M כך ש fx<M>-אמ. אבל אז בפונקציה g לקחתם את הערך 1/M+1 - והרי איך אפשר לדעת בוודאות שהפונקציה רציפה בו (צריך שהיא תהיה רציפה כדי להשתמש במשפט ערך הביניים)? אם f חסומה בין שליש למינוס שליש, אז 1/M+1 הוא 4, והפונקציה מ2 ל4 לא בהכרח רציפה!
:אפשר לקחת M גדול כרצוננו, הרי זה חסם. אם היא חסומה על ידי שליש, היא בוודאי גם חסומה על ידי אחד --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:58, 29 בינואר 2011 (IST)
::אוקי.
 
== עזרה בשאלה ממבחן ==
 
תהי {an} כך שלכל K טבעי <math>a_{2k+1}-a_{2k-1}<0 \and a_{2k+2}-a_{2k}>0</math>, וגם ש <math>lim_{n->infinity}a_{n+1}-a_n=0</math>. הוכח שהסדרה מתכנסת. תודה!
 
:יש תת סדרה מונוטונית עולה, ותת סדרה מונוטונית יורדת. אתה צריך להראות ששתיהן חסומות ולכן מתכנסות, ואחר כך שבהכרח לאותו הגבול. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:55, 29 בינואר 2011 (IST)
::הבנתי אותך. רק לא הצלחתי להוכיח שהתת סדרות חסומות. אפשר עזרה?
:::הסדרה העולה חייבת להיות קטנה מהסדרה היורדת. אם הן היו עוברות אחת את השנייה, ההפרש בין שני איברים עוקבים לא היה יכול לשאוף לאפס. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:06, 29 בינואר 2011 (IST)
::::אוקי..


<math> \lim_{x->x_0}f(x)\neq L</math> אם קיים <math>\epsilon >0</math> כך שלכל <math>\delta >0</math> קיים x כך ש <math>0<|x-x_0|<\delta</math> עבורו מתקיים <math>|f(x)-L|\geq \epsilon</math>
== עזרה בשאלה נוספת ממבחן ==


יהי n טבעי, נניח f מוגדרת וגזירה n פעמים בסביבת 0, ו f0=f'0=f''0=..=f^(n-1)(0)=0 (נגזרות ב0)., f^(n)(0)=5. חשב <math>lim_{x->0}(fx/(sin2x)^n)</math>. תודה מראש
:אני מניח שלקחת את השאלה הזו מתוך מבחן של ד"ר הורוביץ (עשיתי אותה לפני כעשר דקות). שים לב לרמז שמופיעה מתחתיה (כאשר x->0 יתקיים ש sinx/x->1), היעזר בו למציאת פונקציה שתהיה במכנה שתהיה נוחה לגזירה, והשתמש בכלל לופיטל n פעמים. מקווה שעזרתי, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
::לא הבנתי איך אפשר להשתמש ברמז כדי לפתור את התרגיל- גזרתי את הפונקציה עם לופיטל N פעמים ואף פעם לא היה "x" - רק סינוס, קוסינוס ודברים שקשורים לn. לא הבנתי מה זה אומר למה התכוונת כשאמרת להיעזר בו כדי למצוא פונקציה במכנה נוחה לגזירה.
:::<math>Lim\frac{f(x)}{(sin2x)^n}=Lim\frac{f(x)}{(2x)^n}*\frac{(2x)^n}{(sin2x)^n}=...=Lim\frac{f(x)}{(2x)^n}</math> כל הגבולות כאשר איקס שואף לאפס. כעת הפונקציה במכנה "נוחה לגזירה". מה הנגזרת ה-nית שלה? הפעל את כלל לופיטל עבור הנגזרת ה-nית, קבל מסקנה עבור הנגזרת ה-(n-1) והפעל את הכלל שוב ושוב עד שתקבל מסקנה על הפונקציה המקורית. מקווה שעזרתי, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
::::נראה לי שהבנתי. האם הפתרון הוא 5 חלקי N עצרת כפול 2 בחזקת N?
:::::אכן.


שלילות הגבול לפי היינה:
== רציפות במ"ש ==


1. <math> \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)\neq L</math> אם קיימת סדרה <math>x_0\neq x_n \rightarrow x_0</math> כך ש <math>\lim f(x_n)\neq L</math>.
מישהו יכול לעזור לי למצוא שתי סדרות כדי להפריך רציפות במ"ש של פונקציות xsinx xcosx?
:<math>f(x)=xsinx</math> ו<math>x_n=2\pi k, y_n=2\pi k + \frac{1}{k}</math>. אזי <math>f(y_n)-f(x_n)=2\pi k sin(\frac{1}{k}) + \frac{1}{k}sin(\frac{1}{k}) \rightarrow 2\pi + 0 \neq 0</math> --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:11, 29 בינואר 2011 (IST)


2. אם קיימות שתי סדרות <math>x_0\neq x_n,y_n \rightarrow x_0</math> כך שמתקיים <math>\lim f(x_n)\neq \lim f(y_n)</math> אזי אין גבול לf בנקודה x_0
== קירוב ליניארי ==


3. אם קיימת סדרה <math>x_0\neq x_n \rightarrow x_0</math> כך ש <math>\lim f(x_n)</math> לא קיים, אזי אין גבול לf בנקודה x_0
היי ארז,


== תרגיל 8, שאלה 3. ==
באחד המבחנים ביקשו להגדיר את הקירוב הליניארי ולהסביר את חשיבותו....


לא הבנתי איך אמורים להוכיח בעזרת היינה את הגבול של הפונקציה הנתונה, הרי המרצה גם אמר לנו במפורש שאי אפשר להוכיח גבולות בעזרת היינה, מכיוון שאי אפשר להוכיח משהו על כל הסדרות בעולם, ושתמיד צריך להוכיח אם קושי. ?
איך מגדירים זאת בצורה מדוייקת ומה ההסבר הנדרש פה?
אם אי אפשר להוכיח על כל הסדרות בעולם אז אי אפשר להוכיח לפי היינה.... אבל בשאלה הזאת אתה כן מוכיח לכל הסדרות בעולם... (שמתכנסות לאפס מין הסתם)


===תשובה===
תודה!
אפשר להוכיח דברים על כל הסדרות בעולם שמתכנסות לאפס, יש לנו משפטים כאלה. זה לא שאי אפשר אלא שבדר"כ זה קשה יותר. כאן זה לא... --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 01:27, 17 בדצמבר 2010 (IST)
:הצלחתי- והאמת שבקלות! תודה רבה!


== תרגול 9, שאלה 3 ==
:אני לא בטוח למה הוא מכוון בשאלה, עניתי על זה בתרגיל החזרה. מגדירים את זה בצורה מדוייקת (יש את הנוסחא בדפי התרגיל) ולדעתי ההסבר הוא שניתן כך להעריך פונקציות מבלי להיות מסוגלים לחשב אותן במפורש כאשר אנו כן יודעים לחשב את הפונקציה ואת הנגזרת קרוב לערך המבוקש. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 16:56, 29 בינואר 2011 (IST)


הגבול של <math>f(x)</math> הוא ממשי או שגם יכול להיות אינסוף? תודה, [[משתמש:Gordo6|גל]].
== עזרה בפתרון שאלה ==


:ממשי --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 01:29, 17 בדצמבר 2010 (IST)
שאלתי את השאלה קודם, אך אני לא בטוח שהפתרון שנתנו לי נכון, לכן אבקש, ארז, אם תוכל, לבדוק שהפתרון שנתנו אכן נכון. הנה השאלה [[http://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A9%D7%99%D7%97%D7%94:88-132_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90'_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%90#.D7.A2.D7.96.D7.A8.D7.94_.D7.91.D7.A4.D7.AA.D7.A8.D7.95.D7.9F_.D7.A9.D7.90.D7.9C.D7.94]]. תודה!


