אנליזת פורייה - ארז שיינר

מבחנים לדוגמא

• מבחן לדוגמא סמסטר ב' תשע"ט
  • פתרון מבחן לדוגמא סמסטר ב' תשע"ט
• מועד א' סמסטר ב' תשע"ט
  • פתרון חלקי מאד מועד א' סמסטר ב' תשע"ט
• מועד ב' סמסטר ב' תשע"ט
  • • פתרון מועד ב' סמסטר ב' תשע"ט

תקציר ההרצאות

• ההרצאות מבוססות בחלקן על הספר המצויין 'טורי פוריה' של זעפרני ופינקוס.

הרצאה 1 - הקדמה ומקדמי פוריה

הקדמה - גלים

• מבלי להגדיר גל במפורש, גל הוא תופעה מחזורית.
• לגל שהוא פונקציה במשתנה אחד של ציר הזמן יש שלוש תכונות:
  • תדר או אורך גל (אחד חלקי המחזור או המחזור)
  • אמפליטודה (מרחק בין המקסימום למינימום)
  • פאזה (מהי נק' ההתחלה של המחזור).
• אנחנו נתרכז כמעט באופן בלעדי בפונקציות הטריגונומטריות סינוס וקוסינוס, ונקרא להם גלים טריגונומטריים.

• מדוע דווקא סינוס וקוסינוס?
• למדנו במד"ר על המשוואה [math]\displaystyle{ y''=-k^2y }[/math] המתארת תנועה על מסה המחוברת לקפיץ
• זו למעשה תנועה כללית של גל - ככל שהוא מתרחק, גדל הכוח שמושך אותו למרכז. מיתר גיטרה הוא דוגמא טובה נוספת.
• הפתרון הכללי למד"ר הוא [math]\displaystyle{ y=a\sin(kt)+b\cos(kt) }[/math].
• הקבוע [math]\displaystyle{ k }[/math] קובע את התדר של כל גל.
• הקבועים [math]\displaystyle{ a,b }[/math] קובעים את האמפליטודה של כל גל.
• מה לגבי הפאזה?
  • בפונקציה [math]\displaystyle{ a\sin(kt+t_0) }[/math], הקבוע [math]\displaystyle{ t_0 }[/math] קובע את הפאזה.
  • ניתן להציג כל גל כזה באמצעות סינוס וקוסינוס ללא פאזה:
    • [math]\displaystyle{ a\sin(kt+t_0)=(a\sin(t_0))cos(kt)+(a\cos(t_0))sin(kt) }[/math]

• האם גם ההפך נכון? כלומר האם כל צירוף לינארי [math]\displaystyle{ a\sin(kt)+b\cos(kt) }[/math] ניתן להציג כגל יחיד?
• תשובה: כן.
• הוכחה:
  • נסמן [math]\displaystyle{ z=a+bi=rcis(\theta) }[/math]
  • כלומר [math]\displaystyle{ a\sin(kt)+b\cos(kt)=r\sin(\theta)sin(kt)+r\cos(\theta)cos(kt)=rcos(kt-\theta) }[/math]
• שימו לב:
  • סכמנו שני גלים מאותו תדר עם פאזה אפס, וקיבלנו גל חדש.
  • הגל החדש הוא מאותו תדר כמו שני הגלים.
  • לגל החדש יש פאזה שאינה אפס.
  • האפליטודה של הגל החדש היא [math]\displaystyle{ r=\sqrt{a^2+b^2} }[/math].

• האם כל פונקציה היא סכום של גלים?
• בהנתן פונקציה שהיא סכום של גלים, כיצד נמצא מיהם הגלים המרכיבים אותה?
• האם יש דרך יחידה להרכיב פונקציה מגלים? (למעשה כבר ראינו שלא באופן כללי - הרי הצלחנו להציג גל אחד כסכום של שני גלים אחרים).
• למה בכלל מעניין אותנו לפרק פונקציה לגלים?
• במהלך ההרצאות נענה (לפחות חלקית) על השאלות הללו.

טורי פורייה ומקדמי פוריה

• טור פורייה הוא טור מהצורה [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right] }[/math]

• אם פונקציה שווה לטור פורייה שלה, מהם המקדמים [math]\displaystyle{ a_n,b_n }[/math]?

חישובים להקדמה

• ראשית נזכור את הנוסחאות הטריגונומטריות:
  • [math]\displaystyle{ \sin(a)\sin(b)=\frac{1}{2}\left[\cos(a-b)-\cos(a+b)\right] }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \cos(a)\cos(b)=\frac{1}{2}\left[\cos(a+b)+\cos(a-b)\right] }[/math]
• כעת, לכל [math]\displaystyle{ 0\neq n\in\mathbb{N} }[/math] נקבל:
  • [math]\displaystyle{ \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\sin(nx)dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(1-\cos(2nx))dx = \frac{1}{2\pi}\left[x-\frac{1}{2n}\sin(2nx)\right]_{-\pi}^{\pi}=1 }[/math]
• עבור [math]\displaystyle{ n\neq k \in \mathbb{N} }[/math] נקבל:
  • [math]\displaystyle{ \int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\sin(kx)dx = \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos((n-k)x)-\cos((n+k)x))dx = \frac{1}{2}\left[\frac{\sin((n-k)x)}{n-k}-\frac{\sin((n+k)x)}{n+k}\right]_{-\pi}^{\pi}=0 }[/math]
  • שימו לב כי השתמשנו כאן בעובדה ש[math]\displaystyle{ n-k,n+k\neq 0 }[/math].
• באופן דומה, לכל [math]\displaystyle{ 0\neq n\in\mathbb{N} }[/math] נקבל:
  • [math]\displaystyle{ \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(nx)dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos(2nx)+1)dx = \frac{1}{2\pi}\left[\frac{1}{2n}\sin(2nx)+x\right]_{-\pi}^{\pi}=1 }[/math]
• עבור [math]\displaystyle{ n\neq k \in \mathbb{N} }[/math] נקבל:
  • [math]\displaystyle{ \int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(kx)dx = \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos((n+k)x)+\cos((n-k)x))dx = \frac{1}{2}\left[\frac{\sin((n+k)x)}{n+k}+\frac{\sin((n-k)x)}{n-k}\right]_{-\pi}^{\pi}=0 }[/math]
  • שימו לב כי השתמשנו כאן בעובדה ש[math]\displaystyle{ n-k,n+k\neq 0 }[/math].
• עבור [math]\displaystyle{ n,k\in \mathbb{N} }[/math] נקבל:
  • [math]\displaystyle{ \int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\sin(kx)dx=0 }[/math] כיוון שמדובר באינטגרל בקטע סימטרי על פונקציה אי זוגית.
• ולבסוף, עבור [math]\displaystyle{ n=0 }[/math] נקבל
  • [math]\displaystyle{ \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(0)\cos(0)dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}1dx=2 }[/math]
• שימו לב שכאשר מציבים 0 בsin מקבלים אפס, ולכן אין צורך בבדיקה הזו.
• כמו כן קל לחשב [math]\displaystyle{ \int_{-\pi}^{\pi} \sin(x)dx = \int_{-\pi}^{\pi} \cos(x)dx=0 }[/math]

• הערה חשובה:
  • למעשה כלל החישובים שעשינו לעיל מוכיחים שהקבוצה [math]\displaystyle{ \{\frac{1}{\sqrt{2}},sin(x),cos(x),sin(2x),cos(2x),...\} }[/math] מהווה קבוצה אורתונורמלית לפי המכפלה הפנימית [math]\displaystyle{ \langle f,g\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(f\cdot g) dx }[/math]

מקדמי הטור

• כעת תהי פונקציה ששווה לטור פורייה, ועוד נניח שהטור מתכנס במ"ש.
• [math]\displaystyle{ \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(kx)dx = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]\right)\cos(kx)dx= }[/math]
• [math]\displaystyle{ =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{a_0}{2}\cos(kx)+\sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos(nx)\cos(kx)+b_n\sin(nx)\cos(kx)\right]\right)dx= }[/math]
• כיוון שהטור מתכנס במ"ש, מותר לנו לעשות אינטגרציה איבר איבר
• [math]\displaystyle{ =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_0}{2}\cos(kx)dx + \sum_{n=1}^\infty \left[\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(a_n\cos(nx)\cos(kx)+b_n\sin(nx)\cos(kx)\right)dx\right] }[/math]
• לפי חישובי האינטגרלים לעיל, כמעט הכל מתאפס וסה"כ נקבל:
• [math]\displaystyle{ a_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(kx)dx }[/math]
• שימו לב שחישוב זה נכון בפרט עבור [math]\displaystyle{ k=0 }[/math].
• באופן דומה נקבל כי [math]\displaystyle{ b_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(kx)dx }[/math]

• הוכחנו שאם פונקציה שווה לטור פורייה, והטור מתכנס במ"ש, אזי הוא יחיד והמקדמים שלו נקבעים על ידי הנוסחאות לעיל.
• השאלה היא אילו פונקציות שוות לטור פורייה.
• באופן מיידי, ברור שטור פורייה הוא פונקציה עם מחזור [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math].
• לכן בדר"כ אנו שואלים האם ההמשך המחזורי של הפונקציה שווה לטור פורייה:
  • תהי פונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math], נגדיר את ההמשך המחזורי שלה [math]\displaystyle{ g }[/math] על ידי:
  • לכל [math]\displaystyle{ k\in\mathbb{Z} }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ x\in [-\pi+2\pi k,\pi+2\pi k) }[/math] נגדיר [math]\displaystyle{ g(x)=f(x-2\pi k) }[/math].
  • ברור ש [math]\displaystyle{ g(x+2\pi) = g(x) }[/math], כלומר קיבלנו פונקציה מחזורית.
  • ניתן גם לרשום בנוסחא מקוצרת [math]\displaystyle{ g(x)=f(x-2\pi\lfloor\frac{x+\pi}{2\pi}\rfloor) }[/math]

• לדוגמא, ההמשך המחזורי של [math]\displaystyle{ x^2 }[/math]:

דוגמא

• נחשב את מקדמי הפורייה של ההמשך המחזורי של [math]\displaystyle{ x^2 }[/math]
• שימו לב, מקדמי הפורייה של פונקציה וההמשך המחזורי שלה זהים, כיוון שערך הפונקציה בנקודה אחת לא משפיע על האינטגרל.

[math]\displaystyle{ b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\sin(nx)dx=0 }[/math].

• שימו לב: מקדמי הפורייה של הסינוסים תמיד יתאפסו עבור פונקציה זוגית, ומקדמי הפורייה של הקוסינוסים תמיד יתאפסו עבור פונקציה אי זוגית.

[math]\displaystyle{ a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2dx= \frac{2}{\pi}\left[\frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{\pi} = \frac{2\pi^2}{3} }[/math]

[math]\displaystyle{ a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\cos(nx)dx=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2\cos(nx)dx =\left\{\begin{array}{lr}f'=\cos(nx) & g=x^2\\ f= \frac{\sin(nx)}{n} & g'=2x\end{array}\right\}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\frac{2}{\pi}\left[\frac{x^2\sin(nx)}{n}\right]_0^{\pi} - \frac{4}{n\pi}\int_{0}^{\pi}x\sin(nx)dx = - \frac{4}{n\pi}\int_{0}^{\pi}x\sin(nx)dx= \left\{\begin{array}{lr}f'=\sin(nx) & g=x\\ f= -\frac{\cos(nx)}{n} & g'=1\end{array}\right\}= }[/math]

[math]\displaystyle{ - \frac{4}{n\pi}\left[\frac{-x\cos(nx)}{n}\right]_0^\pi + \frac{4}{n^2\pi}\int_0^\pi \cos(nx)dx=\frac{4\pi\cos(\pi n)}{n^2\pi}+\frac{4}{n^3\pi}\left[sin(nx)\right]_0^\pi = \frac{4(-1)^n}{n^2} }[/math]

• שימו לב כי לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb{N} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ cos(n\pi)=(-1)^n }[/math]

• סה"כ אם ההמשך המחזורי של [math]\displaystyle{ x^2 }[/math] שווה לטור פורייה שמתכנס במ"ש, אזי טור זה הוא:

[math]\displaystyle{ \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4(-1)^n}{n^2}cos(nx) }[/math]

• נניח (ונוכיח בהמשך) שטור זה אכן שווה לפונקציה ונציב [math]\displaystyle{ \pi }[/math].
• [math]\displaystyle{ \pi^2 = \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4}{n^2} }[/math]
• ונקבל את הסכום המפורסם

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6} }[/math]

הרצאה 2 - למת רימן לבג, גרעין דיריכלה

מרחבי מכפלה פנימית שאינם ממימד סופי והיטלים

• פונקציה נקראת רציפה למקוטעין בקטע סופי אם:
  • 1. היא רציפה פרט אולי למספר סופי של נקודות.
  • 2. הגבולות החד צדדיים הרלוונטיים בכל נקודה הם סופיים.
• למעשה נקודות אי הרציפות היחידות של פונקציה רציפה למקוטעין הן ממין ראשון (קפיצתיות).
• פונקציה נקראת רציפה למקוטעין בקטע כללי, אם ניתן לחלק אותו לקטעים סופיים בהן הפונקציה רציפה למקוטעין.

• E הוא המרחב הוקטורי של כל הפונקציות הרציפות למקוטעין [math]\displaystyle{ f:[-\pi,\pi]\to\mathbb{C} }[/math] מעל השדה [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math], המקיימות בנוסף שבכל נקודה ערך הפונקציה שווה לממוצע בין הגבולות החד צדדיים שלה, ובקצוות ערך הנקודה שווה לגבול החד צדדי המוגדר.
  • לא קשה להוכיח שאכן מדובר במרחב וקטורי. בעיקר יש לשים לב לכך שסכום פונקציות בקבוצה נשאר בקבוצה.
• [math]\displaystyle{ \langle f,g\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx }[/math] היא מכפלה פנימית מעל E.
  • [math]\displaystyle{ \langle g,f\rangle = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}g(x)\overline{f(x)}dx = \overline{\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx} = \overline{\langle f,g\rangle} }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \langle af+bg,h\rangle = a\langle f,h\rangle + b\langle g,h\rangle }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \langle f,f\rangle = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{f(x)}dx = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f|^2dx }[/math]
    • בכל קטע רציפות האינטגרל על פונקציה חיובית הוא אפס אם ורק אם היא אפס.
    • כיוון שהפונקציה בכל נקודה שווה לאחד הגבולות החד צדדיים או לממוצע בניהם, נובע שאם האינטגרל לעיל מתאפס הפונקציה חייבת להתאפס לחלוטין.
• נביט בנורמה המושרית [math]\displaystyle{ ||f||^2=\langle f,f\rangle }[/math]

• כעת נוכיח מספר תכונות של היטלים במרחבי מכפלה פנימית.
• יש לנקוט בזהירות מיוחדת בנושא זה, כיוון שאנו עוסקים במרחבים שאינם נוצרים סופית (אין להם בסיס סופי או מימד).
• ייתכן שהוכחתם חלק מהמשפטים הבאים רק עבור מרחבים נוצרים סופית.

