היטל: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך Math-Wiki
שורה 17: שורה 17:
ב. יהי <math>S=\{s_1,...,s_n\}</math> בסיס כלשהו למרחב V ותהי <math>G_S</math> מטריצת הגראם של S. הוכיחו כי:
ב. יהי <math>S=\{s_1,...,s_n\}</math> בסיס כלשהו למרחב V ותהי <math>G_S</math> מטריצת הגראם של S. הוכיחו כי:
::<math>|G_S|\leq ||s_1||^2\cdot ||s_2||^2\cdots ||s_n||^2</math>
::<math>|G_S|\leq ||s_1||^2\cdot ||s_2||^2\cdots ||s_n||^2</math>
'''פתרון:'''
א. ניקח בסיס אורתונורמלי כלשהו <math>\{u_1,...,u_k\}</math> לתת המרחב U
<math>\sum_{i=1}^n||\pi_U(v_i)||^2=\sum_{i=1}^n<\pi_U(v_i),\pi_U(v_i)>=\sum_{i=1}^n\Big(<\sum_{j=1}^k<v_i,u_i>,\sum_{j=1}^k<v_i,u_i>>\Big)</math>


===2===
===2===

גרסה מ־08:44, 25 בדצמבר 2012

הגדרה

יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהיו W תת מרחב של V ו[math]\displaystyle{ v\in V }[/math] וקטור. ההגדרות הבאות למושג היטל v על המרחב W שקולות:

א. יהי [math]\displaystyle{ B=\{w_1,...,w_n\} }[/math] בסיס אורתוגונלי לתת המרחב W, אזי ההיטל הינו [math]\displaystyle{ \pi_W(v)=\sum_{i=1}^n \frac{\lt v,w_i\gt }{\lt w_i,w_i\gt }w_i }[/math] (התוצאה לא תלוייה בבחירת הבסיס)

ב. ההיטל הוא הוקטור [math]\displaystyle{ \pi_W(v)\in W }[/math] המקיים [math]\displaystyle{ v-\pi_W(v)\in W^\perp }[/math]

תרגילים

0

הוכח כי בהגדרה הראשונה להיטל, בחירת הבסיס אינה משנה (כלומר ההיטל נשאר זהה לכל בחירת בסיס).

1

יהי V מרחב מכפלה פנימית מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] ממימד n ויהי [math]\displaystyle{ U\subseteq V }[/math] תת מרחב ממימד k

א. הוכיחו כי לכל בסיס אורתונורמלי [math]\displaystyle{ \{v_1,...,v_n\} }[/math] למרחב V מתקיים [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n||\pi_U(v_i)||^2=k }[/math]

ב. יהי [math]\displaystyle{ S=\{s_1,...,s_n\} }[/math] בסיס כלשהו למרחב V ותהי [math]\displaystyle{ G_S }[/math] מטריצת הגראם של S. הוכיחו כי:

[math]\displaystyle{ |G_S|\leq ||s_1||^2\cdot ||s_2||^2\cdots ||s_n||^2 }[/math]


פתרון:

א. ניקח בסיס אורתונורמלי כלשהו [math]\displaystyle{ \{u_1,...,u_k\} }[/math] לתת המרחב U

[math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n||\pi_U(v_i)||^2=\sum_{i=1}^n\lt \pi_U(v_i),\pi_U(v_i)\gt =\sum_{i=1}^n\Big(\lt \sum_{j=1}^k\lt v_i,u_i\gt ,\sum_{j=1}^k\lt v_i,u_i\gt \gt \Big) }[/math]

2

יהי V מרחב מכפלה פנימית ויהיו [math]\displaystyle{ U,W\subseteq V }[/math] תתי מרחבים כך ש [math]\displaystyle{ \dim{U}=m, \dim{W}=k }[/math]

א. הוכיחו כי [math]\displaystyle{ \lt v,u\gt =\lt \pi_U(v),u\gt }[/math] לכל [math]\displaystyle{ u\in Y, v\in V }[/math]


ב. נגדיר אופרטור [math]\displaystyle{ P_U:U\rightarrow U }[/math] ע"י [math]\displaystyle{ P_U(u)=\pi_U(\pi_W(u)) }[/math].

הוכיחו כי לכל שני וקטורים [math]\displaystyle{ u_1,u_2\in U }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \lt P_U(u_1),u_2\gt =\lt u_1,P_U(u_2)\gt }[/math]