== תרגיל 9 שאלה 5 ==
:לא קראתי את הפתרון הזה, אבל פתרתי את זה בכיתה בשיעור החזרה. אם a_n אינה קושי, אז היא אינה מתכנסת ולכן הגבול החלקי העליון והתחתון שלה שונים, לכן יש לה תת סדרה ששואפת לעליון ותת סדרה ששואפת לתחתון. ניתן לכן לבנות תת סדרה אחרת כך שאיברים הזוגיים שלה יהיו מהראשונה והאיבריים האי זוגיים שלה יהיו מהשנייה. עבור תת סדרה זו, <math>\lim |a_{n_{k+1}}-a_{n_k}| = \limsup - \liminf \neq 0</math> בסתירה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 16:52, 29 בינואר 2011 (IST)
::תודה.


האם נכון להוכיח באופן הבא?
== מישפט היינה בורל  ==
נסמן את הפונקציה F ב Y ואז הגבול של G כאשר X שואף לX אפס שווה לגבול של G של Y כאשר Y שואף לA .
וז מכיון ש G רציפה ב A גבולה בA שווה לערכה בA


:לא, זו לא הוכחה, זה מה שצריך להוכיח. צריך באמצעות אפסילון ודלתא... --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 23:47, 17 בדצמבר 2010 (IST)
מישהוא יכול ליכתוב אותו בבקשה
:"יהי <math>K</math> קטע סגור, ויהיו <math>\{I_a\}_{a\ in\ A}</math> קטעים פתוחים ב-<math>\R</math> כך ש-<math>K</math> מוכל ממש באיחוד של כולם. אזי קיים מספר סופי של קטעים כאלו כך ש-<math>K</math> מוכל ממש בתוך האיחוד שלהם". (אני לא הייתי בהרצאה הזו, זה מתוך מחברת שצילמתי ממישהו). מקווה שעזרתי [[משתמש:Gordo6|גל א.]]


:::הוכחתי באמצעות היינה, האם זה יתקבל?
תודה פשוט בוויקפדיה זה רשום  בצורה קצת פחות פורמלית
::::אם זה נכון, זה סבבה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:04, 18 בדצמבר 2010 (IST)


==שאלה, האם מותר להשתמש בזהות בטריגונומטרית==
אולי יש לכה במיקרה גם את המישפט של בולצאנו ויירשטראס לקבוצות
מותר להשתמש בזהות הטריגונומטרית שעבור זויות <math>a</math> קטנות <math>sina\approx 0</math>?
:"תהי <math>S</math> קבוצה המוכלת ממש בממשיים, קבוצה אינסופית אך גם חסומה. אזי קיימת לה נקודת הצטברות". מקווה שעזרתי, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
(שמדובר בקטנות הכוונה היא ששואפים ל-0)
::אגב, אני לומד אצל ד"ר הורוביץ. אם אתה לא לומד אצלו, ייתכן שהמרצה שלך ניסח את זה קצת אחרת, אבל בסופו של דבר זה אותם משפטים.
תודה, [[משתמש:Sretter|שקד רטר]] 21:58, 17 בדצמבר 2010 (IST)
:::בולצאנו-ויירשטראס זה לא זה שלכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת?
::::אני מנחש שהוא מתכוון לגרסא: "לכל קבוצה אינסופית וחסומה יש נקודות הצטברות" --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 19:26, 30 בינואר 2011 (IST)


:לא יודע מה אומר הסימון הזה. אפשר להשתמש בכך ש<math>sin0=0</math> כמובן, וכמו כן מותר להשתמש בעובדה ש <math>\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x}=1</math> וגם <math>\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cosx}{x}=0</math> --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 00:36, 18 בדצמבר 2010 (IST)
== עזרה בבדיקת היתכנסות הטור ==
::התבלבלתי בכתיבה התכוונתי ש-<math>sina=a</math>, והסימון מתכוון שכמעט מתקיים שוויון
::: מה זה כמעט שיוויון? אני מניח שאתה מתכוון לגבול המצויין לעיל. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 12:38, 18 בדצמבר 2010 (IST)
::::אני מתכוון ש< math>sina</math> שואף ל-0 וגם <math>a</math> שואף ל-0 אז אפשר להגיד ש- <math>sina=a</math> ? סליחה אם לא הייתי מובן זה פשוט תכונה שלמדתי בפיזיקה פעם,השאלה היא פשוט האם מותר להיעזר בזה...תודה
:::::לא, מותר להשתמש בגבולות שציינתי למעלה. השיוויון שרשמת אינו נכון (אתה יכול להציב ערכים קטנים במחשבון ולראות שזה לא שווה). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:03, 18 בדצמבר 2010 (IST)


== תרגיל 9 - שאלה 4א' ==
<math>\sum \frac{(2n)!}{(2n)^{2n}}</math>
:{{לא מתרגל}} מתכנס, אני מיד אכתוב למה.
:{{הערה|חזרתי:}}
{|
{{=|l=\overline{\lim_{n\to\infty} }\frac{(2n+2)!/(2n+2)^{2n+2} }{(2n)!/(2n)^{2n} }
  |r=\overline{\lim}\frac{(2n)!(2n+1)(2n+2)(2n)^{2n} }{(2n)!(2n+2)^{2n}(2n+2)^2 }
}}
{{=|r=\lim\left(\frac{2n+1}{2n+2}\cdot\left(\frac{2n}{2n+2}\right)^{2n}\right)
}}
{{=|r=\lim\frac{2n+1}{2n+2}\ \cdot\ \lim\left(\left(1+\frac1n\right)^n\right)^{-2}
}}
{{=|r=1\cdot e^{-2}
}}
{{=|r=1
  |o=<
}}
|}
:והודות לד'אלמבר הטור (שהוא טור חיובי) מתכנס. {{משל}}
פשש  זה בדיוק מה שלא ראיתי החלק של המנה שמיתכנס ל e תודה רבה


שלום,
== בקשה ==


רציתי לדעת אם הדרך שלי היא נכונה.
שלום רב,
אני רוצה להוכיח שהגבולות החד צדדיים של <math>f(x)</math> שווים ושווים ל-0 וביחד עם הנתון ש-f רציפה ב-0 לקבוע ש<math>f(0)=0</math>.
למישהו יש מושג איך לפתור את שאלה 1א במבחן הזה: http://www.studenteen.org/inf1_exam_blei_2008_a.pdf
בעיקרון אני אומר ככה:
תודה מראש!
<br/>
:{{לא מתרגל}} יש לי רעיון מתחכם, אבל יקח לי קצת זמן לכתוב אותו.
1) לכל <math>\epsilon > 0</math> קיים <math>\delta_1 > 0 </math> כך שאם <math>x>0</math> ומתקיים <math>x<\delta_1</math> אז מתקיים <math>|f(x)|<\epsilon</math>
::יש סיכוי שתכתוב אותו כאן בכל זאת היום או מחר? תודה מראש!
<br/>
:::{{לא מתרגל}}הרעיון הכללי - נוכיח שזה שואף לאינסוף. לשם כך מוכיחים שהטור <math>\sum \frac{2^n n! (4n)^n}{(4n)!}</math> מתכנס (מבחן ד'אלמבר), לכן <math>\frac{2^n (n!) (4n)^n}{(4n)!}\to0</math> ולכן (מכיוון שהסדרה הזו חיובית), <math>\frac{(4n)!}{2^n (n!) (4n)^n}\to\infty</math>. אח"כ, מכיוון ש-<math>\forall n\in\mathbb N:\ \binom{3n}{n}\ge1</math>, מתקיים <math>\forall n\in\mathbb N:\ \sqrt[n]{\binom{3n}{n}}\ge1</math> ולבסוף נקבל שהסדרה הכללית מתכנסת במובן הרחב לאינסוף. {{משל}}
2) לכל <math>\epsilon > 0</math> קיים <math>\delta_2 > 0 </math> כך שאם <math>0>x</math> ומתקיים <math>x<\delta_2</math> אז מתקיים <math>|f(x)|<\epsilon</math>
::::או, זה יפה ^^
<br/>


נקח <math>\delta = min(\delta_1,\delta_2)</math> ולכן
== שאלה אלמנטרית ==
לפי הנתון ש-<math>f(x) = -f(-x)</math> אם <math>x < \delta</math> וזה גורר ש<math>|f(x)| < \epsilon</math> ולכן
<math>lim f(x) = 0</math> ומכיוון ש-<math>f(x)</math> רציפה ב-x=0 אזי <math>f(0) = lim f(x) = 0</math>


האם זה בסדר?
המרצה שלנו כתב בתחילת הקורס: P בריבוע זוגי -> P זוגי. זה כנראה נכון רק כאשר P שלם. יש לזה הוכחה קלה?