• תהי קבוצה אורתונורמלית סופית [math]\displaystyle{ \{e_1,...,e_n\} }[/math], ונקרא למרחב שהיא פורשת W.
• לכל וקטור [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] נגדיר את ההיטל של [math]\displaystyle{ v }[/math] על W על ידי [math]\displaystyle{ \widetilde{v}=\sum_{i=1}^n\langle v,e_i\rangle e_i }[/math]
• נוכיח מספר תכונות לגבי ההיטל הזה:

• מתקיים כי [math]\displaystyle{ \langle v,\widetilde{v}\rangle = \langle \widetilde{v},\widetilde{v}\rangle=\sum_{i=1}^n |\langle v,e_i\rangle|^2 }[/math]
  • הוכחה:
  • [math]\displaystyle{ \langle v,\widetilde{v}\rangle = \langle v,\sum_{i=1}^n\langle v,e_i\rangle e_i\rangle = \sum_{i=1}^n \overline{\langle v,e_i\rangle}\langle v,e_i\rangle = \sum_{i=1}^n |\langle v,e_i\rangle|^2 }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \langle \widetilde{v},\widetilde{v}\rangle = \langle \sum_{i=1}^n\langle v,e_i\rangle e_i,\sum_{i=1}^n\langle v,e_i\rangle e_i\rangle = \sum_{i=1}^n |\langle v,e_i\rangle|^2 }[/math]
  • המעבר האחרון נכון כיוון ש [math]\displaystyle{ \{e_1,...,e_n\} }[/math] אורתונורמלית.

• מתקיים כי [math]\displaystyle{ ||v||^2=||v-\widetilde{v}||^2+||\widetilde{v}||^2 }[/math]
  • הוכחה:
  • [math]\displaystyle{ \langle v-\widetilde{v},v-\widetilde{v}\rangle = \langle v,v\rangle - \langle v,\widetilde{v}\rangle - \langle \widetilde{v},v\rangle + \langle \widetilde{v},\widetilde{v}\rangle }[/math]
  • נזכור כי [math]\displaystyle{ \langle v,\widetilde{v}\rangle = \langle \widetilde{v},\widetilde{v}\rangle }[/math].
  • לכן קיבלנו כי [math]\displaystyle{ ||v-\widetilde{v}||^2 = ||v||^2 - ||\widetilde{v}||^2 }[/math]

• מסקנה מיידית: [math]\displaystyle{ ||\widetilde{v}||\leq ||v|| }[/math]

אי שיוויון בסל

• כעת תהי קבוצה אורתונורמלית אינסופית [math]\displaystyle{ \{e_1,e_2,...\} }[/math].
• לכל [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^\infty |\langle v,e_i\rangle|^2 \leq ||v||^2 }[/math]
  • הוכחה:
  • ראינו שלכל n מתקיים כי [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n |\langle v,e_i\rangle|^2 \leq ||v||^2 }[/math].
  • כלומר סדרת הסכומים החלקיים של הטור החיובי חסומה על ידי [math]\displaystyle{ ||v||^2 }[/math] ולכן הטור מתכנס למספר שקטן או שווה לו.

• בפרט נובע כי

[math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}|\langle v,e_i\rangle|=0 }[/math]

למת רימן לבג

• ראינו כי [math]\displaystyle{ \{\sin(x),\cos(x),\sin(2x),\cos(2x),...\} }[/math] היא קבוצה אורתונורמלית ב[math]\displaystyle{ E }[/math] (כרגע אנו לא צריכים את הפונקציה הקבועה).
• כמו כן לכל פונקציה f הגדרנו מקדמי פורייה ע"י:
• לכל [math]\displaystyle{ 1\leq n\in \mathbb{N} }[/math] הגדרנו [math]\displaystyle{ a_n=\langle f,\cos(nx)\rangle }[/math], ו[math]\displaystyle{ b_n=\langle f,\sin(nx)\rangle }[/math]

• נובע מאי שיוויון בסל כי המקדמים שואפים לאפס.
• כלומר:

[math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)dx = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)dx = 0 }[/math]

• למת רימן-לבג: תהי [math]\displaystyle{ g }[/math] רציפה למקוטעין בקטע [math]\displaystyle{ [0,\pi] }[/math], אזי:

[math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\int_{0}^\pi g(t)\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt = 0 }[/math]

• הוכחה:
  • [math]\displaystyle{ \int_{0}^\pi g(t)\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt = \int_{0}^\pi g(t)\cos(\frac{t}{2})\sin(nt) dt+\int_{0}^\pi g(t)\sin(\frac{t}{2})\cos(nt) dt }[/math]
  • נגדיר את שתי הפונקציות [math]\displaystyle{ h_s(t)=\begin{cases}g(t)\sin(\frac{t}{2}) & 0\leq t\leq \pi \\ 0 & -\pi\leq t \lt 0\end{cases} }[/math] ו [math]\displaystyle{ h_c(t)=\begin{cases}g(t)\cos(\frac{t}{2}) & 0\leq t\leq \pi \\ 0 & -\pi\leq t \lt 0\end{cases} }[/math]
  • קל לראות כי שתי הפונקציות רציפות למקוטעין. לכן פרט לשינוי במספר סופי של נקודות שלא משפיע על האינטגרל, ניתן להניח כי [math]\displaystyle{ h_c,h_s\in E }[/math].
  • ביחד נקבל כי [math]\displaystyle{ \int_{0}^\pi g(t)\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt = \int_{-\pi}^\pi h_c(t)\sin(nt)dt + \int_{-\pi}^\pi h_s(t)\cos(nt)dt \to 0 }[/math]

גרעין דיריכלה

• גרעין דיריכלה הוא הפונקציה [math]\displaystyle{ D_n(t)= \frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)}{2\sin(\frac{t}{2})} }[/math]

• טענה: [math]\displaystyle{ D_n(t)=\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^n \cos(kt) }[/math] בכל נקודה [math]\displaystyle{ t\neq 2\pi k }[/math]
  • הוכחה:
  • נכפל ב[math]\displaystyle{ 2\sin(\frac{t}{2}) }[/math] ונקבל בצד שמאל:
  • [math]\displaystyle{ \sin(\frac{t}{2}) + 2\sin(\frac{t}{2})\cos(t) + 2\sin(\frac{t}{2})\cos(2t)+...+2\sin(\frac{t}{2})\cos(nt) }[/math]
  • נבחין בזהות הטריגונומטרית [math]\displaystyle{ 2\sin(a)\cos(b) = \sin(b+a)-\sin(b-a) }[/math]
  • ובפרט [math]\displaystyle{ 2\sin(\frac{t}{2})\cos(kt) = \sin(kt+\frac{t}{2}) - \sin(kt-\frac{t}{2}) }[/math]
  • ביחד נקבל [math]\displaystyle{ \sin(\frac{t}{2}) + \sin(t+\frac{t}{2})-\sin(t-\frac{t}{2}) + \sin(2t+\frac{t}{2}) - \sin(2t-\frac{t}{2})+...+\sin(nt+\frac{t}{2}) - \sin(nt-\frac{t}{2}) = \sin(nt+\frac{t}{2}) = \sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right) }[/math]

• נשים לב כי הפונקציה [math]\displaystyle{ 2\sin(\frac{t}{2}) }[/math] מתאפסת בנקודות [math]\displaystyle{ t=2\pi k }[/math], בנקודות אלו לגרעין דיריכלה יש אי רציפות סליקה.
• זה נכון כיוון שפרט לנקודות אלו מדובר בפונקציה רציפה.
• כמו כן, גרעין דיריכלה מחזורי [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math] כיוון שהוא סכום של פונקציות מחזוריות [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math].

• נחשב את האינטגרל על גרעין דיריכלה:
• ראשית, לכל [math]\displaystyle{ 1\leq k \in \mathbb{N} }[/math] מתקיים:

[math]\displaystyle{ \int_0^\pi \cos(kt)dt = \left[\frac{\sin(kt)}{k}\right]_0^\pi = 0 }[/math]

• לכן נקבל:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{\pi}\int_0^\pi D_n(t)dt = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \left[\frac{1}{2} + \cos(t) + \cos(2t)+...+\cos(nt)\right]dt = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \frac{1}{2}dt = \frac{1}{2} }[/math]

הסכומים החלקיים של טור פוריה

• תהיה נקודה x, נביט בסדרת הסכומים החלקיים של טור הפוריה המתאים לפונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] שהיא מחזורית [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math]:

[math]\displaystyle{ S_n = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^n a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx) }[/math]

• נציב את מקדמי פוריה ונקבל כי:

[math]\displaystyle{ S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi \frac{1}{2}f(t)dt + \sum_{k=1}^n \left[\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\cos(kt)dt\right]\cos(kx)+\left[\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\sin(kt)dt\right]\sin(kx)= }[/math]

[math]\displaystyle{ = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi\left[\frac{1}{2}f(t)+\sum_{k=1}^n f(t)\left(\cos(kt)\cos(kx) + \sin(kt)\sin(kx)\right)\right]dt= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\left[\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^n \cos(k(t-x))\right]dt }[/math]

• זה בעצם גרעין דיריכלה, כלומר קיבלנו כי:

[math]\displaystyle{ S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)D_n(t-x)dt }[/math]

• שימו לב ששינוי מספר סופי של נקודות לא משפיע על האינטגרל, ולכן נקודות אי הרציפות הסליקות של גרעין דיריכלה לא פוגעות בהוכחה.

• טענה: תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה מחזורית [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math]. אזי לכל [math]\displaystyle{ a\in\mathbb{R} }[/math] מתקיים כי:

[math]\displaystyle{ \int_{-\pi}^\pi f(x)dx = \int_{-\pi+a}^{\pi+a} f(x)dx }[/math]

• כלומר, השטח מתחת לגרף הפונקציה שווה על כל קטע באורך [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math].
  • הוכחה:

[math]\displaystyle{ \int_{-\pi+a}^{\pi+a} f(x)dx = \int_{-\pi+a}^{\pi} f(x)dx + \int_{\pi}^{\pi+a} f(x)dx }[/math]

נבצע הצבה [math]\displaystyle{ t=x-2\pi }[/math] באינטגרל השני ונקבל:

[math]\displaystyle{ \int_{\pi}^{\pi+a} f(x)dx = \{t=x-2\pi, dt=dx\} = \int_{-\pi}^{-\pi+a}f(t+2\pi)dt = \int_{-\pi}^{-\pi+a}f(t)dt = \int_{-\pi}^{-\pi+a}f(x)dx }[/math]

ביחד נקבל כי:

[math]\displaystyle{ \int_{-\pi+a}^{\pi+a} f(x)dx=\int_{-\pi+a}^{\pi} f(x)dx + \int_{-\pi}^{-\pi+a}f(x)dx = \int_{-\pi}^\pi f(x)dx }[/math]

• נחזור לסכומים החלקיים ונבצע הצבה:

[math]\displaystyle{ S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)D_n(t-x)dt = \{ u=t-x, du=dt\} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi-x}^{\pi-x} f(x+u)D_n(u)du }[/math]

כיוון שגרעין דיריכלה ו[math]\displaystyle{ f }[/math] הן מחזוריות, נקבל:

[math]\displaystyle{ S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x+u)D_n(u)du=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x+t)D_n(t)dt }[/math]

הרצאה 3 התכנסות נקודתית של טורי פוריה

סימונים והגדרות

• נסמן את הגבול החד צדדי מימין ב[math]\displaystyle{ f(d^+)=\lim_{x\to d^+}f(x) }[/math].
• נסמן את הגבול החד צדדי משמאל ב[math]\displaystyle{ f(d^-)=\lim_{x\to d^-}f(x) }[/math].
• שימו לב: אם הפונקציה רציפה למקוטעין, הערכים הללו תמיד מוגדרים.

• נגדיר את הנגזרת הימנית ע"י [math]\displaystyle{ f'(x^+) = \lim_{t\to 0^+}\frac{f(x+t)-f(x^+)}{t} }[/math].
• נגדיר את הנגזרת השמאלית ע"י [math]\displaystyle{ f'(x^-) = \lim_{t\to 0^-}\frac{f(x+t)-f(x^-)}{t} }[/math].
• שימו לב: ייתכן ש[math]\displaystyle{ f'(d^+)=f'(d^-) }[/math] אך הפונקציה אינה גזירה בd. זה יקרה אם היא לא רציפה בנקודה.

דוגמא:

• נביט בפונקציה [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{x}{|x|} }[/math]
• מתקיים כי [math]\displaystyle{ f(0^+)=1 }[/math], ו[math]\displaystyle{ f(0^-)=-1 }[/math].
• כמו כן מתקיים כי [math]\displaystyle{ f'(0^+)=f'(0^-)=0 }[/math].

כמובן שהפונקציה אינה רציפה ואינה גזירה ב0.

משפט דיריכלה - התכנסות נקודתית של טור פוריה

• תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה מחזורית [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math], רציפה למקוטעין כך שבכל נקודה הנגזרות החד צדדיות שלה קיימות וסופיות.
• אזי לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb{R} }[/math] הטור עם מקדמי הפוריה של [math]\displaystyle{ f }[/math] מתכנס:

[math]\displaystyle{ \frac{f(x^+)+f(x^-)}{2}=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx) }[/math]

• בפרט, בכל נקודה בה הפונקציה רציפה טור הפוריה מתכנס נקודתית לפונקציה, ובכל נקודה בה יש אי רציפות קפיצתית טור הפוריה מתכנס לממוצע הגבולות מימין ומשמאל.

הוכחה

• תהי נקודה [math]\displaystyle{ x\in\mathbb{R} }[/math].
• נביט בפונקציה [math]\displaystyle{ g(t) = \frac{f(x+t) - f(x^+)}{2\sin(\frac{t}{2})} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \lim_{t\to 0^+}g(t) = \lim_{t\to 0^+}\frac{f(x+t) - f(x^+)}{t}\frac{\frac{t}{2}}{\sin(\frac{t}{2})} = f'(x^+)\cdot 1 }[/math]
• כיוון שהנגזרות החד צדדיות קיימות וסופיות, קיבלנו ש[math]\displaystyle{ g(t) }[/math] רציפה למקוטעין בקטע [math]\displaystyle{ [0,\pi] }[/math].
• לפי למת רימן-לבג נובע כי:

[math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\int_0^\pi g(t)\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt=0 }[/math]

• כלומר:

[math]\displaystyle{ 0=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \left[f(x+t)-f(x^+)\right]\frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)}{2\sin(\frac{t}{2})}dt= \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \left[f(x+t)-f(x^+)\right]D_n(t)dt }[/math]

• כיוון ש

[math]\displaystyle{ \frac{1}{\pi}\int_0^\pi f(x^+)D_n(t)dt = \frac{f(x^+)}{2} }[/math]

• נובע כי:

[math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_0^\pi f(x+t)D_n(t)dt = \frac{f(x^+)}{2} }[/math]

• באופן דומה לחלוטין ניתן להוכיח כי:

[math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^0 f(x+t)D_n(t)dt = \frac{f(x^-)}{2} }[/math]

• ולכן סה"כ נקבל כי:

[math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} S_n(x)= \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x+t)D_n(t)dt = \frac{f(x^-)+f(x^+)}{2} }[/math]

דוגמאות

דוגמא 1

• תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] ההמשך המחזורי של [math]\displaystyle{ x }[/math].

