משפט לגראנז' (אינפי): הבדלים בין גרסאות בדף
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) מאין תקציר עריכה |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
| שורה 2: | שורה 2: | ||
תהי <math>f</math> פונקציה רציפה בקטע <math>[a,b]</math> וגזירה בקטע <math>(a,b)</math> . | תהי <math>f</math> פונקציה רציפה בקטע <math>[a,b]</math> וגזירה בקטע <math>(a,b)</math> . | ||
אזי קיימת נקודה <math>c\in (a,b)</math> עבורה מתקיים <math>f'(c)=\ | אזי קיימת נקודה <math>c\in (a,b)</math> עבורה מתקיים <math>f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> . | ||
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
נחשב את משוואת הישר העובר בין הנקודות <math>\big(a,f(a)\big)\ ,\ \big(b,f(b)\big)</math>: | נחשב את משוואת הישר העובר בין הנקודות <math>\big(a,f(a)\big)\ ,\ \big(b,f(b)\big)</math> : | ||
:<math>y | :<math>y=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)</math> | ||
נחסיר את משוואת הישר הזה מהפונקציה המקורית, ונוכל להפעיל את משפט רול על מנת לקבל את התוצאה הרצויה. | נחסיר את משוואת הישר הזה מהפונקציה המקורית, ונוכל להפעיל את משפט רול על-מנת לקבל את התוצאה הרצויה. | ||
:<math>g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a} | :<math>g(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)</math> | ||
<math>g</math> רציפה ב- <math>[a,b]</math> כהפרש פונקציות רציפות בקטע, וגזירה ב- <math>(a,b)</math> כהפרש פונקציות גזירות בקטע. | |||
קל לראות כי <math>g(a)=g(b)=0</math> ו- <math>g</math> | קל לראות כי <math>g(a)=g(b)=0</math> ו- <math>g</math> . לכן לפי תנאי משפט רול קיימת נקודה <math>c\in(a,b)</math> עבורה מתקיים <math>g'(c)=0</math> . | ||
:<math> | אבל: | ||
:<math>g'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0</math> | |||
כלומר | כלומר | ||
:<math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> | :<math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> | ||
גרסה מ־15:18, 27 בספטמבר 2016
משפט לגראנז'
תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה רציפה בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] וגזירה בקטע [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] .
אזי קיימת נקודה [math]\displaystyle{ c\in (a,b) }[/math] עבורה מתקיים [math]\displaystyle{ f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} }[/math] .
הוכחה
נחשב את משוואת הישר העובר בין הנקודות [math]\displaystyle{ \big(a,f(a)\big)\ ,\ \big(b,f(b)\big) }[/math] :
- [math]\displaystyle{ y=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) }[/math]
נחסיר את משוואת הישר הזה מהפונקציה המקורית, ונוכל להפעיל את משפט רול על-מנת לקבל את התוצאה הרצויה.
- [math]\displaystyle{ g(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) }[/math]
[math]\displaystyle{ g }[/math] רציפה ב- [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] כהפרש פונקציות רציפות בקטע, וגזירה ב- [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] כהפרש פונקציות גזירות בקטע.
קל לראות כי [math]\displaystyle{ g(a)=g(b)=0 }[/math] ו- [math]\displaystyle{ g }[/math] . לכן לפי תנאי משפט רול קיימת נקודה [math]\displaystyle{ c\in(a,b) }[/math] עבורה מתקיים [math]\displaystyle{ g'(c)=0 }[/math] .
אבל:
- [math]\displaystyle{ g'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0 }[/math]
כלומר
- [math]\displaystyle{ f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} }[/math]
כפי שרצינו. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]