:(לא מתרגל) אני מניח שהתבלבלת בכתיבת טענותיך, שכן חלק מהתנאים שלך לא הגיוניים. לדוגמה בטענה השנייה שלך כתבת "קיים <math>\delta_2 > 0 </math> כך שאם <math>0>x</math> ומתקיים <math>x>\delta_2</math>", דבר שהוא בלתי אפשרי שכן x לא יכול להיות גם קטן מ0 וגם גדול מדלתא 2 שגדול מ0. [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 15:27, 18 בדצמבר 2010 (IST)
:גם אני חיפשתי הוכחה עוד מזמן, והגעתי למסקנה שההוכחה היא פשוט של-p בריבוע יש את כל הגורמים של p, פעמיים. אז אם הוא זוגי זה אומר שיש לו את הגורם 2. נניח בשלילה של-p אין את הגורם 2. אבל ל-p בריבוע יש את הגורם 2, לכן חייב להיות ל-p את שורש 2. בסתירה לכך שהוא שלם. לכן יש ל-p את הגורם 2 כלומר הוא זוגי.
:: נכון, טעיתי בכתיבת הטענות ועכשיו תיקנתי. אשמח אם תוכל שוב לבחון את המקרה לאחר תיקון הטעויות. תודה רבה
:אני לא מבין מאיפה הגיעו טענות 1 ו2, הן לא נובעות ישירות מהנתון. כמו כן, בטענה 2 הייתי מצפה לראות <math>0<-x<\delta_2</math> ולא <math>x<\delta_2</math> כי זה חסר משמעות למספר שלילי --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 16:22, 18 בדצמבר 2010 (IST)
::בטענה 2 הגדרתי את X להיות קטן מאפס אבל אפשר שX יהיה גדול מאפס ואז באמת <math>-x<\delta_2</math>. <br/> טענות 1,2 הם עבור הגבולות החד צדדיים. אני מנסה להראות שהגבולות החד צדדיים קיימים ושווים ל-0. הקטע הוא שהנתון שמאפשר לי לטעון את זה, זה בעצם ש-f רציפה באפס ולכן זה אומר ש-<math>f(0) = limf(x)</math> מכך אני יודע שהגבול של f, כש-x שואף ל-0, קיים ולכן הגבולות החד צדדים של f קיימים. מפה אני טוען שהגבול הוא בעצם שווה ל-0 וזה רק לפתח הגדרתית את הגבולות החד צדדים ולהשתמש בנתון ש-<math>f(x) = -f(-x)</math> ובכך להראות שהטענה שהגבול שווה ל-0 נכונה. כלומר זה מה שחשבתי לעשות.
:::גם מההגדרה <math>0<-x<\delta_2</math> נובע שx שלילי. ועדיין אתה רוצה לתת תנאי על הגודל שלו, מה הטעם להגיד שמספר שלילי קטן ממספר חיובי? זה תמיד נכון. לגבי השאר, בטענות שלך צריך להיות רשום <math>|f(x)-f(0)|< \epsilon</math> אתה לא יכול להניח שהגבול הוא אפס כי זה לא נתון --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 19:54, 18 בדצמבר 2010 (IST)


::זה נכון עבור שלמים, אחרת אין משמעות לזוגי. זה נובע מחומר שהוא לא של הקורס הזה. יש משפט שאומר שאם ראשוני מחלק את ab אז הוא מחלק את a או מחלק את b, לכן אם 2 מחלק את aa=a^2 סימן שהוא מחלק את a. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:08, 30 בינואר 2011 (IST)


:שואל אחר: האם מותר להשתמש בטענה (ללא הוכחה) שלכל פונקציה g, אם <math>\lim_{x\to0^+}g(x)</math> קיים אז הוא שווה ל-<math>\lim_{x\to0^-}g(-x)</math>, נכון?
:::ואני הופתעתי שלא מצאתי דרך מתמטית להוכחה אפילו שהמרצה כתב "קל להוכיח ש...".
::לא, צריך להוכיח את זה פה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:02, 18 בדצמבר 2010 (IST)


== תרגיל 8 שאלה 5 ==
== חתכי דדקינד ==


האם נתון ש-x>=0 ? תודה.
לקבוצה של ד"ר שיין תהיה במבחן שאלה על חתכי דדקינד. הבעיה היא שלא היה תרגול בנושא, וגם אין שאלות עם תשובות במיזלר או בכל מקום אחר שבו חיפשתי.


:(לא מתרגל) אין בתרגיל איזשהו X ספציפי. מה שכן אתה יכול די בקלות לדאוג לכך שהסביבה המנוקבת של 1 איתה תתעסק תהיה כך שכל x בה יהיה חיובי, ואם השאלה היא בנוגע להיות השורש מוגדר בסביבה אז עבור סביבה כנ"ל הפונקציה תהיה מוגדרת לכל x בסביבה המנוקבת. [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 16:34, 18 בדצמבר 2010 (IST)
שיין מסר 3 תרגילים בנושא, אבל אין לי מושג לאיזה פתרון הוא מצפה. כלומר, מה הכוונה "שפה של חתכי דדקינד"? אפשר בבקשה לראות פתרון של אחת או כמה מהשאלות הבאות: http://sites.google.com/site/eduardkontorovich/home/%D7%94%D7%9B%D7%A0%D7%94%D7%9C%D7%9E%D7%91%D7%97%D7%9F.pdf?attredirects=0&d=1 בבקשה ותודה רבה מראש!
::תודה, רק מה זה סביבה מנוקבת?
:מצטרף, במיוחד אם אפשר את הפתרון לשאלה 1 (הפתרון היחיד שאני מצאתי הוא "שסדרת החסמים העליונים של An מתכנסת", אבל סדרת החסמים העליונים של An היא בעצם סדרת הממשיים הנוצרים ע"י החתכים, כלומר לא אמרתי כלום בפתרון הזה.)
:::סביבה מנוקבת של <math>x0</math> היא סביבה של <math>x0</math> ללא <math>x0</math> [[משתמש:Sretter|שקד רטר]] 18:23, 18 בדצמבר 2010 (IST)