• כיוון שf רציפה למקוטעין ובעלת נגזרות חד צדדיות קיימות (כולן שוות 1), תנאי משפט דיריכלה מתקיימים.
• כיוון שf הינה אי-זוגית, לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ a_n=0 }[/math].

• כעת נחשב את המקדמים של הסינוסים:

[math]\displaystyle{ b_n=\langle f,sin(nx)\rangle = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi x\sin(nx)dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^\pi x\sin(nx)dx= \frac{2}{n\pi}\left[-x\cos(nx)\right]_{0}^\pi + \frac{2}{n\pi}\int_{0}^{\pi}\cos(nx)dx = -\frac{2\pi\cos(\pi n)}{\pi n} = \frac{2(-1)^{n+1}}{n} }[/math]

• לכן, בכל נקודת רציפות של f, כלומר בכל נקודה [math]\displaystyle{ x\neq \pi +2\pi k }[/math], מתקיים כי:

[math]\displaystyle{ f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx) }[/math].

• בפרט, לכל נקודה [math]\displaystyle{ x\in (-\pi,\pi) }[/math] מתקיים כי:

[math]\displaystyle{ x=\sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx) }[/math]

• עבור נקודות אי הרציפות (הקפיצתיות), מתקיים כי הממוצע בין הגבולות החד צדדיים הוא אפס.
• קל לראות שאכן לכל [math]\displaystyle{ x=\pi+2\pi k }[/math] נקבל שטור הפורייה מתכנס לאפס (למעשה כל הסינוסים מתאפסים).

• נציב לדוגמא [math]\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2} }[/math] ונקבל:

[math]\displaystyle{ \frac{\pi}{2}=\sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(\frac{n\pi}{2}) }[/math]

• לכל n זוגי הסינוס יתאפס, ולכן נקבל:

[math]\displaystyle{ \frac{\pi}{2}=\sum_{n=1}^\infty\frac{2}{2n-1}\sin(n\pi-\frac{\pi}{2}) =\sum_{n=1}^\infty\frac{-2}{2n-1}\cos(n\pi) = \sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^{n+1}}{2n-1} }[/math]

• שימו לב שהפעם לא קיבלנו טור חדש בזכות פורייה, כיוון שנקבל בדיוק את אותו הטור אם נציב 1 בטור הטיילור של [math]\displaystyle{ arctan(x) }[/math].

דוגמא 2

• כעת, תהי [math]\displaystyle{ g }[/math] ההמשך המחזורי של [math]\displaystyle{ x^2 }[/math].
• הפונקציה g הינה רציפה בכל הממשיים.
• הפונקציה g גזירה בכל הממשיים פרט לנקודות [math]\displaystyle{ x=\pi+2\pi k }[/math].
• בנקודות אי הגזירות, הנגזרות החד צדדיות קיימות ושוות ל[math]\displaystyle{ \pm 2\pi }[/math] (כיוון שהנגזרת של [math]\displaystyle{ x^2 }[/math] היא [math]\displaystyle{ 2x }[/math]).
• סה"כ לפי משפט דיריכלה, טור הפוריה של g מתכנס אליה בכל הממשיים (כיוון שהיא רציפה בכל הממשיים).

• כלומר קיבלנו שלכל [math]\displaystyle{ x\in [-\pi,\pi] }[/math] מתקיים כי:

[math]\displaystyle{ x^2=\frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4(-1)^n}{n^2}cos(nx) }[/math]

• שימו לב שאם נגזור איבר איבר את טור הפוריה של [math]\displaystyle{ x^2 }[/math], נקבל את טור הפורייה של [math]\displaystyle{ 2x }[/math].
• האם זה מפתיע?

דוגמא 3

• תהי [math]\displaystyle{ h }[/math] ההמשך המחזורי של הפונקציה [math]\displaystyle{ \begin{cases}x & x\in [0,\pi]\\0 & x\in [-\pi,0)\end{cases} }[/math]

• שוב, קיבלנו פונקציה רציפה למקוטעין עם נגזרות חד צדדיות קיימות וסופיות.

• נחשב את מקדמי הפורייה:

[math]\displaystyle{ a_0=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi xdx = \frac{\pi}{2} }[/math]

[math]\displaystyle{ a_n = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi x\cos(nx)dx = \frac{1}{n\pi}\left[x\sin(nx)\right]_0^\pi - \frac{1}{n\pi}\int_0^\pi \sin(nx)dx = \frac{1}{n^2\pi}\left[\cos(nx)\right]_0^\pi= \frac{(-1)^n-1}{\pi n^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ b_n = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi x\sin(nx)dx = \frac{-1}{n\pi}\left[x\cos(nx)\right]_0^\pi + \frac{1}{n\pi}\int_0^\pi \cos(nx)dx = \frac{(-1)^{n+1}}{n} }[/math]

• סה"כ שלכל [math]\displaystyle{ x\in (-\pi,\pi) }[/math] מתקיים כי:

[math]\displaystyle{ h(x) = \frac{\pi}{4} + \sum_{n=1}^\infty \left[\frac{(-1)^n-1}{\pi n^2}\cos(nx) + \frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)\right] }[/math]

• שימו לב: מצאנו שני טורי פורייה שמתכנסים ל[math]\displaystyle{ x }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ (0,\pi) }[/math].
• באופן דומה אפשר להראות שקיימים אינסוף טורי פורייה כאלה.

טור הנגזרת

• תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה בקטע [math]\displaystyle{ [-\pi,\pi] }[/math] כך שהנגזרת שלה [math]\displaystyle{ f' }[/math] רציפה למקוטעין בקטע.

שימוש בנוסחאת ניוטון לייבניץ לחישוב האינטגרל המסויים

• שימו לב שמותר לנו להשתמש בנוסחאת ניוטון לייבניץ:
  • כיוון שהנגזרת רציפה למקוטעין, אפשר להראות בעזרת לופיטל שהנגזרות החד צדדיות בנקודות אי הגזירות של f קיימות.
  • בעצם, זה מראה שf גזירה בקטעים סגורים בהם אפשר להפעיל את נוסחאת ניוטון לייבניץ.
  • אם נחשב את האינטגרל על הנגזרת בכל הקטעים הסגורים, ערכי f יצטמצמו, פרט לקצוות.
    • לדוגמא:
    • [math]\displaystyle{ \int_{-1}^1 \frac{x}{|x|}dx = \int_{-1}^0 (-1)dx + \int_{0}^1 (1)dx = (-x)|_{-1}^0+(x)|_0^1 = 0-1 + 1-0 = 1-1 }[/math]
    • כלומר קיבלנו כי [math]\displaystyle{ \int_{-1}^1 \frac{x}{|x|}dx = (|x|)_{-1}^{1} }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ (|x|)' = \frac{x}{|x|} }[/math]

חישוב מקדמי טור הפורייה של הנגזרת

• נסמן את מקדמי הפורייה של [math]\displaystyle{ f }[/math] ב[math]\displaystyle{ a_n,b_n }[/math]
• נחשב את מקדמי הפורייה של הנגזרת, נסמן אותם ב[math]\displaystyle{ \alpha_n,\beta_n }[/math]:

[math]\displaystyle{ \alpha_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f'(x)dx= \frac{f(\pi)-f(-\pi)}{\pi} }[/math]

[math]\displaystyle{ \alpha_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f'(x)\cos(nx)dx = \frac{1}{\pi}\left[f(x)\cos(nx)\right]_{-\pi}^\pi +\frac{n}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)dx = \frac{(-1)^n\left(f(\pi)-f(-\pi)\right)}{\pi}+n\cdot b_n = (-1)^n\alpha_0+nb_n }[/math]

[math]\displaystyle{ \beta_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f'(x)\sin(nx)dx = \frac{1}{\pi}\left[f(x)\sin(nx)\right]_{-\pi}^\pi -\frac{n}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)dx = -n\cdot a_n }[/math]

• כלומר, בתנאים הנתונים, אם טור הפוריה של f הינו:

[math]\displaystyle{ f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx) }[/math]

• אזי טור הפורייה של הנגזרת הינו:

[math]\displaystyle{ f'(x)\sim\frac{\alpha_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left((-1)^n\alpha_0+nb_n\right)\cos(nx)-n\cdot a_n\sin(nx) }[/math]

• במקרה המיוחד בו [math]\displaystyle{ f(-\pi)=f(\pi) }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ \alpha_0=0 }[/math] ולכן נקבל את טור הפורייה הפשוט:

[math]\displaystyle{ f'(x)\sim\sum_{n=1}^\infty nb_n\cos(nx)-na_n\sin(nx) }[/math]

דוגמאות

דוגמא 1

• נזכר בטור הפורייה של [math]\displaystyle{ x^2 }[/math]:

[math]\displaystyle{ \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4(-1)^n}{n^2}cos(nx) }[/math]

• נרצה למצוא את מקדמי הפוריה של [math]\displaystyle{ \frac{x^3}{3} }[/math], נסמנם ב[math]\displaystyle{ a_n,b_n }[/math].

• לכל [math]\displaystyle{ 1\leq n }[/math] נקבל כי:

[math]\displaystyle{ \frac{2(-1)^n\pi^2}{3}+nb_n = \frac{4(-1)^n}{n^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ -na_n = 0 }[/math]

• כמו כן נחשב את המקדם הראשון:

[math]\displaystyle{ a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi \frac{x^3}{3}dx = 0 }[/math]

• נחלץ את המקדמים ונקבל כי טור הפורייה של [math]\displaystyle{ \frac{x^3}{3} }[/math] הוא:

[math]\displaystyle{ \frac{x^3}{3} \sim \sum_{n=1}^\infty \frac{2(-1)^n}{n^3}\left(2-\frac{\pi^2 n^2}{3}\right)\sin(nx) }[/math]

דוגמא 2

• נחשב את טור הפורייה של [math]\displaystyle{ e^x }[/math].
• נסמן את טור הפורייה של [math]\displaystyle{ e^x }[/math] ב:

[math]\displaystyle{ \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx) }[/math]

• כמובן שהנגזרת במקרה הזה שווה לפונקציה, ולכן יש לה בדיוק אותו טור פורייה.
• מצד שני, טור הפורייה של הנגזרת צריך להיות:

[math]\displaystyle{ \frac{\alpha_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left((-1)^n\alpha_0+nb_n\right)\cos(nx) -na_n\sin(nx) }[/math]

• כאשר [math]\displaystyle{ \alpha_0=\frac{f(\pi)-f(-\pi)}{\pi}=\frac{e^\pi-e^{-\pi}}{\pi} }[/math]

• ביחד נקבל את המשוואות:

[math]\displaystyle{ a_0=\alpha_0 }[/math]

[math]\displaystyle{ a_n=(-1)^n\alpha_0+nb_n }[/math]

[math]\displaystyle{ b_n=-na_n }[/math]

• נציב את המשוואה השלישית בשנייה ונקבל:

[math]\displaystyle{ a_n=\frac{(-1)^n\alpha_0}{1+n^2} }[/math]

• ולכן

[math]\displaystyle{ b_n=\frac{n(-1)^{n+1}\alpha_0}{1+n^2} }[/math]

• סה"כ קיבלנו כי טור הפורייה של [math]\displaystyle{ e^x }[/math] הינו:

[math]\displaystyle{ \frac{\alpha_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n\alpha_0}{1+n^2}\cos(nx) + \frac{n(-1)^{n+1}\alpha_0}{1+n^2}\sin(nx) }[/math]

• כיוון שלהמשך המחזורי של [math]\displaystyle{ e^x }[/math] יש אי רציפות קפיצתית ב[math]\displaystyle{ x=\pi }[/math], טור הפורייה שם מתכנס לממוצע [math]\displaystyle{ \frac{e^\pi+e^{-\pi}}{2} }[/math]
• כלומר, אם נציב [math]\displaystyle{ x=\pi }[/math] נקבל:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{\alpha_0}\frac{e^\pi+e^{-\pi}}{2} = \frac{1}{2} +\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{1+n^2} }[/math]

• נפשט:

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{1+n^2}=\frac{\pi(e^\pi+e^{-\pi})}{2(e^\pi-e^{-\pi})}-\frac{1}{2} }[/math]

הרצאה 4 - התכנסות במ"ש ושיוויון פרסבל

תנאי להתכנסות במ"ש של טור פורייה

• תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה בקטע [math]\displaystyle{ [-\pi,\pi] }[/math] המקיימת [math]\displaystyle{ f(-\pi)=f(\pi) }[/math], כך ש [math]\displaystyle{ f' }[/math] רציפה למקוטעין.
• אזי טור הפורייה של [math]\displaystyle{ f }[/math] מתכנס אליה במ"ש בכל הממשיים.

• לפי משפט דיריכלה ידוע כי טור הפורייה של ההמשך המחזורי של f מתכנס אליה בכל נקודה.
• נסמן את טור הפורייה ב

[math]\displaystyle{ \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx) }[/math]

• ברור כי

[math]\displaystyle{ \left|\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right|\leq \frac{|a_0|}{2} + \sum_{n=1}^\infty |a_n|+|b_n| }[/math]

• לפי מבחן ה-M של ויירשטראס, מספיק להוכיח שטור המספרים מימין מתכנס על מנת להסיק שטור הפורייה מתכנס במ"ש.

• נסמן את מקדמי פורייה של הנגזרת ב[math]\displaystyle{ \alpha_n,\beta_n }[/math].
• כבר חישבנו ש:
  • [math]\displaystyle{ \alpha_0=0 }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \alpha_n=nb_n }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \beta_n=-na_n }[/math]
• לכן ביחד נקבל כי [math]\displaystyle{ \sqrt{|a_n|^2+|b_n|^2}=\frac{1}{n}\sqrt{|\alpha_n|^2+|\beta_n|^2} }[/math]
• לפי אי שיוויון קושי שוורץ, נקבל כי לכל n מתקיים:

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^N \frac{\sqrt{|\alpha_n|^2+|\beta_n|^2}}{n} \leq \sqrt{\sum_{n=1}^N\frac{1}{n^2}}\sqrt{\sum_{n=1}^N |\alpha_n|^2+|\beta_n|^2} }[/math]

• לפי אי שיוויון בסל, אנו יודעים כי הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty |\alpha_n|^2+|\beta_n|^2 }[/math] מתכנס, כיוון שמדובר במקדמי פורייה של [math]\displaystyle{ f'\in E }[/math].
  • (זכרו שמותר להניח כי [math]\displaystyle{ f'\in E }[/math] על ידי שינוי מספר סופי של נקודות שלא משפיעות על חישוב מקדמי הפורייה.)
• לכן [math]\displaystyle{ \left(\sum_{n=1}^N\frac{1}{n^2}\right),\left(\sum_{n=1}^N |\alpha_n|^2+|\beta_n|^2\right) }[/math] חסומות כסדרות סכומים חלקיים של טורים מתכנסים.
• לכן סה"כ [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^N \frac{\sqrt{|\alpha_n|^2+|\beta_n|^2}}{n} }[/math] חסומה, ולכן הטור האינסופי המתאים לה מתכנס.

