משפט רול: הבדלים בין גרסאות בדף
(←הוכחה) |
(←הוכחה) |
||
| שורה 7: | שורה 7: | ||
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
נוכיח כי קיימת נקודת קיצון מקומית <math>c\in (a,b)</math> ולכן המשל נובע ממשפט פרמה. | נוכיח כי קיימת נקודת קיצון מקומית <math>c\in (a,b)</math> ולכן המשל נובע [[משפט פרמה (אינפי)|ממשפט פרמה]]. | ||
לפי משפט ויישטראס השני, כיוון שהפונקציה רציפה בקטע סגור היא מקבלת בו מינימום ומקסימום. | לפי משפט ויישטראס השני, כיוון שהפונקציה רציפה בקטע סגור היא מקבלת בו מינימום ומקסימום. | ||
גרסה מ־14:13, 12 באפריל 2012
משפט רול
תהי f רציפה בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] וגזירה בקטע [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f(a)=f(b) }[/math].
אזי קיימת נקודה [math]\displaystyle{ c\in (a,b) }[/math] עבורה מתקיים [math]\displaystyle{ f'(c)=0 }[/math]
הוכחה
נוכיח כי קיימת נקודת קיצון מקומית [math]\displaystyle{ c\in (a,b) }[/math] ולכן המשל נובע ממשפט פרמה.
לפי משפט ויישטראס השני, כיוון שהפונקציה רציפה בקטע סגור היא מקבלת בו מינימום ומקסימום.
נחלק לשני מקרים: נניח המינימום וגם המקסימום מתקבלים בקצות הקטע a,b. על כן, כיוון ש[math]\displaystyle{ f(a)=f(b) }[/math] אנו מקבלים כי המקסימום והמינימום שווים ולכן הפונקציה קבועה בקטע. לכן כל נקודה בקטע היא נקודת קיצון מקומית, וקיבלנו את התוצאה הדרושה.
אחרת, המינימום או המקסימום מתקבלים בקטע הפתוח [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] ולכן הן נקודות קיצון מקומיות, ושוב קיבלנו את התוצאה הדרושה.