== תרגיל 8 שאלה 6 ==
::לי בפתרון חשוב במיוחד לראות את הנימוקים והניסוח, כלומר ה"שפה" של דדקינד. אז למרות שאני חושבת שאני יודעת את התשובה הסופית של 1, יעזור לי מאוד מאוד לראות פתרון מלא של 100 במבחן. אז התשובה, כלומר התנאי, הוא: לכל אפסילון חיובי קיים N כך שלכל n טבעי גדול מ-N, מתקיים שהקבוצה <math>A_n/A_{L-\epsilon}</math> מוכלת ב-<math>(L-\epsilon,L)</math>. בעצם שינוי של ההגדרה של ההתכנסות.
:::התבלבלת, מה זה An/A_L-e?
::::לא התבלבלתי, זה הקבוצה <math>A_n</math> בלי הקבוצה <math>A_{L-\epsilon}</math>. תיזכר בסימונים של בדידה.
:::::אוקי.. אבל אני לא רואה איך התנאי פה קשור להתכנסות של סדרת המספרים. אולי תסבירי מה הכוונה פה. אבל בעצם, הרעיון הזה של לקחת את תנאי ההתכנסות למספרים ולהעתיק אותו לחתכים הוא רעיון ממש טוב, נראה לי שהוא יכול לעבוד. בזכות הרעיון שלך פתרתי את זה כך: צריך לעשות קודם כמה הכנות. נגדיר: חתך  A הוא "חיובי" אם המס' שמייצר אותו (תמיד קיים) גדול מאפס, או במילים אחרות שכל מספר שקטן nאפס שייך לA (כנ"ל עם שלילי, אי שלילי וכו'). (הערה- כשאני אומר חתך A אני מתכוון לחתך A,A'). כמו כן "A-" הוא החתך שמייצר את המספר הנגדי לA, והרי הוכחנו בכיתה שלכל מספר ממשי יש נגדי ושכל מספר מיוצר ע"י חתך יחיד (כי אם המספר רציונלי, ניקח תמיד חתך מהסוג הראשון, ואם המספר אי רציונלי ניקח חתך מהסוג השלישי), ולכן ההגדרה טובה, ולבסוף נגדיר "|A|" כ-A אם A חיובי וכ- A- אם A שלילי, וב0 ברור. כעת התנאי יהיה שאם לכל אפסילון גדולה E (חתך) חיובית (גדולה מאפס=חיובית כמו שהגדרתי) קיים N כך שלכל n>N מתקיים שהחתך |An-L| מוכל בחתך E. (שוב, החלק השמאלי של החתך), אז סדרת החתכים מתכנסת לL. עכשיו רק צריך להוכיח שזה תנאי הכרחי ומספיק. אולי אנסה בהמשך ואגיד לך אם יש תוצאות..


נתון שהפונקציה מוגדרת וחסומה בקטע [0,1]. מה זה בדיוק אומר? האם זה אומר ש:


לכל x קיים <math>f(x)</math> והוא שייך לקטע הזה?
http://dl.dropbox.com/u/2237179/infi1dedekind.pdf
:לא הבנתי אף אחד מהפתרונות שלו ואני גם לא בטוח שהם נכונים.
'''מי כתב את הפתרון הזה?'''
::זה מה ששיין שלח לתלמידים שלו במייל. תודה שיין, אבל זה כל כך לא בסדר ומלחיץ שלא פתרנו תרגילים כאלו קודם...


:הכוונה היא שערכי הפונ' חסונים בטווח הזה, כלומר הקבוצה <math>\left \{ f(x)\mid x\in \left [ 0,1 \right ] \right \}</math> היא קבוצה חסומה. [[משתמש:Sretter|שקד רטר]] 18:45, 18 בדצמבר 2010 (IST)
== בפתרון למבחן של זלצמן 2010 ==


== תרגיל 8 - שאלה 5 ==
כתוב בפיתרון לשאלה 5.ג
ש<<math>e^{(x^2)}</math> רציפה במ"ש.


האם אפשר להשתמש בגבולות חד-צדדיים?
למה זה נכון?


:אם בא לך, סבבה.
:זה לא נכון, וגם לא רשום שם. רשום שם שהיא רציפה, ובגלל שסינוס גם רציפה, ההרכבה רציפה ומחזורית ולכן '''ההרכבה''' רציפה במ"ש. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:12, 30 בינואר 2011 (IST)


אני לא רואה דרך אחרת, בגלל שורש x. הרי לפעמים הוא גדול מ-x ולפעמים קטן ממנו (תלוי אם x גדול מ-1 או קטן מ-1). יש דרך אחרת?
== כלל לופיטל ==


== תרגיל 8 - שאלה 6 ==
כלל לופיטל הוא בחומר של הקבוצה של שיין?
:למדנו את זה אז כנראה שכן...


עבור הפרכה: אפשר לתת דוג' ספציפית עם '''פונקציה''' ספציפית?
== כלל לופיטל ==
:כן, ככה מפריכים --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 19:58, 18 בדצמבר 2010 (IST)
::מותר לי לקבוע תחום פו' כלשהיא כפי רצוני. נגיד להחליט שפו' הזהות תהיה רק בין 0 ל-13.57688?
:::אני לא מבין מה זה אומר. תחום ההגדרה נתון בשאלה - [0,1] --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 20:35, 18 בדצמבר 2010 (IST)
::::כן, אבל כשאני מפריך אני צריך להראות שהפו' שאני נותן בתור הפרכה מקיימת את תחום ההגדרה הנתון בשאלה. לכן, שאלתי אם מותר לי פשוט להגדיר את הפו' שאני נותן בתור הפרכה להיות בתחום הגדרה של השאלה. אז מותר? 
:::::כל עוד היא מוגדרת בתוך התחום הנדרש, לא מעניין אותנו מה קורה מחוץ אליו. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:05, 18 בדצמבר 2010 (IST)


== תרגיל 9 שאלה 6 E ==
האם אפשר להשתמש בכלל לופיטל כדי למצוא גבולות בקצוות כאשר בודקים רציפות במ"ש של פונקציה?


חשבתי על זה שעות ואפילו הצבתי במחשבון גרפי,אבל עדיין לא מצאתי כלום.
:לדעתי כן, מומלץ לשאול את המרצה או המתרגל בעת המבחן בנוסף. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:24, 30 בינואר 2011 (IST)
לפי מה שהגעתי אליו אין הבדל בנקודות אי הרציפות בין D לE.אף על פי ההעלאה בריבוע.
האם אני צודק,או אפשר לקבל רמז כלשהו


:מה ההבדל בין <math>\lim_{x->0}\frac{1}{x}</math> לבין <math>\lim_{x->0}\frac{1}{x^2}</math>? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 20:45, 18 בדצמבר 2010 (IST)
== מבחני קושי ודלמבר ==


::ההבדל הוא ש <math>\lim_{x->0}\frac{1}{x^2}</math> שואף יותר מהר לאינסוף.
מבחן קושי הוא עם limsup בשני המקרים (התכנסות והתבדרות) ומבחן דלמבר הוא עם limsup במקרה של התכנסות ו liminf במקרה של התבדרות, או שיש לי טעות? תודה!
:::ההבדל הוא ש<math>\lim_{x->0}\frac{1}{x}</math> '''אינו מתכנס במובן הרחב לאינסוף כלל''' --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:53, 18 בדצמבר 2010 (IST)
:אין טעות. תסתכל על ההוכחות שלהם ותבין למה.


== קומפקטיות ==
== חקירת פונקציות, המבחן של ד"ר הורוביץ ==


ארז אתה יכול בבקשה להסביר את המושג של קומפקטיות ומה זה אומר כיסוי פתוח/ כיסוי סגור?
צריך לזכור בעל-פה את הסדר של הסעיפים בחקירת פונקציות? (תחום הגדרה ונקודות אי רציפות, האם הפונקציה זוגית/אי-זוגית/לא זה ולא זה, אסימפטוטות, תחומי עלייה+ירידה+נקודות קריטיות, תחומי קעירות+קמירות+נקודות פיתול, טבלת ערכים)<br/>או שזה כתוב במבחן?
תודה!
:הוא אמר שלא בטוח שהוא יכתוב את זה. אבל הוא גם אמר שאין חובה לעשות לפיהסדר שהוא רשם אם כל הסעיפים כלולים. [[משתמש:Gordo6|גל א.]]


===תשובה===
== [[מדיה:10Infi1TargilFinalGrades.pdf|ציונים]] ==
תהי קבוצה A, '''כיסוי פתוח''' הוא קבוצה של קטעים פתוחים <math>U_i</math> כך שA מוכל באיחוד שלהם.