• סה"כ קיבלנו כי [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \sqrt{|a_n|^2+|b_n|^2} }[/math] מתכנס.
• לכן בוודאי גם הטורים הקטנים יותר [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty |a_n| }[/math] ו[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty |b_n| }[/math] מתכנסים, כפי שרצינו.

שיוויון פרסבל

• נביט במערכת האורתונורמלית [math]\displaystyle{ \{\frac{1}{\sqrt{2}},\cos(x),\sin(x),\cos(2x),\sin(2x),...\}\subseteq E }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ f\in E }[/math].
• ידוע לנו כי [math]\displaystyle{ a_0=\langle f,1\rangle }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \frac{a_0}{\sqrt{2}}=\langle f,\frac{1}{\sqrt{2}}\rangle }[/math]

• נסמן את סדרת הסכומים החלקיים של טור הפורייה המתאים לפונקציה f ב [math]\displaystyle{ S_n }[/math].
• [math]\displaystyle{ S_n }[/math] היא ההיטל של [math]\displaystyle{ f }[/math] על הקבוצה האורתונורמלית [math]\displaystyle{ \{\frac{1}{\sqrt{2}},\cos(x),\sin(x),\cos(2x),\sin(2x),...,\cos(nx),\sin(nx)\} }[/math]
  • אכן [math]\displaystyle{ \langle f,\frac{1}{\sqrt{2}}\rangle \frac{1}{\sqrt{2}} + \sum_{n=1}^\infty \langle f,\cos(nx)\rangle \cos(nx) + \langle f,\sin(nx)\rangle \sin(nx) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx) }[/math]

• נזכור כי [math]\displaystyle{ ||v||^2=||v-\widetilde{v}||^2+||\widetilde{v}||^2 }[/math]
  • לכן [math]\displaystyle{ ||f-S_n||^2=||f||^2-||S_n||^2 }[/math].
• כמו כן, נזכור כי [math]\displaystyle{ ||\widetilde{v}||^2 = \sum_{i=1}^{n}|\langle v,e_i\rangle|^2 }[/math]
  • לכן [math]\displaystyle{ ||S_n||^2 = \frac{|a_0|^2}{2}+\sum_{k=1}^n |a_k|^2+|b_k|^2 }[/math]

• אי שיוויון בסל אומר כי [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^\infty |\langle v,e_i\rangle|^2 \leq ||v||^2 }[/math]
• כלומר:

[math]\displaystyle{ \frac{|a_0|^2}{2}+\sum_{n=1}^\infty |a_n|^2+|b_n|^2 \leq ||f||^2 = \langle f,f\rangle = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2dx }[/math]

• משפט שיוויון פרסבל אומר שבעצם מתקיים שיוויון:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2dx=\frac{|a_0|^2}{2}+\sum_{n=1}^\infty |a_n|^2+|b_n|^2 }[/math]

• אם נוכיח ש [math]\displaystyle{ ||f-S_n||^2\to 0 }[/math], נסיק כי [math]\displaystyle{ ||S_n||^2\to ||f||^2 }[/math] וזהו בדיוק שיוויון פרסבל.

הוכחת שיוויון פרסבל כאשר טור הפורייה מתכנס במ"ש

• תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה בקטע [math]\displaystyle{ [-\pi,\pi] }[/math] המקיימת [math]\displaystyle{ f(-\pi)=f(\pi) }[/math], כך שהנגזרת שלה [math]\displaystyle{ f' }[/math] רציפה למקוטעין.
• נסמן [math]\displaystyle{ d_n=\sup_{[-\pi,\pi]}|f-S_n| }[/math]
• הוכחנו כי טור הפורייה של f מתכנס אליה במ"ש, כלומר [math]\displaystyle{ d_n\to 0 }[/math].
• לכן [math]\displaystyle{ ||f-S_n||^2 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |f-S_n|^2dx \leq 2d_n^2 \to 0 }[/math]

דוגמא

• הפונקציה [math]\displaystyle{ f(x)=x^2 }[/math] מקיימת את דרישות המשפט.
• נזכור כי טור הפורייה שלה הוא:

[math]\displaystyle{ \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4(-1)^n}{n^2}cos(nx) }[/math]

• לכן לפי שיוויון פרסבל נקבל כי:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x^4dx = \frac{4\pi^4}{18}+\sum_{n=1}^\infty \frac{16}{n^4} }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{2\pi^4}{5}-\frac{4\pi^4}{18} = \sum_{n=1}^\infty \frac{16}{n^4} }[/math]

• ולכן:

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90} }[/math]

הוכחת שיוויון פרסבל במקרה הכללי

• תהי [math]\displaystyle{ f \in E }[/math], אנחנו מעוניינים להוכיח כי [math]\displaystyle{ ||f-S_m||\to 0 }[/math].
• נבנה סדרת פונקציות [math]\displaystyle{ f_n }[/math] רציפות בקטע [math]\displaystyle{ [-\pi,\pi] }[/math] המקיימות [math]\displaystyle{ f_n(-\pi)=f_n(\pi) }[/math], כך שהנגזרות שלהן [math]\displaystyle{ f_n' }[/math] רציפות למקוטעין, המקיימות:

[math]\displaystyle{ ||f-f_n||\to 0 }[/math]

• יהי [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math], נבחר [math]\displaystyle{ n }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ ||f-f_n||\lt \frac{\varepsilon}{2} }[/math].
• נסמן ב[math]\displaystyle{ T_m }[/math] את סדרת הסכומים החלקיים של טור הפורייה של [math]\displaystyle{ f_n }[/math].
• ראינו כי [math]\displaystyle{ \lim_{m\to\infty}||f_n-T_m||=0 }[/math].

• כיוון שההיטל הוא הוקטור הקרוב ביותר, נקבל:
  • [math]\displaystyle{ ||f-S_m||\leq ||f-T_m|| }[/math]
• כמו כן, [math]\displaystyle{ ||f-T_m||\leq ||f-f_n||+||f_n-T_m|| }[/math]
• קיים מקום החל ממנו לכל [math]\displaystyle{ m }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ ||f_n-T_m||\lt \frac{\varepsilon}{2} }[/math].
• לכן החל ממקום זה [math]\displaystyle{ ||f-S_m||\lt \varepsilon }[/math] כפי שרצינו.

בניית סדרת הפונקציות

• f רציפה למקוטעין, ולכן רציפה במ"ש בכל קטע רציפות.
• לכן ניתן לבחור חלוקה [math]\displaystyle{ P }[/math] הכוללת את נקודות אי הרציפות, עם פרמטר חלוקה מספיק קטן כך ש [math]\displaystyle{ |f(x)-f(c_k)|^2\lt \frac{\varepsilon}{2\pi} }[/math] לכל זוג נקודות [math]\displaystyle{ x,c_k\in [x_{k-1},x_k] }[/math].
• נבחר נקודות כלשהן [math]\displaystyle{ c_k }[/math] בכל קטע ונביט בפונקצית המדרגות g שבכל תת קטע שווה לקבוע [math]\displaystyle{ f(c_k) }[/math].
• כעת האינטגרל תמיד קטן מסכום הדרבו העליון:
  • [math]\displaystyle{ \int_{-\pi}^{\pi} |f-g|^2dx \leq \sum_{k=1}^n \sup_{[x_{k-1},x_k]}|f(x)-f(c_k)|^2 (x_k-x_{k-1}) \leq \sum_{k=1}^n \frac{\varepsilon}{2\pi}(x_k-x_{k-1}) = \varepsilon }[/math]
• לכן אפשר לבנות סדרת פונקציות מדרגות כנ"ל [math]\displaystyle{ g_n }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ ||f-g_n||\lt \frac{1}{n} }[/math]

• כעת נגדיר סדרת פונקציות [math]\displaystyle{ f_n }[/math] להיות [math]\displaystyle{ g_n }[/math], פרט לשינויים הבאים:
  • עבור [math]\displaystyle{ \delta }[/math] שנקבע בהמשך, נחבר בקו ישר את הנקודות בקצוות המקטעים [math]\displaystyle{ [x_k-\delta,x_k] }[/math].
  • נגדיר [math]\displaystyle{ f_n(-\pi)=g(\pi) }[/math].
  • נחבר בקו ישר את הנקודות בקצה הקטע [math]\displaystyle{ [x_0,x_0+\delta] }[/math].
• עבור [math]\displaystyle{ \delta }[/math] קטנה מספיק, [math]\displaystyle{ \int_{-\pi}^{\pi}|f_n-g|^2dx \lt \frac{1}{n} }[/math].

• סה"כ נקבל כי
  • [math]\displaystyle{ f_n }[/math] מורכבת מקטעים ישרים המחוברים זה לזה, ולכן מדובר בפונקציה רציפה, בעלת נגזרת רציפה למקוטעין.
  • [math]\displaystyle{ f_n(-\pi)=f_n(\pi) }[/math]
  • אכן מתקיים כי [math]\displaystyle{ ||f-f_n||\leq ||f-g||+||g-f_n||\to 0 }[/math]

יחידות טור פורייה

הם ישנן שתי פונקציות שונות בעלות אותו טור פורייה?

• תהיינה [math]\displaystyle{ f,g\in E }[/math] בעלות אותם מקדמי פורייה.
• אם טורי הפורייה מתכנסים לפונקציה, ברור שזו אותה הפונקציה, אבל אם לא?

• מקדמי הפורייה של [math]\displaystyle{ f-g }[/math] הם אפס, ולכן לפי שיוויון פרסבל:

[math]\displaystyle{ ||f-g||^2=0 }[/math]

• לכן [math]\displaystyle{ f=g }[/math].

• שימו לב שעבור סתם פונקציות רציפות למקוטעין, זה אומר ש[math]\displaystyle{ f=g }[/math] פרט למספר סופי של נקודות.

האם תתכן פונקציה אחת, בעלת שני טורים טריגונומטריים?

• קנטור הוכיח שאם טור טריגונומטרי שווה לאפס בכל הקטע [math]\displaystyle{ [-\pi,\pi] }[/math], אזי כל מקדמי הטור הם אפס.
• יותר מאוחר הוכיחו כי אם הטור מתאפס בכל נקודה בקטע פרט לקבוצה בת מנייה של נקודות, עדיין כל מקדמי הטור הם אפס.
• מנשוב מצא ב1916 טור טריגונומטרי שמתכנס לאפס בכל נקודה פרט לקבוצה ממידה אפס של נקודות, אך לא כל מקדמי הטור הם אפס.

הרצאה 5 - תופעת גיבס, טורי הסינוסים והקוסינוסים

תופעת גיבס

• ראינו תנאים בהם טור הפורייה מתכנס במ"ש.
• כעת אנחנו רוצים לחקור מקרים בהם אין התכנסות במ"ש, ונראה כי בהן יש חריגה מיוחדת של סדרת הסכומי החלקיים מן הפונקציה.

• נביט בטור פורייה של הפונקציה x:

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx) }[/math]

• נסמן ב[math]\displaystyle{ S_m }[/math] את סדרת הסכומים החלקיים של הטור ונביט ב:

[math]\displaystyle{ S_m(\pi - \frac{\pi}{m})=\sum_{n=1}^m \frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(n(\pi - \frac{\pi}{m})) = \sum_{n=1}^m \frac{2}{n}\sin(\frac{n\pi}{m}) }[/math]

• כעת,

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^m \frac{2}{n}\sin(\frac{n\pi}{m}) = 2\sum_{n=1}^m \frac{\sin\left(\frac{n\pi}{m}\right)}{\left(\frac{n\pi}{m}\right)}\frac{\pi}{m}\to 2\int_0^\pi \frac{\sin(x)}{x}dx }[/math]

• לכן סה"כ השגיאה בקירוב ע"י הסכומים החלקיים בסדרת הנקודות הללו היא:

[math]\displaystyle{ \pi-\frac{\pi}{m} - S_m (\pi-\frac{\pi}{m}) \to \pi - 2\int_0^\pi \frac{\sin(x)}{x}dx = \int_0^\pi (1-\frac{2\sin(x)}{x})dx \approx -0.56 }[/math]

• (הערכת האינטגרל נעשית על ידי פיתוח טור הטיילור של הפונקציה, נקבל טור לייבניץ לפיו קל לבצע הערכת שגיאה.)
• כלומר סדרת הסכומים החלקיים עולה משמעותית מעל הפונקציה, כפי שניתן לראות בגרף המצורף.
• אם נחלק את זה בגודל הקפיצה בין הגבולות החד צדדים של ההמשך המחזורי של x בנקודה [math]\displaystyle{ \pi }[/math], נקבל בערך [math]\displaystyle{ -0.089 }[/math].

• לא נוכיח זאת, אבל יחס הטעות הזה בנקודות אי הרציפות נשמר באופן כללי עבור פונקציות בE שנגזרתן רציפה למקוטעין, ונקרא 'תופעת גיבס'.

טור הסינוסים וטור הקוסינוסים

• עבור פונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] הרציפה בקטע [math]\displaystyle{ [0,\pi] }[/math] ובעלת נגזרת רציפה למקוטעין, ניתן להשלים אותה לפונקציה [math]\displaystyle{ f^+ }[/math] הזוגית בקטע [math]\displaystyle{ [-\pi,\pi] }[/math], או ל[math]\displaystyle{ f^- }[/math] האי זוגית בקטע [math]\displaystyle{ [-\pi,\pi] }[/math].

• את ההמשך הזוגי אפשר לפתח לטור קוסינוסים, שמתכנס במ"ש בקטע [math]\displaystyle{ [0,\pi] }[/math]. זה נקרא טור הקוסינוסים של הפונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math].
• הוכחה:
  • [math]\displaystyle{ f^+ }[/math] רציפה ב[math]\displaystyle{ [-\pi,\pi] }[/math], בעלת נגזרת רציפה למקוטעין, ומתקיים כמובן ש[math]\displaystyle{ f(-\pi)=f(\pi) }[/math].

• את ההמשך האי זוגי אפשר לפתח לטור סינוסים, שמתכנס אל הפונקציה בקטע [math]\displaystyle{ (0,\pi) }[/math]. זה נקרא טור הסינוסים של הפונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math].
• אם [math]\displaystyle{ f(\pi)=f(0)=0 }[/math] אזי טור הסינוסים מתכנס במ"ש בקטע [math]\displaystyle{ [0,\pi] }[/math].
• הוכחה:
  • [math]\displaystyle{ f^- }[/math] רציפה כיוון ש[math]\displaystyle{ f(0)=0 }[/math], ומתקיים כי [math]\displaystyle{ f(-\pi)=-f(\pi)=0=f(\pi) }[/math].

• חישוב המקדמים:
• עבור טור הקוסינוסים:
  • [math]\displaystyle{ a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f^+\cos(nx) dx = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f\cos(nx)dx }[/math]
• עבור טור הסינוסים:
  • [math]\displaystyle{ b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f^-\cos(nx) dx = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f\sin(nx)dx }[/math]

דוגמאות

• נחשב טור קוסינוסים של [math]\displaystyle{ e^x }[/math]:
  • [math]\displaystyle{ a_0 = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} e^xdx = \frac{2}{\pi}(e^\pi-1) }[/math]
  • [math]\displaystyle{ a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} e^x\cos(nx)dx = \frac{2}{\pi}\frac{e^\pi(-1)^n-1}{n^2+1} }[/math]
  • הטור מתכנס במ"ש לפונקציה בקטע [math]\displaystyle{ [0,\pi] }[/math]:

[math]\displaystyle{ e^x=\frac{e^\pi-1}{\pi}+ \frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{e^\pi(-1)^n-1}{n^2+1}\cos(nx) }[/math]

• לכן מותר לבצע אינטגרציה איבר איבר, נחשב את [math]\displaystyle{ \int_0^x }[/math] בשני הצדדים ונקבל:

[math]\displaystyle{ e^x-1 - \frac{e^\pi-1}{\pi}x = \frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{e^\pi(-1)^n-1}{n^3+n}\sin(nx) }[/math]

• נציב למשל [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] ונקבל את השיוויון:

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{e^\pi(-1)^n-1}{n^2+1} = \frac{\pi}{2} - \frac{e^\pi-1}{2} }[/math]

• נחשב טור סינוסים של [math]\displaystyle{ e^x }[/math]:
  • [math]\displaystyle{ b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi e^x\sin(nx)dx = \frac{2n(1-e^\pi(-1)^n)}{\pi(n^2+1)} }[/math]
  • הטור מתכנס בקטע [math]\displaystyle{ (0,\pi) }[/math]:

[math]\displaystyle{ e^x=\sum_{n=1}^\infty \frac{2n(1-e^\pi(-1)^n)}{\pi(n^2+1)}\sin(nx) }[/math]

• נחשב טור סינוסים של [math]\displaystyle{ f(x)=\pi x - x^2 }[/math].
• שימו לב: [math]\displaystyle{ f(0)=f(\pi)=0 }[/math].
  • [math]\displaystyle{ b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi (\pi x-x^2)\sin(nx)dx = \frac{4(1-(-1)^n)}{\pi n^3} }[/math]
  • לכן הטור מתכנס במ"ש בקטע [math]\displaystyle{ [0,\pi] }[/math]:

[math]\displaystyle{ \pi x - x^2 = \sum_{n=1}^\infty \frac{4(1-(-1)^n)}{\pi n^3} \sin(nx) }[/math]

• לכן מותר לבצע אינטגרציה איבר איבר, נחשב את [math]\displaystyle{ \int_0^x }[/math] בשני הצדדים ונקבל:

[math]\displaystyle{ \frac{\pi x^2}{2} - \frac{x^3}{3} = \sum_{n=1}^\infty \frac{4(1-(-1)^n)}{\pi n^4}(-\cos(nx)+1) }[/math]

• שימו לב שלא מדובר בטור טריגונומטרי.

הרצאה 6 - משוואת החום על טבעת, התמרת פורייה

משוואת החום על טבעת

• נביט במד"ח החום על מוט עבור הפונקציה [math]\displaystyle{ u(x,t) }[/math]:
  • [math]\displaystyle{ u_t-ku_{xx}=0 }[/math]
  • [math]\displaystyle{ u(x,0)=f(x) }[/math] (תנאי התחלה)
  • [math]\displaystyle{ u(-\pi,t)=u(\pi,t) }[/math] (תנאי שפה)
  • [math]\displaystyle{ u_x(-\pi,t)=u_x(\pi,t) }[/math] (תנאי שפה)
  • כאשר [math]\displaystyle{ x\in[-\pi,\pi] }[/math], ו[math]\displaystyle{ t\in[0,\infty) }[/math]
• על מנת להבין את תנאי השפה, אפשר לחשוב על הבעייה במובן שהמוט הוא מעגלי.

• נחפש פתרון מהצורה [math]\displaystyle{ u(x,t)=X(x)\cdot T(t) }[/math].
• נציב במד"ח את הניחוש, ונקבל:

[math]\displaystyle{ X(x)T'(t)=kX''(x)T(t) }[/math]

• נניח שהצדדים שונים מאפס ונחלק:

[math]\displaystyle{ \frac{T'(t)}{kT(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)} }[/math]

• כיוון שכל צד תלוי במשתנה אחר, הדרך היחידה לקבל שיוויון היא אם שני הצדדים קבועים.
• נביט בפתרונות עבור קבוע שלילי:

[math]\displaystyle{ \frac{T'(t)}{kT(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda }[/math]

• כעת נפתור את המד"רים בנפרד:
• שימו לב שאנו בוחרים את השמות של הקבועים בצורה מיוחדת לקראת הפתרון בהמשך.
  • עבור [math]\displaystyle{ \lambda=0 }[/math]:
    • [math]\displaystyle{ X_0(x)=cx+\frac{a_0}{2} }[/math], ועל מנת לקיים את תנאי השפה נקבל כי [math]\displaystyle{ c=0 }[/math]
    • [math]\displaystyle{ T_0(t)=1 }[/math] (הקבוע יבלע בקבוע של [math]\displaystyle{ X_0(x) }[/math])

• • עבור [math]\displaystyle{ \lambda\neq 0 }[/math]:
    • [math]\displaystyle{ X= a_{\sqrt{\lambda}} \cos(\sqrt{\lambda}x) + b_{\sqrt{\lambda}} \sin(\sqrt{\lambda}x) }[/math]
    • [math]\displaystyle{ T=e^{-k\lambda t} }[/math] (הקבוע חסר כי הוא יבלע בקבועים האחרים כאשר נכפול ב[math]\displaystyle{ X(x) }[/math])

• ע"י הצבה ניתן לוודא שעבור [math]\displaystyle{ \lambda=n^2 }[/math] הפונקציות לעיל מקיימות את תנאי השפה.
• גם צירוף לינארי שלהן יהווה פתרון כיוון שהמד"ח הומוגנית ותנאי השפה הומוגניים.
• צירוף לינארי אינסופי יהווה פתרון לבעייה אם טורי הנגזרות יתכנסו במ"ש (ולכן יהיה מותר לגזור איבר איבר).

• לכן אנו מחפשים פתרון כללי מהצורה:

[math]\displaystyle{ u(x,t)=T_0(t)X_0(x)+\sum_{n=1}^\infty T_n(t)X_n(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty e^{-kn^2 t}(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)) }[/math]

• כל שנותר לנו לעשות הוא למצוא את הקבועים [math]\displaystyle{ a_n,b_n }[/math].
• נציב כעת בתנאי ההתחלה [math]\displaystyle{ u(x,0)=f(x) }[/math] ונקבל בעצם את טור הפורייה:

[math]\displaystyle{ f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx) }[/math]

• אנחנו יכולים לפתור משוואה זו בהנתן שf מקיימת את תנאי משפט דיריכלה.
• מדוע זה יהיה פתרון?
  • נזכור שמקדמי הפורייה שואפים לאפס.
  • בזכות האקספוננט, טור זה ונגזרותיו אכן יתכנסו במ"ש עבור [math]\displaystyle{ t\in [a,\infty) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ a\gt 0 }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ x\in[-\pi,\pi] }[/math].
  • לכן מותר לגזור איבר איבר, ואכן מדובר בפתרון של המד"ח.

התמרת פורייה

טור פורייה המרוכב

• לא קשה לוודא כי [math]\displaystyle{ \{e^{inx}\}_{n\in\mathbb{Z}} }[/math] מהווה קבוצה אורתונורמלית בE אם נעדכן מעט את המכפלה הפנימית:

[math]\displaystyle{ \langle f,g\rangle = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx }[/math]

• תהי [math]\displaystyle{ f\in E }[/math], שאלה שעולה באופן טבעי היא האם:

[math]\displaystyle{ f=\sum_{n=-\infty}^\infty \langle f,e^{inx}\rangle e^{inx} }[/math]

• כאשר אנו מגדירים את הסכום ממינוס אינסוף עד אינסוף באופן הבא:

[math]\displaystyle{ \sum_{n=-\infty}^\infty u_n = u_0+\sum_{n=1}^\infty (u_n+u_{-n}) }[/math]

• נסמן את מקדמי פורייה הרגילים ב[math]\displaystyle{ a_n,b_n }[/math].

• נשים לב כי עבור [math]\displaystyle{ n=0 }[/math] נקבל:

[math]\displaystyle{ \langle f,1\rangle = \frac{a_0}{2} }[/math]

• כעת עבור [math]\displaystyle{ n\gt 0 }[/math] מתקיים:

[math]\displaystyle{ \langle f, e^{inx}\rangle e^{inx}+\langle f, e^{-inx}\rangle e^{-inx} = }[/math]

[math]\displaystyle{ = (\langle f, e^{inx}\rangle+\langle f, e^{-inx}\rangle)\cos(nx) + (\langle f, e^{inx}\rangle-\langle f, e^{-inx}\rangle)i\sin(nx)= }[/math]

[math]\displaystyle{ = 2\langle f, \cos(nx)\rangle \cos(nx) + 2\langle f, i\sin(nx)\rangle i\sin(nx)= }[/math]

[math]\displaystyle{ =a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx) }[/math]

• (שימו לב: הi יצא מהצד הימני של המכפלה הפנימית עם מינוס)

• כלומר, טור פורייה המרוכב הוא בדיוק טור פורייה הרגיל!

הכללה לפונקציות שאינן מחזוריות

• טורי פורייה עזרו לנו לחקור פונקציות בקטע [math]\displaystyle{ [-\pi,\pi] }[/math].
• בהנתן גל [math]\displaystyle{ e^{inx} }[/math], מצאנו את ה'אמפליטודה' שלו (המקדם):

[math]\displaystyle{ \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}dx }[/math]

• (שימו לב - המכפלה הפנימית מצמידה את הפונקציה מימין, ולכן קיבלנו [math]\displaystyle{ -i }[/math]).

• מחשבה הגיונית היא שאם נרצה לחקור פונקציות בכל הממשיים, עבור גל [math]\displaystyle{ e^{isx} }[/math] נמצא את ה'אמפליטודה':

[math]\displaystyle{ \mathcal{F}[f](s)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-isx}dx }[/math].

• כאשר האינטגרל מתכנס, הפונקציה [math]\displaystyle{ \mathcal{F}[f](s) }[/math] נקראת התמרת פורייה של הפונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math].
• הערה - המקדם [math]\displaystyle{ \frac{1}{2\pi} }[/math] לעיתים אינו מופיע בהגדרת ההתמרה. אנחנו נראה בהמשך שיש לו קשר להתמרה ההפוכה.

• הערות כלליות:
  • נסמן בדר"כ את ההתמרה של f ב[math]\displaystyle{ F(s)=\mathcal{F}(f)(s) }[/math].
  • [math]\displaystyle{ F(s) }[/math] מייצגת את האמפליטודה בכל תדר, ולכן נהוג לומר שהיא מוגדרת ב'מרחב התדר'.
  • לעומת זאת, [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] מייצגת את גובה הפונקציה בכל נקודה בזמן, ונהוג לומר שהיא מוגדרת ב'מרחב הזמן'.
  • לכל תדר [math]\displaystyle{ s }[/math] יש שני גלים שמייצגים אותו, [math]\displaystyle{ e^{\pm isx} }[/math].
  • כפי שלמדנו, באמצעות שני הגלים ניתן לייצג כל 'פאזה'.

• נסמן ב[math]\displaystyle{ G }[/math] את אוסף הפונקציות [math]\displaystyle{ g }[/math] הרציפות למקוטעין ב[math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math], עבורן האינטגרל הלא אמיתי מתכנס [math]\displaystyle{ \int_{-\infty}^\infty|g(x)|dx\lt \infty }[/math].
• לכל [math]\displaystyle{ f\in G }[/math] התמרת הפורייה מוגדרת בכל הממשיים.
  • הוכחה:
  • [math]\displaystyle{ \int_{-\infty}^\infty|f(x)e^{-isx}|dx = \int_{-\infty}^\infty|f(x)|dx }[/math] מתכנס.
  • כיוון שהאינטגרל המגדיר את [math]\displaystyle{ F(s) }[/math] מתכנס בהחלט, הוא מתכנס.

דוגמאות

• נמצא את [math]\displaystyle{ \mathcal{F}(f)(s) }[/math] עבור [math]\displaystyle{ f(x)=e^{-|x|} }[/math].

[math]\displaystyle{ 2\pi F(s)=\int_{-\infty}^\infty e^{-|x|}e^{-isx}dx = \int_0^\infty e^{-x}e^{-isx}dx + \int_{-\infty}^0 e^{x}e^{-isx}dx= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\left[\frac{e^{-x(1+is)}}{-(1+is)}\right]_0^\infty + \left[\frac{e^{x(1-is)}}{1-is}\right]_{-\infty}^0=\frac{1}{1+is} + \frac{1}{1-is} = \frac{2}{1+s^2} }[/math]

• שימו לב - השתמשנו בעובדה ש[math]\displaystyle{ e^{isx} }[/math] חסומה, ואילו [math]\displaystyle{ e^{-x}\to 0 }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ x\to \infty }[/math].
• לכן סה"כ קיבלנו כי [math]\displaystyle{ \mathcal{F}[e^{-|x|}](s) = \frac{1}{\pi(1+s^2)} }[/math]

• נמצא את התמרת הפורייה של [math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}|x| & |x|\leq \pi \\ 0 & |x|\gt \pi\end{cases} }[/math]

[math]\displaystyle{ F(s)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-isx}dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |x|e^{-isx}dx = }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |x|\cos(sx)dx - \frac{i}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |x|\sin(sx)dx = \frac{1}{\pi}\int_{0}^\pi x\cos(sx)dx = \frac{\sin(s\pi)}{s} + \frac{\cos(s\pi)-1}{s^2\pi} }[/math]

• שימו לב: חישוב האינטגרל שגוי עבור [math]\displaystyle{ s=0 }[/math], ניתן להציבו בנוסחא המקורית של האינטגרל או להשתמש ברציפות ההתמרה, שנלמד בהמשך.