דוגמאות:  
מספר תעודת הזהות שלי (312491822), ואפילו לא מספר דומה לו, לא מופיע בדף הציונים שפורסם היום. אתם יכולים לבדוק את זה? תודה רבה
:יתכן ואתה תיכוניסט? אלו ציונים רק לתלמידים של זלצמן.
::כן, תיכוניסט. תודה
:::הציונים של התיכוניסטים שאדוארד מתרגל מופיעים באתר שלו: sites.google.com/site/eduardkontorovich


# <math>\{(-2,0),(0,2)\}</math> היא כיסוי פתוח של <math>(-1,1)</math>.
== איקס בריבוע ==
# <math>\{(\frac{1}{n},1)|n\in\mathbb{N}\}</math> היא כיסוי פתוח של <math>(0,1)</math>


קבוצה A נקראית '''קומפקטית''' אם מכל כיסוי שלה, ניתן להוציא תת כיסוי סופי. כלומר, מתוך אוסף הקטעים של הכיסוי ניתן לבחור מספר '''סופי''' של קטעים שיהוו כיסוי של A.
איך מוכיחים ש-<math>x^2</math> לא רציפה במ"ש? תודה.
:{{לא מתרגל}}ראה [[מדיה:10Infi1Targil8Sol.pdf|פתרון תרגיל 8]], שאלה 9.
::תודה.


==תרגיל 10==
== שאלה קלה מדי? ==
מתי יעלה תרגיל 10 לאתר?
תודה :)


== תרגיל 10 שאלה 7 C ==
צ"ל או להפריך שאם הטור an מתכנס והטור bn מתבדר אז הטור an+bn מתבדר. לכאורה אפשר להניח בשלילה שהטור an+bn מתכנס, ואז הטור an + הטור bn מתכנס (*), לכן הטור an ועוד הטור bn פחות הטור an = הטור bn מתכנס, בסתירה. אבל ב-(*) הזזנו את המקום של אינסוף איברים, ולכן ההוכחה לא מספיקה. מה לעשות? (ניסיתי לרפד באפסים כמו שכתוב ב[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 15#משפט רימן|ארכיון 15]])
:מישהו יודע?


הפונקציה DX תמיד תתן ערכים של 1 או 0 ולכן DX פחות 1 בריבוע כפול 2 יתן או אפס או 2 ואז הפונקציה תמיד מוגדרת ואין שום מכנה שיכול להתאפס..
== פתרון של הבחינות ==
אז איך יכול להיות שיש שם נק' אי רציפות??
תודה!!
:האם Dx רציפה בכלל? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 14:04, 21 בדצמבר 2010 (IST)
::אוקי, היא לא רציפה באמת ואז מה?? אז אין תשובה לסעיף?? (כלומר התשובה היא שהפונקציה בכלל לא רציפה, יש להוכיח זאת..)
:::צריך לחשוב. איך נראית הפונקציה הסופית? האם היא רציפה? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:23, 22 בדצמבר 2010 (IST)


== שאלה 7 סעיף ג ==
הי ארז,


אוקי, היא לא רציפה באמת ואז מה?? אז אין תשובה לסעיף?? (כלומר התשובה היא שהפונקציה בכלל לא רציפה, יש להוכיח זאת..?)
ראשית תודה שהעלת לנו את הפתרון לבחינות כל כך מהר. יתכן ששאלתי לא במקום משום שאני לא לומד אצל זלצמן - אבל מה עם הפתרון לשאלות 3 ו-6 בבחינה שלו? הן היו שאלות של ציטוט משפטים?


:ראה למעלה. צריך למצוא נקודות אי רציפות, וכמובן שאם יש נקודת אי רציפות צריך להוכיח שהיא כזו ולהגיד מאיזה סוג. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:24, 22 בדצמבר 2010 (IST)
אגב, אולי לבחינות של התיכוניסטים כדאי להוסיף הבהרה ששאר השאלות שלא פורסם להן פתרון היו בבחינה של זלצמן (שאלה 1 של הורוביץ = שאלה 1 של זלצמן, שאלה 2 של הורוביץ = שאלה 7 של זלצמן, שאלה 4 של הורוביץ = שאלה 4 של זלצמן, שאלה 5 של הורוביץ = שאלה 2 של זלצמן). כמו כן כדאי להוסיף שהבחינה של ד"ר שיין זהה לבחינה של ד"ר הורוביץ, למעט בשאלה 6 שעסקה בחתכי דדקינד.


== 2 שאלות על תרגיל 9 ==
כעת שאלה לגבי הפתרונות עצמם: בשאלה 5ג (של זלצמן) כתבת ששורש איקס רציפה בכל הממשיים, אבל זה כמובן לא נכון כי היא מוגדרת רק בממשיים החיוביים. האם יש דרך אחרת להוכיח רציפות במ"ש בסעיף זה בלי להתבסס על טענה זו?


בתרגיל 2, אפשר לפתור לפי כללי הצבה בפונקציה וכו', נכון? (לא חייבים לפי הגדרה)?
שוב תודה על פרסום הפתרונות (במיוחד עבור המבחן של ד"ר הורוביץ שזה בכלל לא מובן מאליו).
ובתרגיל 6, מה זה אומר למיין נקודות אי רציפות? למצוא את כל נקודות אי הרציפות ולכתוב מאיזה סוג הן?


:כן, אפשר להשתמש במשפטים כמו הרכבה, אריתמטיקה וגבולות ידועים. וכן, צריך למצוא את נקודות אי הרציפות ולהראות מאיזה סוג הן (סליקה, ראשון או שני) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 20:52, 22 בדצמבר 2010 (IST)
===תשובה===
שאלה 3 הייתה ציטוט משפטים, שאלה 6 עסקה בנגזרות, ושאלה 8 הייתה להוכיח את משפט קנטור - לא כתבתי להן פתרונות, כמו כן לא כתבתי פתרון לשאלה על חתכי דדיקינד.


== שאלה על דבר מההרצאה- רציפות במידה שווה ==
לגבי 5ג, לא צריך ששורש איקס יהיה רציף במ"ש על כל הממשיים, אלא רציף במ"ש בתמונה של הפונקציה עליה הוא מורכב - במקרה זה הערך המוחלט ותמונתו <math>[0,\infty)</math> ולכן זה פתרון תקין.


לא הבנתי מה זה אומר רציפות במידה שווה. אפשר הסבר לגבי מה זה אומר ולמה צריך את זה, כלומר הסבר מה זה "בתכלס" (ולא פשוט להביא לי את ההגדרה שרשומה אצלי)? תודה רבה מראש
====תשובה====
אוקי, שוב תודה :-)

גרסה אחרונה מ־15:34, 5 בפברואר 2011

חזרה לדף הקורס


גלול לתחתית העמוד


הוספת שאלה חדשה

הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).

-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן

אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.

ארכיון


שאלות

הערה בקשר למבחן ביום שני

אני תלמיד של מיכאל שיין ולא היה לנו תרגול אחד על חתכי דדקינד בכל הסמסטר ואני בספק אם מישהו יודע איך לפתור את התרגילים בנושא חתכי דדקינד.

אשמח אם תתחשבו בנו.

מצטרפת. לא היו שיעורי בית בנושא, בהרצאה לא פתרנו תרגילים, ואין במיזלר. אשמח אם תענו לי למטה על השאלה לגבי חתכי דדקינד.


מצטרף גם.. אין לנו מושג איך לגשת לתרגילים האלו כי אף פעם לא הראנו לנו איך לפתור תרגילים כאלה.. אפשר להעלות חומר ללימוד או לפחות פתרון לתרגיל שאדווארד העלה לאתר: http://sites.google.com/site/eduardkontorovich/

אני חושב שכמעט אף אחד בקבוצה לא יודע לפתור תרגילים כאלה..