הרצאה 7 - תכונות של התמרות פורייה

תכונות ההתמרה

• תהי [math]\displaystyle{ f\in G }[/math] אזי [math]\displaystyle{ F(s)=\mathcal{F}[f](s) }[/math] רציפה במ"ש ב[math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math].
  • הוכחה:
  • יהי [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]. כיוון ש [math]\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|dx }[/math] מתכנס, קיים [math]\displaystyle{ R }[/math] עבורו [math]\displaystyle{ \frac{1}{2\pi}\int_{|x|\gt R}|f(x)|dx \lt \frac{\varepsilon}{4} }[/math]
  • עבור [math]\displaystyle{ s_1,s_2 }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ |F(s_1)-F(s_2)|\leq \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)(e^{-is_1x}-e^{-is_2x})|dx }[/math]
  • כמובן ש [math]\displaystyle{ |e^{-is_1x}-e^{-is_2x}|\leq 2 }[/math] ולכן בתחום [math]\displaystyle{ |x|\gt R }[/math] האינטגרל הנ"ל קטן מ[math]\displaystyle{ \frac{\varepsilon}{2} }[/math].
  • נותר להוכיח שעבור [math]\displaystyle{ s_1,s_2 }[/math] מספיק קרובים מתקיים כי [math]\displaystyle{ \frac{1}{2\pi}\int_{-R}^{R}|f(x)(e^{-is_1x}-e^{-is_2x})|dx\lt \frac{\varepsilon}{2} }[/math]
  • נראה כי [math]\displaystyle{ |e^{ix}-e^{iy}|\leq |x-y| }[/math].
    • [math]\displaystyle{ |e^{ix}-e^{iy}| }[/math] הוא המרחק בין שתי נקודות על מעגל היחידה.
    • [math]\displaystyle{ |x-y| }[/math] הוא הזווית בינהן, כלומר אורך הקשת בינהן.
    • אורך הקשת בוודאי גדול או שווה למרחק הישר בין שתי הנקודות.
  • לכן [math]\displaystyle{ |e^{-is_1x}-e^{-is_2x}|\leq |x||s_1-s_2| }[/math]
  • כיוון ש[math]\displaystyle{ |x|\leq R }[/math] והפונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] חסומה בתחום זה, עבור [math]\displaystyle{ |s_1-s_2| }[/math] מספיק קטן נקבל את הדרוש.

• רשימת תכונות נוספות של ההתמרה:
• [math]\displaystyle{ \mathcal{F}[f+a\cdot g] = \mathcal{F}[f]+a\mathcal{F}[g] }[/math]
• [math]\displaystyle{ \mathcal{F}[f](-s) = \overline{\mathcal{F}[f](s)} }[/math]
• אם [math]\displaystyle{ f }[/math] ממשית וזוגית, גם [math]\displaystyle{ \mathcal{F}[f](s) }[/math] ממשית וזוגית.

• הזזה במרחב הזמן:
• אם [math]\displaystyle{ g(x)=f(ax+b) }[/math], אזי [math]\displaystyle{ \mathcal{F}(g)(s) = \frac{1}{|a|}e^{\frac{isb}{a}}\mathcal{F}[f](\frac{s}{a}) }[/math]
• אם [math]\displaystyle{ a=1 }[/math] אז נקבל שהזזה במרחב הזמן שקולה לסיבוב במרחב התדר (כפל ב[math]\displaystyle{ e^{isb} }[/math] משנה את הזוית).

• הזזה במרחב התדר:
• [math]\displaystyle{ \mathcal{F}[e^{ibx}f(x)](s) = \mathcal{F}[f](s-b) }[/math]
• באופן דומה, קיבלנו שסיבוב בזמן שקול להזזה בתדר.

• התמרת הנגזרת:
• נניח [math]\displaystyle{ f,f'\in G }[/math] ונניח כי [math]\displaystyle{ f' }[/math] רציפה ומתקיים כי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to \pm\infty}f(x)=0 }[/math], אזי:
• [math]\displaystyle{ \mathcal{F}[f'](s)=is\mathcal{F}[f](s) }[/math]
  • הוכחה:
  • [math]\displaystyle{ \mathcal{F}[f'](s) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f'(x)e^{-isx}dx }[/math]
  • נבצע אינטגרציה בחלקים ונקבל כי
  • [math]\displaystyle{ \mathcal{F}[f'](s) = \frac{1}{2\pi}(fe^{-isx})_{-\infty}^{\infty} + \frac{is}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-isx}dx }[/math].
  • כיוון ש[math]\displaystyle{ e^{-isx} }[/math] חסומה, יחד עם הנתון נובע כי [math]\displaystyle{ (fe^{-isx})_{-\infty}^{\infty}=0 }[/math].
  • לכן סה"כ קיבלנו כי [math]\displaystyle{ \mathcal{F}[f'](s)=is\mathcal{F}[f](s) }[/math]

• נגזרת ההתמרה:
• תהי [math]\displaystyle{ f\in G }[/math] רציפה כך ש[math]\displaystyle{ xf(x)\in G }[/math] אזי:
• [math]\displaystyle{ \mathcal{F}[xf(x)](s)=i\frac{d}{ds}\mathcal{F}[f](s) }[/math]
  • הוכחה:
  • [math]\displaystyle{ i\frac{d}{ds}\mathcal{F}[f](s) = i \frac{d}{ds} \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-isx}dx = \frac{i}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\frac{d}{ds}e^{-isx}dx = \frac{-i^2}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} xf(x)e^{-isx} = \mathcal{F}[xf(x)](s) }[/math]
  • אנחנו צריכים להצדיק את ההכנסה של הנגזרת אל תוך האינטגרל:
    • נסמן [math]\displaystyle{ F_n(s)=\frac{1}{2\pi}\int_{-n}^{n} f(x)e^{-isx}dx }[/math]
    • ברור ש[math]\displaystyle{ F_n(s)\to F(s) }[/math], נוכיח שסדרת הנגזרות מתכנסת במ"ש ולכן מתכנסת לנגזרת של [math]\displaystyle{ F(s) }[/math].
    • עבור אינטגרל סופי מותר להחליף את סדר הנגזרת והאינטגרל בזכות פוביני.
    • אכן [math]\displaystyle{ F_n'(s) }[/math] מתכנסות במ"ש כיוון שהאינטגרל [math]\displaystyle{ \int_{-\infty}^\infty |xf(x)|dx }[/math] מתכנס, והרי [math]\displaystyle{ |xf(x)e^{-isx}|=|xf(x)| }[/math] ואכן אינו תלוי בs.

דוגמאות

• ראינו כי [math]\displaystyle{ \mathcal{F}[e^{-|x|}](s) = \frac{1}{\pi(1+s^2)} }[/math]
• לכן על ידי הזזה בזמן נקבל כי:
  • [math]\displaystyle{ \mathcal{F}[e^{-|1-2x|}](s) = \frac{e^{\frac{-is}{2}}}{2\pi (1+(-\frac{s}{2})^2)} }[/math]

• נסמן [math]\displaystyle{ F(s)=\mathcal{F}[e^{-x^2}] }[/math].
• כעת [math]\displaystyle{ \mathcal{F}[xe^{-x^2}] = iF' }[/math] לפי הנוסחא של נגזרת ההתמרה.
• מצד שני, [math]\displaystyle{ \mathcal{F}[-2xe^{-x^2}] = isF }[/math] לפי הנוסחא של התמרת הנגזרת.
• ביחד נקבל כי [math]\displaystyle{ isF = -2iF' }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ sF=-2F' }[/math].
• נפתור את המד"ר:
  • נכפול בגורם אינטגרציה [math]\displaystyle{ \frac{1}{2}e^{\frac{s^2}{4}} }[/math] ונקבל [math]\displaystyle{ (e^{\frac{s^2}{4}}F)'=0 }[/math]
  • לכן [math]\displaystyle{ F=Ce^{-\frac{s^2}{4}} }[/math]
  • נציב [math]\displaystyle{ s=0 }[/math]
  • [math]\displaystyle{ 2\pi C=F(0)=\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx }[/math], נחשב אינטגרל מפורסם זה בהמשך.

הרצאה 8 - התמרה הפוכה

• בטורי פורייה, מקדמי הפורייה היו האמפליטודות של התדרים, וכאשר סכמנו את הגלים קיבלנו חזרה את הפונקציה לפי משפט דיריכלה.
• כעת התדרים שלנו הם כל הממשיים, ולכן הסכימה שלהם היא בעצם אינטגרל.
• האמפליטודה של כל תדר מרוכב [math]\displaystyle{ e^{isx} }[/math] היא התמרת הפורייה [math]\displaystyle{ F(s) }[/math], ולכן אנחנו מצפים לקבל:
  • [math]\displaystyle{ f(x)=\int_{-\infty}^\infty F(s)e^{isx}ds=\mathcal{F}^{-1}[F](x) }[/math]

• משפט ההתמרה ההפוכה:
  • תהי [math]\displaystyle{ f\in G }[/math], אזי בכל נקודה בה קיימות הנגזרות החד צדדיות מתקיים כי:
  • [math]\displaystyle{ \frac{f(x^+)+f(x^-)}{2}=\lim_{n\to\infty}\int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}\mathcal{F}[f](s)e^{isx}ds }[/math]
  • שימו לב שהאינטגרל [math]\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{F}[f](s)e^{isx}ds }[/math] לא חייב להתכנס, אבל אם הוא מתכנס הוא שווה לגבול לעיל.

דוגמא

• ראינו ש[math]\displaystyle{ \mathcal{F}[e^{-x^2}] = Ce^{-\frac{s^2}{4}} =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}e^{-isx}dx }[/math]
• כיוון ש[math]\displaystyle{ e^{-x^2} }[/math] רציפה וגזירה, וכיוון ש [math]\displaystyle{ e^{-\frac{s^2}{4}}\in G }[/math] לפי משפט ההתמרה ההפוכה נקבל כי:
  • [math]\displaystyle{ \mathcal{F}^{-1}[Ce^{-\frac{s^2}{4}}](x) = e^{-x^2} }[/math]
• כלומר [math]\displaystyle{ e^{-x^2}=\int_{-\infty}^\infty Ce^{-\frac{s^2}{4}}e^{isx}ds }[/math]
• נציב [math]\displaystyle{ t=\frac{s}{2} }[/math] ונקבל:
  • [math]\displaystyle{ e^{-x^2} = 2C\int_{-\infty}^\infty e^{-t^2}e^{-i(-2x)t}dt = 2C\cdot 2\pi Ce^{-\frac{(-2x)^2}{4}} }[/math]
• ולכן [math]\displaystyle{ 4C^2\pi = 1 }[/math], ומכאן [math]\displaystyle{ C=\frac{1}{2\sqrt{\pi}} }[/math]

• נזכור בנוסף שראינו כי [math]\displaystyle{ 2\pi C = \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx }[/math].
• לכן נובע כי [math]\displaystyle{ \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi} }[/math]

דוגמא

• נביט ב[math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}1 & |x|\lt 1 \\ 0 & |x|\gt 1\end{cases} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \mathcal{F}[f](s) = \frac{sin(s)}{\pi s} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \lim \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}} \frac{sin(s)}{\pi s}e^{is}ds = \frac{1}{2} }[/math] (הצבנו x=1, הנקודה בה f אינה רציפה).

הקדמה לקראת הוכחת משפט ההתמרה ההפוכה

• כעת נוכיח מספר טענות הדרושות לנו לצורך הוכחת משפט ההתמרה ההפוכה.

למת רימן-לבג

• ראינו גרסא של למת רימן-לבג עבור טורי פוריה, לפי מקדמי הפורייה שואפים לאפס.
• כעת ננסח ונוכיח גרסא עבור התמרות פורייה:

• תהי [math]\displaystyle{ f\in G }[/math], אזי [math]\displaystyle{ \lim_{s\to\pm\infty}\mathcal{F}[f](s)=0 }[/math]
• (כלומר, האמפליטודות שואפות לאפס כאשר התדר שואף לאינסוף)

• נוכיח את הלמה:

• צ"ל כי[math]\displaystyle{ \lim_{s\to\pm\infty}\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-isx}dx =0 }[/math]
• נשים לב כי [math]\displaystyle{ e^{-isx}=\cos(sx)-i\sin(sx) }[/math].
• לכן מספיק לנו להוכיח כי [math]\displaystyle{ \lim_{s\to\pm\infty}\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x)\cos(sx)dx =0 }[/math] (ההוכחה עבור סינוס דומה).
• כיוון ש[math]\displaystyle{ f\in G }[/math] האינטגרל [math]\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|dx }[/math] מתכנס.
• לכן קיים [math]\displaystyle{ M }[/math] עבורו [math]\displaystyle{ \int_{|x|\gt M}|f(x)|dx\lt \frac{\varepsilon}{2} }[/math].
• לכן [math]\displaystyle{ |\int_{|x|\gt M}f(x)\cos(sx)dx|\leq \int_{|x|\gt M}|f(x)|dx \lt \frac{\varepsilon}{2} }[/math]
• לכן מספיק לנו להוכיח כי עבור [math]\displaystyle{ |s| }[/math] מספיק גדול מתקיים [math]\displaystyle{ |\int_{-M}^{M}f(x)\cos(sx)dx| \lt \frac{\varepsilon}{2} }[/math]
• (עבור [math]\displaystyle{ M=\pi }[/math] ו[math]\displaystyle{ s\in\mathbb{N} }[/math] כבר הוכחנו טענה זו בעזרת פרסבל, כעת נשתמש בשיטות אחרות.)

• נשים לב כי בכל קטע מתקיים:
  • [math]\displaystyle{ \lim_{s\to\pm\infty}\int_{x_1}^{x_2}\cos(sx)dx = \lim_{s\to\pm\infty}\frac{\sin(sx_2)-\sin(sx_1)}{s}=0 }[/math]
• כיוון ש[math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה למקוטעין היא אינטגרבילית ב[math]\displaystyle{ [-M,M] }[/math].
• לכן ניתן לבחור פונקצית מדרגות [math]\displaystyle{ h }[/math] עבורה מתקיים [math]\displaystyle{ \int_{-M}^M |f-h|dx \lt \frac{\varepsilon}{4} }[/math] (האינטגרל על פונקצית המדרגות הינו סכום דרבו תחתון מספיק קרוב).
• כמו כן מתקיים:
  • [math]\displaystyle{ \int_{-M}^Mh\cos(sx)dx = \sum \int_{x_{i-1}}^{x_i}m_i\cos(sx)dx }[/math]
  • כיוון שמדובר בסכום סופי של ביטויים ששואפים לאפס, הסכום גם שואף לאפס.
• סה"כ [math]\displaystyle{ \int_{-M}^{M}f(x)\cos(sx)dx = \int_{-M}^{M}(f(x)-h(x))\cos(sx)dx + \int_{-M}^{M}h(x)\cos(sx)dx }[/math]
  • מתקיים כי [math]\displaystyle{ |\int_{-M}^{M}(f(x)-h(x))\cos(sx)dx|\leq \int_{-M}^{M}|f(x)-h(x)|dx \lt \frac{\varepsilon}{4} }[/math]
  • עבור [math]\displaystyle{ |s| }[/math] מספיק גדול מתקיים כי [math]\displaystyle{ |\int_{-M}^{M}h(x)\cos(sx)dx|\lt \frac{\varepsilon}{4} }[/math]

• סה"כ קיבלנו כי עבור [math]\displaystyle{ |s| }[/math] מספיק גדול מתקיים [math]\displaystyle{ |\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\cos(sx)sx|\lt \varepsilon }[/math]

טענת עזר

• תהי [math]\displaystyle{ f\in G }[/math] ותהי x נק' בה הנגזרות החד צדדיות קיימות, אזי:

[math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\pi}\int_0^{\infty} f(x+t)\frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{t}dt = \frac{f(x^+)}{2} }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{0} f(x+t)\frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{t}dt = \frac{f(x^-)}{2} }[/math]

• נוכיח את הטענה הראשונה, הטענה השנייה דומה.