ואם מישהו יודע (ולא נראה לי), אז הוא בטוח למד ממקור נוסף שאני לא מכירה.

http://dl.dropbox.com/u/2237179/infi1dedekind.pdf

שאלה בקשר למבחן ביום שני

מישהו יכול בבקשה לפרט אילו שאלות עלולות להופיע במבחן באינפי 1 ביום שני? יופיעו שאלות חישוביות? תודה.

תלוי באיזו קבוצה אתה. אם אתה אצל התיכוניסטים, מבנה המבחן הוא כדלקמן:
יש שש שאלות ואין בחירה ביניהן, סה"כ זמן המבחן שעתיים וחצי. כל שאלה 18 נקודות = סה"כ 108 נקודות.
תהיה שאלה על סדרות, על טורים, על פונקציות (גבולות וכדומה), רציפות/רציפות במ"ש, נגזרות ויישמון של נזגרות (טיילור, לופיטל וכו...). עבור תלמידיו של ד"ר שיין - יהיו חתכי דדקינד במקום ישומי הנגזרות.
כל מה שנכתב כאן נאמר על ידי ד"ר הורוביץ.
גל א.
לא בדיוק - גם בקבוצה של שיין לופיטל בחומר.

שאלה על פתרון שאלה

תרגיל 10 (http://www.math-wiki.com/images/d/db/10Infi1Targil10Sol.pdf) שאלה 2- כתבתם שקיים M כך ש fx<M>-אמ. אבל אז בפונקציה g לקחתם את הערך 1/M+1 - והרי איך אפשר לדעת בוודאות שהפונקציה רציפה בו (צריך שהיא תהיה רציפה כדי להשתמש במשפט ערך הביניים)? אם f חסומה בין שליש למינוס שליש, אז 1/M+1 הוא 4, והפונקציה מ2 ל4 לא בהכרח רציפה!

אפשר לקחת M גדול כרצוננו, הרי זה חסם. אם היא חסומה על ידי שליש, היא בוודאי גם חסומה על ידי אחד --ארז שיינר 13:58, 29 בינואר 2011 (IST)
אוקי.

עזרה בשאלה ממבחן

תהי {an} כך שלכל K טבעי [math]\displaystyle{ a_{2k+1}-a_{2k-1}\lt 0 \and a_{2k+2}-a_{2k}\gt 0 }[/math], וגם ש [math]\displaystyle{ lim_{n-\gt infinity}a_{n+1}-a_n=0 }[/math]. הוכח שהסדרה מתכנסת. תודה!

יש תת סדרה מונוטונית עולה, ותת סדרה מונוטונית יורדת. אתה צריך להראות ששתיהן חסומות ולכן מתכנסות, ואחר כך שבהכרח לאותו הגבול. --ארז שיינר 13:55, 29 בינואר 2011 (IST)
הבנתי אותך. רק לא הצלחתי להוכיח שהתת סדרות חסומות. אפשר עזרה?
הסדרה העולה חייבת להיות קטנה מהסדרה היורדת. אם הן היו עוברות אחת את השנייה, ההפרש בין שני איברים עוקבים לא היה יכול לשאוף לאפס. --ארז שיינר 17:06, 29 בינואר 2011 (IST)
אוקי..

עזרה בשאלה נוספת ממבחן

יהי n טבעי, נניח f מוגדרת וגזירה n פעמים בסביבת 0, ו f0=f'0=f0=..=f^(n-1)(0)=0 (נגזרות ב0)., f^(n)(0)=5. חשב [math]\displaystyle{ lim_{x-\gt 0}(fx/(sin2x)^n) }[/math]. תודה מראש

אני מניח שלקחת את השאלה הזו מתוך מבחן של ד"ר הורוביץ (עשיתי אותה לפני כעשר דקות). שים לב לרמז שמופיעה מתחתיה (כאשר x->0 יתקיים ש sinx/x->1), היעזר בו למציאת פונקציה שתהיה במכנה שתהיה נוחה לגזירה, והשתמש בכלל לופיטל n פעמים. מקווה שעזרתי, גל א.
לא הבנתי איך אפשר להשתמש ברמז כדי לפתור את התרגיל- גזרתי את הפונקציה עם לופיטל N פעמים ואף פעם לא היה "x" - רק סינוס, קוסינוס ודברים שקשורים לn. לא הבנתי מה זה אומר למה התכוונת כשאמרת להיעזר בו כדי למצוא פונקציה במכנה נוחה לגזירה.
[math]\displaystyle{ Lim\frac{f(x)}{(sin2x)^n}=Lim\frac{f(x)}{(2x)^n}*\frac{(2x)^n}{(sin2x)^n}=...=Lim\frac{f(x)}{(2x)^n} }[/math] כל הגבולות כאשר איקס שואף לאפס. כעת הפונקציה במכנה "נוחה לגזירה". מה הנגזרת ה-nית שלה? הפעל את כלל לופיטל עבור הנגזרת ה-nית, קבל מסקנה עבור הנגזרת ה-(n-1) והפעל את הכלל שוב ושוב עד שתקבל מסקנה על הפונקציה המקורית. מקווה שעזרתי, גל א.
נראה לי שהבנתי. האם הפתרון הוא 5 חלקי N עצרת כפול 2 בחזקת N?
אכן.

רציפות במ"ש

מישהו יכול לעזור לי למצוא שתי סדרות כדי להפריך רציפות במ"ש של פונקציות xsinx xcosx?

[math]\displaystyle{ f(x)=xsinx }[/math] ו[math]\displaystyle{ x_n=2\pi k, y_n=2\pi k + \frac{1}{k} }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ f(y_n)-f(x_n)=2\pi k sin(\frac{1}{k}) + \frac{1}{k}sin(\frac{1}{k}) \rightarrow 2\pi + 0 \neq 0 }[/math] --ארז שיינר 17:11, 29 בינואר 2011 (IST)

קירוב ליניארי

היי ארז,

באחד המבחנים ביקשו להגדיר את הקירוב הליניארי ולהסביר את חשיבותו....

איך מגדירים זאת בצורה מדוייקת ומה ההסבר הנדרש פה?

תודה!

אני לא בטוח למה הוא מכוון בשאלה, עניתי על זה בתרגיל החזרה. מגדירים את זה בצורה מדוייקת (יש את הנוסחא בדפי התרגיל) ולדעתי ההסבר הוא שניתן כך להעריך פונקציות מבלי להיות מסוגלים לחשב אותן במפורש כאשר אנו כן יודעים לחשב את הפונקציה ואת הנגזרת קרוב לערך המבוקש. --ארז שיינר 16:56, 29 בינואר 2011 (IST)

עזרה בפתרון שאלה

שאלתי את השאלה קודם, אך אני לא בטוח שהפתרון שנתנו לי נכון, לכן אבקש, ארז, אם תוכל, לבדוק שהפתרון שנתנו אכן נכון. הנה השאלה [[1]]. תודה!

לא קראתי את הפתרון הזה, אבל פתרתי את זה בכיתה בשיעור החזרה. אם a_n אינה קושי, אז היא אינה מתכנסת ולכן הגבול החלקי העליון והתחתון שלה שונים, לכן יש לה תת סדרה ששואפת לעליון ותת סדרה ששואפת לתחתון. ניתן לכן לבנות תת סדרה אחרת כך שאיברים הזוגיים שלה יהיו מהראשונה והאיבריים האי זוגיים שלה יהיו מהשנייה. עבור תת סדרה זו, [math]\displaystyle{ \lim |a_{n_{k+1}}-a_{n_k}| = \limsup - \liminf \neq 0 }[/math] בסתירה. --ארז שיינר 16:52, 29 בינואר 2011 (IST)
תודה.

מישפט היינה בורל

מישהוא יכול ליכתוב אותו בבקשה

"יהי [math]\displaystyle{ K }[/math] קטע סגור, ויהיו [math]\displaystyle{ \{I_a\}_{a\ in\ A} }[/math] קטעים פתוחים ב-[math]\displaystyle{ \R }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ K }[/math] מוכל ממש באיחוד של כולם. אזי קיים מספר סופי של קטעים כאלו כך ש-[math]\displaystyle{ K }[/math] מוכל ממש בתוך האיחוד שלהם". (אני לא הייתי בהרצאה הזו, זה מתוך מחברת שצילמתי ממישהו). מקווה שעזרתי גל א.

תודה פשוט בוויקפדיה זה רשום בצורה קצת פחות פורמלית

אולי יש לכה במיקרה גם את המישפט של בולצאנו ויירשטראס לקבוצות

"תהי [math]\displaystyle{ S }[/math] קבוצה המוכלת ממש בממשיים, קבוצה אינסופית אך גם חסומה. אזי קיימת לה נקודת הצטברות". מקווה שעזרתי, גל א.
אגב, אני לומד אצל ד"ר הורוביץ. אם אתה לא לומד אצלו, ייתכן שהמרצה שלך ניסח את זה קצת אחרת, אבל בסופו של דבר זה אותם משפטים.
בולצאנו-ויירשטראס זה לא זה שלכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת?
אני מנחש שהוא מתכוון לגרסא: "לכל קבוצה אינסופית וחסומה יש נקודות הצטברות" --ארז שיינר 19:26, 30 בינואר 2011 (IST)

עזרה בבדיקת היתכנסות הטור

[math]\displaystyle{ \sum \frac{(2n)!}{(2n)^{2n}} }[/math]

(לא מתרגל/ת): מתכנס, אני מיד אכתוב למה.
חזרתי:
[math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ \overline{\lim}\frac{(2n)!(2n+1)(2n+2)(2n)^{2n} }{(2n)!(2n+2)^{2n}(2n+2)^2 } }[/math] [math]\displaystyle{ = }[/math] [math]\displaystyle{ \overline{\lim_{n\to\infty} }\frac{(2n+2)!/(2n+2)^{2n+2} }{(2n)!/(2n)^{2n} } }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ \lim\left(\frac{2n+1}{2n+2}\cdot\left(\frac{2n}{2n+2}\right)^{2n}\right) }[/math] [math]\displaystyle{ = }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ \lim\frac{2n+1}{2n+2}\ \cdot\ \lim\left(\left(1+\frac1n\right)^n\right)^{-2} }[/math] [math]\displaystyle{ = }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 1\cdot e^{-2} }[/math] [math]\displaystyle{ = }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ \lt }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math]
והודות לד'אלמבר הטור (שהוא טור חיובי) מתכנס. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

פשש זה בדיוק מה שלא ראיתי החלק של המנה שמיתכנס ל e תודה רבה

בקשה

שלום רב, למישהו יש מושג איך לפתור את שאלה 1א במבחן הזה: http://www.studenteen.org/inf1_exam_blei_2008_a.pdf תודה מראש!

(לא מתרגל/ת): יש לי רעיון מתחכם, אבל יקח לי קצת זמן לכתוב אותו.
יש סיכוי שתכתוב אותו כאן בכל זאת היום או מחר? תודה מראש!
(לא מתרגל/ת): הרעיון הכללי - נוכיח שזה שואף לאינסוף. לשם כך מוכיחים שהטור [math]\displaystyle{ \sum \frac{2^n n! (4n)^n}{(4n)!} }[/math] מתכנס (מבחן ד'אלמבר), לכן [math]\displaystyle{ \frac{2^n (n!) (4n)^n}{(4n)!}\to0 }[/math] ולכן (מכיוון שהסדרה הזו חיובית), [math]\displaystyle{ \frac{(4n)!}{2^n (n!) (4n)^n}\to\infty }[/math]. אח"כ, מכיוון ש-[math]\displaystyle{ \forall n\in\mathbb N:\ \binom{3n}{n}\ge1 }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ \forall n\in\mathbb N:\ \sqrt[n]{\binom{3n}{n}}\ge1 }[/math] ולבסוף נקבל שהסדרה הכללית מתכנסת במובן הרחב לאינסוף. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
או, זה יפה ^^

שאלה אלמנטרית

המרצה שלנו כתב בתחילת הקורס: P בריבוע זוגי -> P זוגי. זה כנראה נכון רק כאשר P שלם. יש לזה הוכחה קלה?

גם אני חיפשתי הוכחה עוד מזמן, והגעתי למסקנה שההוכחה היא פשוט של-p בריבוע יש את כל הגורמים של p, פעמיים. אז אם הוא זוגי זה אומר שיש לו את הגורם 2. נניח בשלילה של-p אין את הגורם 2. אבל ל-p בריבוע יש את הגורם 2, לכן חייב להיות ל-p את שורש 2. בסתירה לכך שהוא שלם. לכן יש ל-p את הגורם 2 כלומר הוא זוגי.
זה נכון עבור שלמים, אחרת אין משמעות לזוגי. זה נובע מחומר שהוא לא של הקורס הזה. יש משפט שאומר שאם ראשוני מחלק את ab אז הוא מחלק את a או מחלק את b, לכן אם 2 מחלק את aa=a^2 סימן שהוא מחלק את a. --ארז שיינר 13:08, 30 בינואר 2011 (IST)
ואני הופתעתי שלא מצאתי דרך מתמטית להוכחה אפילו שהמרצה כתב "קל להוכיח ש...".

חתכי דדקינד

לקבוצה של ד"ר שיין תהיה במבחן שאלה על חתכי דדקינד. הבעיה היא שלא היה תרגול בנושא, וגם אין שאלות עם תשובות במיזלר או בכל מקום אחר שבו חיפשתי.

שיין מסר 3 תרגילים בנושא, אבל אין לי מושג לאיזה פתרון הוא מצפה. כלומר, מה הכוונה "שפה של חתכי דדקינד"? אפשר בבקשה לראות פתרון של אחת או כמה מהשאלות הבאות: http://sites.google.com/site/eduardkontorovich/home/%D7%94%D7%9B%D7%A0%D7%94%D7%9C%D7%9E%D7%91%D7%97%D7%9F.pdf?attredirects=0&d=1 בבקשה ותודה רבה מראש!