• נגדיר את הפונקציה [math]\displaystyle{ g(t)=\begin{cases}\frac{f(x+t)}{t}& x\in [\pi,\infty)\\ 0 & x\in (-\infty,\pi)\end{cases} }[/math]
• כיוון ש[math]\displaystyle{ f\in G }[/math] נובע שגם [math]\displaystyle{ g\in G }[/math] הרי [math]\displaystyle{ \left|\frac{f(x+t)}{t}\right|\leq |f(x+t)| }[/math] עבור [math]\displaystyle{ t\gt \pi }[/math].
• לכן לפי למת רימן-לבג נובע כי [math]\displaystyle{ \lim_{s\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}g(t)\sin(st)dt = 0 }[/math]
• בפרט מתקיים גבול הסדרה:
  • [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \int_{-\infty}^{\infty}g(t)\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)dt =0 }[/math]
• אבל [math]\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}g(t)\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)dt = \int_\pi^\infty \frac{f(x+t)}{t}\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)dt }[/math]

• לכן נותר להוכיח כי [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} f(x+t)\frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{t}dt = \frac{f(x^+)}{2} }[/math]
• נגדיר את הפונקציה [math]\displaystyle{ h(t)=f(x+t)\frac{2\sin(\frac{t}{2})}{t} }[/math].
  • אם נתקן את אי הרציפות הסליקה של [math]\displaystyle{ \frac{2\sin(\frac{t}{2})}{t} }[/math] נקבל טור טיילור שגזיר אינסוף פעמים.
  • לכן הפוקנציה [math]\displaystyle{ h }[/math] רציפה למקוטעין ובעלת נגזרות חד צדדיות קיימות.
• כעת נשים לב כי:
  • [math]\displaystyle{ \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} f(x+t)\frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{t}dt = \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} h(t)\frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{2\sin(\frac{t}{2})}dt = \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} h(t)D_n(t)dt }[/math]
  • לפי ההוכחה של משפט דיריכלה להתכנסות טורי פורייה, הגבול של הביטוי הזה שווה ל[math]\displaystyle{ \frac{h(0^+)}{2} = \frac{f(x^+)}{2} }[/math].

דוגמא

• טענה:

[math]\displaystyle{ \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}dx = \frac{\pi}{2} }[/math]

• הוכחה:
  • ראשית, אנו יודעים כי האינטגרל מתכנס לפי מבחן דיריכלה לאינטגרלים לא אמיתיים.
  • לכן מתקיים כי [math]\displaystyle{ \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}dx =\lim_{n\to\infty} \int_0^{(n+\frac{1}{2})\pi}\frac{\sin(x)}{x}dx }[/math]
  • נבצע הצבה [math]\displaystyle{ t=\frac{x}{n+\frac{1}{2}} }[/math] ונקבל כי:
    • [math]\displaystyle{ \int_0^{(n+\frac{1}{2})\pi}\frac{\sin(x)}{x}dx = \int_0^\pi \frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{t}dt }[/math]
  • עבור [math]\displaystyle{ f(x)=1 }[/math], לפי הוכחת טענת העזר נקבל כי הגבול הוא [math]\displaystyle{ \frac{\pi}{2} }[/math]

הוכחת משפט ההתמרה ההפוכה

• [math]\displaystyle{ \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}\mathcal{F}[f](s)e^{isx}ds = \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}\left[\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(y)e^{-isy}dy\right]e^{isx}ds= }[/math]
• [math]\displaystyle{ =\frac{1}{2\pi} \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}\int_{-\infty}^\infty f(y)e^{is(x-y)}dyds }[/math]
• נחליף את סדר האינטגרציה (הצדקה בהמשך), ונקבל:
• [math]\displaystyle{ \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}f(y)e^{is(x-y)}dsdy = }[/math]
• [math]\displaystyle{ \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(y) \left[\frac{e^{is(x-y)}}{i(x-y)}\right]_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}} dy = }[/math]
• [math]\displaystyle{ \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(y) \frac{2\sin\left((n+\frac{1}{2})(x-y)\right)}{(x-y)} dy }[/math]
• נציב [math]\displaystyle{ t=y-x }[/math] ונקבל:
• [math]\displaystyle{ \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x+t) \frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{t}dt = \frac{f(x^+)+f(x^-)}{2} }[/math]

כאשר המעבר האחרון הוא בזכות טענת העזר לעיל.

הצדקת החלפת סדר האינטגרציה

• נביט בסדרה [math]\displaystyle{ u_k(s)=\int_{-k}^k f(y)e^{is(x-y)}dy }[/math], שמתכנסת כמובן ל[math]\displaystyle{ \int_{-\infty}^\infty f(y)e^{is(x-y)}dy }[/math]
• מתקיים כי [math]\displaystyle{ |\int_{-\infty}^\infty f(y)e^{is(x-y)}dy - u_k(s)| \leq \int_{|y|\gt k} |f(y)e^{is(x-y)}|dy = \int_{|y|\gt k} |f(y)|dy\to 0 }[/math]
  • (נתון כי [math]\displaystyle{ f\in G }[/math])
• לכן הסדרה מתכנסת במ"ש ומותר לבצע אינטגרציה איבר איבר:
  • [math]\displaystyle{ \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}\int_{-\infty}^\infty f(y)e^{is(x-y)}dyds = \lim_{k\to\infty} \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}} u_k(s)ds }[/math]
  • לפי פוביני מותר לנו להחליף את סדר האינטגרציה ונקבל כי
  • [math]\displaystyle{ \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}\int_{-\infty}^\infty f(y)e^{is(x-y)}dyds = \lim_{k\to\infty} \int_{-k}^k \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}f(y)e^{is(x-y)}dsdy = \int_{-\infty}^\infty \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}f(y)e^{is(x-y)}dsdy }[/math]
  • שימו לב שהאינטגרל הלא אמיתי אכן מתכנס (כפי שהוכחנו לעיל) ולכן שווה לגבול.

הרצאה 9 - קונבולוציה, משוואת החום על מוט אינסופי

• תהיינה [math]\displaystyle{ f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{C} }[/math] פונקציות, נגדיר את הקונבולוציה ביניהן להיות:
  • [math]\displaystyle{ f*g(x) = \int_{-\infty}^\infty f(x-y)g(y)dy }[/math].

• מוטיבציה לדוגמא:
  • אם [math]\displaystyle{ f,g }[/math] הן פונקציות צפיפות של משתנים מקריים, מהי פונקציית הצפיפות של סכום המשתנים?
  • הסיכוי שסכום המשתנים יהיה x, הוא סכום מכפלות הסיכויים שמשתנה אחד יהיה שווה y והשני יהיה שווה x-y.

• הקונבולוציה היא אבלית:
  • [math]\displaystyle{ g*f = \int_{-\infty}^\infty g(x-y)f(y)dy = \{t=x-y,dt=-dy\} = \int_{-\infty}^\infty g(t)f(x-t)dt = f*g }[/math]

• שימו לב: בנושא זה נבצע החלפת סדר אינטגרציה, אך לא נצדיק החלפה זו כיוון שהיא דורשת העמקה רבה.
• ניתן להעמיק ע"י קריאה בספר Fourier Analysis של T.W.Korner

• משפט הקונבולוציה:
• תהיינה [math]\displaystyle{ f,g\in G }[/math] רציפות וחסומות אזי [math]\displaystyle{ \mathcal{F}[f*g] = 2\pi \cdot \mathcal{F}[f] \cdot \mathcal{F}[g] }[/math]

• הסבר המשפט (לא הוכחה מלאה, כיוון שאנו מחליפים סדר אינטגרציה ללא הצדקה):

[math]\displaystyle{ \mathcal{F}[f*g] = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \left[\int_{-\infty}^\infty f(x-y)g(y)dy\right]e^{-isx}dx = }[/math]

[math]\displaystyle{ = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty f(x-y)e^{-is(x-y)}g(y)e^{-isy}dydx = }[/math]

[math]\displaystyle{ = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty f(x-y)e^{-is(x-y)}g(y)e^{-isy}dxdy = }[/math]

[math]\displaystyle{ = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \left[\int_{-\infty}^\infty f(x-y)e^{-is(x-y)}dx\right] g(y)e^{-isy}dy = }[/math]

[math]\displaystyle{ = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \left[\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-ist}dt\right] g(y)e^{-isy}dy = }[/math]

[math]\displaystyle{ = 2\pi\left(\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-ist}dt\right) \cdot \left( \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty g(y)e^{-isy}dy\right) =2\pi \cdot \mathcal{F}[f] \cdot \mathcal{F}[g] }[/math]

משוואת החום על מוט אינסופי

• אם פונקצית החום על מוט אינסופי היא [math]\displaystyle{ u(x,t) }[/math], היא מקיימת את המשוואה [math]\displaystyle{ u_t-ku_{xx}=0 }[/math].
• נניח גם כי תנאי ההתחלה הם [math]\displaystyle{ u(x,0)=f(x) }[/math] (זה החום בכל נקודה במוט בזמן 0).

• נבצע התמרת פורייה של הפתרון לפי המשתנה x:

[math]\displaystyle{ U(s,t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} u(x,t)e^{-isx}dx }[/math]

• נגזור לפי המשתנה t:

[math]\displaystyle{ U_t(s,t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} u_t(x,t)e^{-isx}dx }[/math]

• (נניח כי הפתרון מקיים את התנאים שמאפשרים להחליף את סדר הגזירה והאינטגרציה, לא נרחיב על כך בהמשך)
• כיוון ש[math]\displaystyle{ u_t-ku_{xx}=0 }[/math] נקבל כי:

[math]\displaystyle{ U_t(s,t) = \frac{k}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} u_{xx}(x,t)e^{-isx}dx }[/math]

• נזכר בנוסחאת התמרת הנגזרת [math]\displaystyle{ \mathcal{F}[f']=is\mathcal{F}[f] }[/math]
• ולכן נקבל כי:

[math]\displaystyle{ U_t(s,t) = -s^2 \frac{k}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty u(x,t)e^{-isx}dx = -ks^2 U(s,t) }[/math]

• זו מד"ר פשוטה שפתרונה הוא:

[math]\displaystyle{ U(s,t) = A(s)e^{-ks^2 t} }[/math]

• נציב את תנאי ההתחלה [math]\displaystyle{ t=0 }[/math] ונקבל כי

[math]\displaystyle{ A(s) = U(s,0) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} u(x,0)e^{-isx}dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-isx}dx = \mathcal{F}[f] }[/math]

• לכן בעצם מתקיים כי [math]\displaystyle{ U(s,t)= F(s)e^{-ks^2 t} }[/math]
• קיבלנו שההתמרה של הפתרון היא מכפלה של שתי התמרות, ולכן הפתרון הוא הקונבולוציה של שתי הפונקציות המקוריות.

• נחפש את ההתמרה ההפוכה של [math]\displaystyle{ e^{-ks^2 t} }[/math]
• נזכור כי [math]\displaystyle{ \mathcal{F}[e^{-x^2}] = \frac{1}{2\sqrt{\pi}} e^{-\frac{s^2}{4}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathcal{F}^{-1}[e^{-ks^2 t}]=\int_{-\infty}^\infty e^{-ks^2 t}e^{isx}ds = \{s=\frac{u}{2\sqrt{kt}}\}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\frac{1}{2\sqrt{kt}}\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{u^2}{4}}e^{iu(\frac{x}{2\sqrt{kt}})}du = \frac{2\sqrt{\pi}}{2\sqrt{kt}} \mathcal{F}^{-1}[\frac{1}{2\sqrt{\pi}}e^{-\frac{u^2}{4}}](\frac{x}{2\sqrt{kt}}) = \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{kt}}e^{-\frac{x^2}{4kt}} }[/math]

• נסמן פונקציה זו ב[math]\displaystyle{ p(x,t)=\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{kt}}e^{-\frac{x^2}{4kt}} }[/math]

• לכן עבור פתרון מד"ח החום u מתקיים כי:

[math]\displaystyle{ \mathcal{F}[u] = \mathcal{F}[f]\cdot \mathcal{F}[p] }[/math]

• ולכן לפי משפט הקונבולוציה מתקיים כי

[math]\displaystyle{ u(x,t) = \frac{1}{2\pi} f*p(x,t) }[/math]

• שימו לב שהקונבולוציה היא לפי המשתנה x.
• לכן

[math]\displaystyle{ u(x,t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(y)p(x-y,t)dy = \frac{1}{2\sqrt{\pi kt}}\int_{-\infty}^\infty f(y)e^{-\frac{(x-y)^2}{4kt}}dy }[/math]

• שימו לב שבפתרון הסופי מופיעה פונקצית תנאי ההתחלה, ואין צורך לחשב את ההתמרה שלה.

הרצאה 10 - משפט הדגימה של שנון

משפט הדגימה של שנון

• תהי פונקציה f. ברור שבהנתן הערכים של f על השלמים [math]\displaystyle{ f(0),f(\pm 1),f(\pm 2),... }[/math] לא ניתן להסיק כלום על ערכיה האחרים (אפילו אם היא רציפה וגזירה).
• בפרט אם נדגום באופן דומה את הפונקציה [math]\displaystyle{ sin(x) }[/math] בנקודות [math]\displaystyle{ 2\pi n }[/math] אנחנו עשויים לחשוד שהיא קבועה לחלוטין.
• מה יקרה אם נדגום גל בקצב מהיר יותר מהתדר שלו?
• במילים פשוטות, משפט הדגימה של שנון אומר שבהנתן פונקציה שהתדרים שלה חסומים, אם נדגום אותה בקצב מהיר פי 2 מהתדר המקסימלי שלה, נוכל לשחזר אותה לחלוטין.
• כעת ננסח את המשפט במדויק, יחד עם ניסוח התנאים הנחוצים על הפונקציות.