מצטרף, במיוחד אם אפשר את הפתרון לשאלה 1 (הפתרון היחיד שאני מצאתי הוא "שסדרת החסמים העליונים של An מתכנסת", אבל סדרת החסמים העליונים של An היא בעצם סדרת הממשיים הנוצרים ע"י החתכים, כלומר לא אמרתי כלום בפתרון הזה.)
לי בפתרון חשוב במיוחד לראות את הנימוקים והניסוח, כלומר ה"שפה" של דדקינד. אז למרות שאני חושבת שאני יודעת את התשובה הסופית של 1, יעזור לי מאוד מאוד לראות פתרון מלא של 100 במבחן. אז התשובה, כלומר התנאי, הוא: לכל אפסילון חיובי קיים N כך שלכל n טבעי גדול מ-N, מתקיים שהקבוצה [math]\displaystyle{ A_n/A_{L-\epsilon} }[/math] מוכלת ב-[math]\displaystyle{ (L-\epsilon,L) }[/math]. בעצם שינוי של ההגדרה של ההתכנסות.
התבלבלת, מה זה An/A_L-e?
לא התבלבלתי, זה הקבוצה [math]\displaystyle{ A_n }[/math] בלי הקבוצה [math]\displaystyle{ A_{L-\epsilon} }[/math]. תיזכר בסימונים של בדידה.
אוקי.. אבל אני לא רואה איך התנאי פה קשור להתכנסות של סדרת המספרים. אולי תסבירי מה הכוונה פה. אבל בעצם, הרעיון הזה של לקחת את תנאי ההתכנסות למספרים ולהעתיק אותו לחתכים הוא רעיון ממש טוב, נראה לי שהוא יכול לעבוד. בזכות הרעיון שלך פתרתי את זה כך: צריך לעשות קודם כמה הכנות. נגדיר: חתך A הוא "חיובי" אם המס' שמייצר אותו (תמיד קיים) גדול מאפס, או במילים אחרות שכל מספר שקטן nאפס שייך לA (כנ"ל עם שלילי, אי שלילי וכו'). (הערה- כשאני אומר חתך A אני מתכוון לחתך A,A'). כמו כן "A-" הוא החתך שמייצר את המספר הנגדי לA, והרי הוכחנו בכיתה שלכל מספר ממשי יש נגדי ושכל מספר מיוצר ע"י חתך יחיד (כי אם המספר רציונלי, ניקח תמיד חתך מהסוג הראשון, ואם המספר אי רציונלי ניקח חתך מהסוג השלישי), ולכן ההגדרה טובה, ולבסוף נגדיר "|A|" כ-A אם A חיובי וכ- A- אם A שלילי, וב0 ברור. כעת התנאי יהיה שאם לכל אפסילון גדולה E (חתך) חיובית (גדולה מאפס=חיובית כמו שהגדרתי) קיים N כך שלכל n>N מתקיים שהחתך |An-L| מוכל בחתך E. (שוב, החלק השמאלי של החתך), אז סדרת החתכים מתכנסת לL. עכשיו רק צריך להוכיח שזה תנאי הכרחי ומספיק. אולי אנסה בהמשך ואגיד לך אם יש תוצאות..


http://dl.dropbox.com/u/2237179/infi1dedekind.pdf

לא הבנתי אף אחד מהפתרונות שלו ואני גם לא בטוח שהם נכונים.

מי כתב את הפתרון הזה?

זה מה ששיין שלח לתלמידים שלו במייל. תודה שיין, אבל זה כל כך לא בסדר ומלחיץ שלא פתרנו תרגילים כאלו קודם...

בפתרון למבחן של זלצמן 2010

כתוב בפיתרון לשאלה 5.ג ש<[math]\displaystyle{ e^{(x^2)} }[/math] רציפה במ"ש.

למה זה נכון?

זה לא נכון, וגם לא רשום שם. רשום שם שהיא רציפה, ובגלל שסינוס גם רציפה, ההרכבה רציפה ומחזורית ולכן ההרכבה רציפה במ"ש. --ארז שיינר 13:12, 30 בינואר 2011 (IST)

כלל לופיטל

כלל לופיטל הוא בחומר של הקבוצה של שיין?

למדנו את זה אז כנראה שכן...

כלל לופיטל

האם אפשר להשתמש בכלל לופיטל כדי למצוא גבולות בקצוות כאשר בודקים רציפות במ"ש של פונקציה?

לדעתי כן, מומלץ לשאול את המרצה או המתרגל בעת המבחן בנוסף. --ארז שיינר 13:24, 30 בינואר 2011 (IST)

מבחני קושי ודלמבר

מבחן קושי הוא עם limsup בשני המקרים (התכנסות והתבדרות) ומבחן דלמבר הוא עם limsup במקרה של התכנסות ו liminf במקרה של התבדרות, או שיש לי טעות? תודה!

אין טעות. תסתכל על ההוכחות שלהם ותבין למה.

חקירת פונקציות, המבחן של ד"ר הורוביץ

צריך לזכור בעל-פה את הסדר של הסעיפים בחקירת פונקציות? (תחום הגדרה ונקודות אי רציפות, האם הפונקציה זוגית/אי-זוגית/לא זה ולא זה, אסימפטוטות, תחומי עלייה+ירידה+נקודות קריטיות, תחומי קעירות+קמירות+נקודות פיתול, טבלת ערכים)
או שזה כתוב במבחן?

הוא אמר שלא בטוח שהוא יכתוב את זה. אבל הוא גם אמר שאין חובה לעשות לפיהסדר שהוא רשם אם כל הסעיפים כלולים. גל א.

ציונים

מספר תעודת הזהות שלי (312491822), ואפילו לא מספר דומה לו, לא מופיע בדף הציונים שפורסם היום. אתם יכולים לבדוק את זה? תודה רבה

יתכן ואתה תיכוניסט? אלו ציונים רק לתלמידים של זלצמן.
כן, תיכוניסט. תודה
הציונים של התיכוניסטים שאדוארד מתרגל מופיעים באתר שלו: sites.google.com/site/eduardkontorovich

איקס בריבוע

איך מוכיחים ש-[math]\displaystyle{ x^2 }[/math] לא רציפה במ"ש? תודה.

(לא מתרגל/ת): ראה פתרון תרגיל 8, שאלה 9.
תודה.

שאלה קלה מדי?

צ"ל או להפריך שאם הטור an מתכנס והטור bn מתבדר אז הטור an+bn מתבדר. לכאורה אפשר להניח בשלילה שהטור an+bn מתכנס, ואז הטור an + הטור bn מתכנס (*), לכן הטור an ועוד הטור bn פחות הטור an = הטור bn מתכנס, בסתירה. אבל ב-(*) הזזנו את המקום של אינסוף איברים, ולכן ההוכחה לא מספיקה. מה לעשות? (ניסיתי לרפד באפסים כמו שכתוב בארכיון 15)

מישהו יודע?

פתרון של הבחינות

הי ארז,

ראשית תודה שהעלת לנו את הפתרון לבחינות כל כך מהר. יתכן ששאלתי לא במקום משום שאני לא לומד אצל זלצמן - אבל מה עם הפתרון לשאלות 3 ו-6 בבחינה שלו? הן היו שאלות של ציטוט משפטים?

אגב, אולי לבחינות של התיכוניסטים כדאי להוסיף הבהרה ששאר השאלות שלא פורסם להן פתרון היו בבחינה של זלצמן (שאלה 1 של הורוביץ = שאלה 1 של זלצמן, שאלה 2 של הורוביץ = שאלה 7 של זלצמן, שאלה 4 של הורוביץ = שאלה 4 של זלצמן, שאלה 5 של הורוביץ = שאלה 2 של זלצמן). כמו כן כדאי להוסיף שהבחינה של ד"ר שיין זהה לבחינה של ד"ר הורוביץ, למעט בשאלה 6 שעסקה בחתכי דדקינד.

כעת שאלה לגבי הפתרונות עצמם: בשאלה 5ג (של זלצמן) כתבת ששורש איקס רציפה בכל הממשיים, אבל זה כמובן לא נכון כי היא מוגדרת רק בממשיים החיוביים. האם יש דרך אחרת להוכיח רציפות במ"ש בסעיף זה בלי להתבסס על טענה זו?

שוב תודה על פרסום הפתרונות (במיוחד עבור המבחן של ד"ר הורוביץ שזה בכלל לא מובן מאליו).

תשובה

שאלה 3 הייתה ציטוט משפטים, שאלה 6 עסקה בנגזרות, ושאלה 8 הייתה להוכיח את משפט קנטור - לא כתבתי להן פתרונות, כמו כן לא כתבתי פתרון לשאלה על חתכי דדיקינד.

לגבי 5ג, לא צריך ששורש איקס יהיה רציף במ"ש על כל הממשיים, אלא רציף במ"ש בתמונה של הפונקציה עליה הוא מורכב - במקרה זה הערך המוחלט ותמונתו [math]\displaystyle{ [0,\infty) }[/math] ולכן זה פתרון תקין.

תשובה

אוקי, שוב תודה :-)

אוחזר מתוך "https://math-wiki.com/index.php?title=שיחה:88-132_סמסטר_א%27_תשעא&oldid=9666"