• עד כה דיברנו על תדר כמדד לקצב בו הפונקציה חוזרת על עצמה, כעת נגדיר אותו במדויק:
• בהנתן פונקציה עם מחזור [math]\displaystyle{ t }[/math] נגדיר את התדר של המחזור להיות [math]\displaystyle{ \frac{1}{t} }[/math].
• דוגמאות:
  • התדר של [math]\displaystyle{ \sin(x) }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \frac{1}{2\pi} }[/math]
  • התדר של [math]\displaystyle{ \sin(\pi x) }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math]
  • באופן כללי, התדר של [math]\displaystyle{ sin(\pi t x) }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \frac{t}{2} }[/math] כיוון ש [math]\displaystyle{ \sin(\pi t(x+\frac{2}{t})) = \sin(\pi t x) }[/math]
  • התדר של [math]\displaystyle{ e^{isx} }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \frac{|s|}{2\pi} }[/math] כיוון ש [math]\displaystyle{ e^{is(x+\frac{2\pi}{|s|})} = e^{isx\pm i2\pi} =e^{isx} }[/math]

• משפט הדגימה של שנון:
• תהי [math]\displaystyle{ f\in G }[/math] רציפה ובעלת נגזרת חד צדדיות הקיימות בכל נקודה, שתדריה חסומים על ידי [math]\displaystyle{ t }[/math], אזי בהנתן דגימה שלה בתדר [math]\displaystyle{ 2t }[/math] ניתן לשחזר אותה בכל הממשיים (כלומר היא נקבעת באופן יחיד על ידי הדגימות).
• שימו לב: הכוונה בכך שתדריה של הפונקציה חסומים, היא למעשה ש[math]\displaystyle{ \mathcal{F}[f](s)=0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ \frac{|s|}{2\pi}\gt t }[/math].

הוכחת משפט הדגימה

• כיוון שהתמרת הפורייה מתאפסת מחוץ לקטע [math]\displaystyle{ [-2\pi t,2\pi t] }[/math], ניתן לקבוע כי

[math]\displaystyle{ \int_{-\infty}^\infty \mathcal{F}[f](s)e^{isx}ds = \int_{-2\pi t}^{2\pi t}\mathcal{F}[f](s)e^{isx}ds }[/math]

• ובפרט האינטגרל מתכנס.
• לפי משפט ההתמרה ההפוכה, נובע כי [math]\displaystyle{ f(x)= \int_{-2\pi t}^{2\pi t}\mathcal{F}[f](s)e^{isx}ds }[/math]

• כעת, נתונה לנו סדרת הדגימות בתדר [math]\displaystyle{ 2t }[/math]:

[math]\displaystyle{ c_n = f\left(\frac{n}{2t}\right), n\in\mathbb{Z} }[/math]

• נציב אותן בנוסחא שמצאנו לעיל:

[math]\displaystyle{ c_n = \int_{-2\pi t}^{2\pi t}\mathcal{F}[f](s)e^{is\left(\frac{n}{2t}\right)}ds }[/math]

• נבצע הצבה [math]\displaystyle{ \frac{s}{2t}=-x }[/math] ונקבל:

[math]\displaystyle{ c_n = \int_{-\pi}^\pi \mathcal{F}[f](-2tx)e^{-inx}dx }[/math]

• אבל אלה בדיוק מקדמי פוריה (פרט לקבוע [math]\displaystyle{ \frac{1}{2\pi} }[/math]) של הפונקציה [math]\displaystyle{ \mathcal{F}[f](-2tx) }[/math].
• כיוון שההתמרה חסומה בתדר, עבור [math]\displaystyle{ |x|\geq \pi }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ \mathcal{F}[f](-2tx)=0 }[/math] (זכרו כי ההתמרה רציפה, ולכן מתאפסת גם בקצוות).
• לכן [math]\displaystyle{ \mathcal{F}[f](-2tx) }[/math] נקבעת על ידי ערכיה בקטע [math]\displaystyle{ (-\pi,\pi) }[/math], והם נקבעים באופן יחיד על ידי מקדמי הפורייה (מסקנה מפרסבל).
• לבסוף, כפי שראינו לעיל, הפונקציה f נקבעת באופן יחיד על ידי ההתמרה (בזכות משפט ההתמרה ההפוכה).

הערות

• שימו לב שלא ניתן באופן פרקטי לדגום אות אנלוגי באינסוף נקודות.
• מה יקרה אם נדגום במספר סופי של נקודות ונניח כי הפונקציה ממשיכה באופן מחזורי?
• נקבל פונקציה שאינה שייכת ל[math]\displaystyle{ G }[/math], כיוון שהאינטגרל שלה לא יכול להתכנס בכל הממשיים.
• בהמשך, נראה אנלוגיה למשפט הדגימה של שנון בהתמרת פורייה הבדידה.

הרצאה 11 - התמרת פורייה הבדידה

DFT - Discrete Fourier transform

• תהי סדרת נקודות [math]\displaystyle{ a_0,...,a_{N-1} \in \mathbb{C} }[/math], התמרת הפורייה הבדידה שלה היא סדרת הנקודות [math]\displaystyle{ A_0,...,A_{N-1}\in\mathbb{C} }[/math] המוגדרת ע"י:

[math]\displaystyle{ A_n = \sum_{k=0}^{N-1} a_k e^{-2\pi i n\frac{k}{N}} }[/math]

• שימו לב שכמות הפעולות הנדרשות לחישוב ההתמרה באופן ישיר היא סדר גודל של [math]\displaystyle{ N^2 }[/math].
• התמרת פורייה המהירה (FFT) מבצעת את אותו חישוב בכמות פעולות בסדר גודל של [math]\displaystyle{ N\log(N) }[/math].

משמעות ההתמרה

• תהי פונקציה f. נדגום ממנה [math]\displaystyle{ N }[/math] נקודות בתדר [math]\displaystyle{ t }[/math], כלומר נתון לנו:

[math]\displaystyle{ f(0),f(\frac{1}{t}),f(\frac{2}{t}),...,f(\frac{N-1}{t}) }[/math]

• נסמן נקודות אלה ב[math]\displaystyle{ a_k=f(\frac{k}{t}) }[/math]

• אנו רוצים לפרק אותה לסכום של גלים:

[math]\displaystyle{ f(x)=B_0e^{2\pi i \cdot 0\cdot\frac{t}{N}x}+ B_1e^{2\pi i \cdot 1\cdot\frac{t}{N}x}+B_2e^{2\pi i \cdot 2\cdot\frac{t}{N}x}+...+B_{N-1}e^{2\pi i \cdot (N-1)\cdot\frac{t}{N}x} }[/math]

• כיוון שהתדר של [math]\displaystyle{ e^{isx} }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \frac{|s|}{2\pi} }[/math] נובע כי הגלים הללו הם בתדרים [math]\displaystyle{ 0,\frac{t}{N},\frac{2t}{N},...,\frac{(N-1)t}{N} }[/math]
• שימו לב - ככל שנדגום יותר נקודות נקבל יותר מגוון של תדרים. מצד שני, נביט בחלון זמן יותר ארוך ונפספס שינויי תדרים מהירים יותר.

• נוכיח שפירוק זה תמיד אפשרי כך שיהיה שיוויון בכל נקודות הדגימה, ונקשר בין סדרת המקדמים להתמרת הפורייה של נקודות הדגימה.

• נביט בפונקצית הגל [math]\displaystyle{ u_n(x)=e^{2\pi i n\frac{t}{N}x} }[/math].
• נציב בה את נקודות הדגימה ונקבל את הוקטור המרוכב:

[math]\displaystyle{ v_n= \left(u_n(0),u_n(\frac{1}{t}),...,u_n(\frac{N-1}{t})\right) = \left( 1,e^{2\pi i n \frac{1}{N}},e^{2\pi i n \frac{2}{N}},...,e^{2\pi i n \frac{N-1}{N}} \right) }[/math]

• נציב בפונקציה הנתונה f את נקודות הדגימה ונקבל את הוקטור המרוכב:

[math]\displaystyle{ v=\left(f(0),f(\frac{1}{t}),f(\frac{2}{t}),...,f(\frac{N-1}{t})\right) = (a_0,...,a_{N-1}) }[/math]

• לכן אנו מעוניינים בפתרון למשוואה:

[math]\displaystyle{ v=B_0v_0+...+B_{N-1}v_{N-1} }[/math]

• זה בדיוק אומר שהפירוק של הפונקציה לגלים מתקיים בכל נקודות הדגימה:

[math]\displaystyle{ f(\frac{k}{t}) = B_0u_0(\frac{k}{t})+...+B_{N-1}u_{N-1}(\frac{k}{t}) }[/math]

• נבחן את הקבוצה [math]\displaystyle{ \{v_0,...,v_{N-1}\} }[/math].

[math]\displaystyle{ \langle v_n,v_n\rangle = v_n^t \overline{v_n} = \sum_{k=0}^{N-1} e^{2\pi i n \frac{k}{N}}\cdot e^{-2\pi i n \frac{k}{N}}= 1+1+...+1= N }[/math]

• עבור [math]\displaystyle{ n\neq m }[/math]:

[math]\displaystyle{ \langle v_n,v_m\rangle = \sum_{k=0}^{N-1} e^{2\pi i n \frac{k}{N}}\cdot e^{-2\pi i m \frac{k}{N}} = \sum_{k=0}^{N-1} e^{2\pi i (n-m) \frac{k}{N}} }[/math]

• אבל זה בדיוק סכום סדרה הנדסית [math]\displaystyle{ 1+q+...+q^{N-1} }[/math] עבור [math]\displaystyle{ q=e^{2\pi i (n-m)\frac{1}{N}} }[/math]
• שימו לב ש[math]\displaystyle{ \frac{|n-m|}{N}\lt 1 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ q\neq 1 }[/math].
• כמו כן, שימו לב ש[math]\displaystyle{ q^N = e^{2\pi i (n-m)}=1 }[/math]
• לכן לפי הנוסחא לסכום סדרה הנדסית נקבל כי:

[math]\displaystyle{ \langle v_n,v_m\rangle = \frac{1-q^N}{1-q}=0 }[/math]

• כלומר גילינו כי [math]\displaystyle{ \{v_0,...,v_{N-1}\} }[/math] קבוצה אורתוגונלית (לא אורתונורמלית) ומהווה בסיס.
• לכן ניתן בקלות לחשב את המקדמים [math]\displaystyle{ B_n = \frac{\langle v,v_n\rangle}{N} }[/math]

• לבסוף, נשים לב כי:

[math]\displaystyle{ \langle v,v_n\rangle = \sum_{k=0}^{N-1} a_k e^{-2\pi i n \frac{k}{N}} = A_n }[/math]

• כלומר [math]\displaystyle{ B_n = \frac{A_n}{N} }[/math]

התמרת פורייה הבדידה ההפוכה

• מכאן גם ניתן להסיק ישירות את התמרת פורייה ההפוכה, שמחזירה את סדרת המקדמים [math]\displaystyle{ A_n }[/math] לסדרת הדגימות [math]\displaystyle{ a_n }[/math].

[math]\displaystyle{ v=\frac{1}{N}(A_0v_0+...+A_{N-1}v_{N-1}) }[/math]

• ולכן:

[math]\displaystyle{ a_n = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} A_k e^{2\pi i k \frac{n}{N}} }[/math]

מסקנות לגבי גלים ממשיים

• פירקנו את הפונקציה לסכום של גלים מרוכבים בנקודות הדגימה, האם ניתן להשתמש בהתמרה על מנת לקבל פירוק לגלים ממשיים?

• ראשית, נשים לב לתופעה הבאה:

[math]\displaystyle{ v_{N-n} = (1,e^{2\pi i (N-n) \frac{1}{N}},...,e^{2\pi i (N-n) \frac{N-1}{N}}) = (1,e^{2\pi i (N-n) \frac{1}{N} - 2\pi i },...,e^{2\pi i (N-n) \frac{N-1}{N} - 2\pi i (N-1)}) }[/math]

• (השיוויון נכון בזכות המחזוריות)
• ולכן נקבל:

[math]\displaystyle{ v_{N-n} = (1, e^{2\pi i (\frac{(N-n)}{N} - 1)},...,e^{2\pi i (N-1)(\frac{(N-n)}{N} - 1)}) = v_{-n} }[/math]

• כלומר פירוק הפונקציה לגלים [math]\displaystyle{ u_0,u_1,...,u_{N-1} }[/math] נותן את אותם המקדמים כמו פירוק הפונקציה לגלים [math]\displaystyle{ u_0,u_1,u_{-1},... }[/math].
• כאשר המקדם של [math]\displaystyle{ u_{-n} }[/math] שווה למקדם של [math]\displaystyle{ u_{N-n} }[/math].
• שימו לב שזה לא פירוק של הפונקציה לסכום הגלים בכל הממשיים, אלא רק בנקודות הדגימה.

• לדוגמא:
• נניח שיש לנו 5 דגימות של f.
• אם נפרק את f לגלים [math]\displaystyle{ u_0,u_1,...,u_5 }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ v=B_0v_0+...+B_4v_4 }[/math]
• אם נפרק את f לגלים [math]\displaystyle{ u_{-2},u_{-1},u_0,u_1,u_2 }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ v=B_3v_{-2},B_4v_{-1}+B_0v_0+B_1v_1+B_2v_2 }[/math]
• במצב זה, אם דגמנו בתדר [math]\displaystyle{ t }[/math] נקבל את התדרים [math]\displaystyle{ 0,\frac{t}{5},\frac{2t}{5} }[/math] שזה מתאים למשפט הדגימה של שנון (טווח התדרים של הפונקציה הוא עד חצי מתדר הדגימה).

• עבור n ספציפי מתקיים כי:

[math]\displaystyle{ B_ne^{2\pi i n \frac{t}{N}x} + B_{N-n}e^{-2\pi i n \frac{t}{N}x} = (B_n+B_{N-n}) \cos (2\pi n \frac{t}{N}x) + i(B_n-B_{N-n})sin(2\pi n \frac{t}{N}x) }[/math]

• מהצבה ישירה של הנוסחאות שמצאנו ניתן לראות שאם f ממשית אזי [math]\displaystyle{ B_n+B_{N-n} }[/math] וגם [math]\displaystyle{ i(B_n-B_{N-n}) }[/math] הם ממשיים.
• כלומר הצלחנו לפרק את f לסכום של גלים ממשיים עם מקדמים ממשיים.

• הערה: אם N זוגי, אז הגל [math]\displaystyle{ u_{\frac{N}{2}} }[/math] נותר בודד.
• לדוגמא עבור [math]\displaystyle{ N=4 }[/math] נקבל במקום הגלים [math]\displaystyle{ u_0,u_1,u_2,u_3 }[/math] את [math]\displaystyle{ u_{-1},u_0,u_1,u_2 }[/math]
• נשים לב כי במקרה זה [math]\displaystyle{ v_{\frac{N}{2}} }[/math] הוא וקטור ממשי (ולכן גם המקדם שלו ממשי) כיוון שהsin מתאפס בכל נקודות הדגימה.