הבדלים בין גרסאות בדף "היטל"
(←1) |
(←1) |
||
שורה 27: | שורה 27: | ||
<math>=\sum_{i=1}^n\Big(\sum_{j=1}^k<<v_i,u_j>,<v_i,u_j>>\Big)=\sum_{j=1}^k\Big(\sum_{i=1}^n<<u_j,v_i>,<u_j,v_i>>\Big)=</math> | <math>=\sum_{i=1}^n\Big(\sum_{j=1}^k<<v_i,u_j>,<v_i,u_j>>\Big)=\sum_{j=1}^k\Big(\sum_{i=1}^n<<u_j,v_i>,<u_j,v_i>>\Big)=</math> | ||
− | <math>=\sum_{j=1}^k\Big(<\sum_{i=1}^n<u_j,v_i>v_i,\sum_{i=1}^n<u_j,v_i>v_i>\Big)=\sum_{j=1}^k | + | <math>=\sum_{j=1}^k\Big(<\sum_{i=1}^n<u_j,v_i>v_i,\sum_{i=1}^n<u_j,v_i>v_i>\Big)=\sum_{j=1}^k||\pi_V(u_j)||^2</math> |
אבל <math>\pi_V(u_j)=u_j</math> וכיוון שזה בסיס אורתונורמלי אורך כל איברי הבסיס הוא אחד, ולכן הסכום לעיל שווה בדיוק k. | אבל <math>\pi_V(u_j)=u_j</math> וכיוון שזה בסיס אורתונורמלי אורך כל איברי הבסיס הוא אחד, ולכן הסכום לעיל שווה בדיוק k. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | ב. | ||
+ | |||
+ | ראשית, נפעיל אלגוריתם גרם-שמידט על מנת לקבל בסיס אורתוגונלי <math>W=\{w_1,...,w_n\}</math>, כלומר נשתמש בנוסחאת הנסיגה: | ||
+ | |||
+ | ::<math>w_1=s_1</math> | ||
+ | |||
+ | ::<math>w_i=s_i-\sum_{j=1}^{i-1}\frac{<s_i,w_j>}{<w_j,w_j>}w_j</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | לכן קל לראות כי מטריצת המעבר בין הבסיסים <math>[I]^W_S</math> הינה מטריצה משולשית עליונה עם אחדות על האלכסון ולכן <math>|[I]^W_S|=1</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | לפי נוסחאת המעבר בין מטריצות גראם אנו מקבלים כי | ||
+ | |||
+ | ::<math>G_S=\Big([I]^W_S\Big)^tG_W\overline{[I]^W_S}</math> | ||
+ | |||
+ | ולכן | ||
+ | |||
+ | ::<math>|G_S|=|G_W|</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | אבל W בסיס אורתוגונלי ולכן <math>|G_W|=||w_1||^2\cdots ||w_n||^2</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ולכן כל שנותר להראות הוא כי <math>||w_i||\leq ||s_i||</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | אכן, כפי שראינו בתרגיל קודם, אם מחסירים מוקטור היטלים שלו על תתי מרחבים, הנורמה קטנה. | ||
===2=== | ===2=== |
גרסה מ־09:06, 25 בדצמבר 2012
הגדרה
יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהיו W תת מרחב של V ו וקטור. ההגדרות הבאות למושג היטל v על המרחב W שקולות:
א. יהי בסיס אורתוגונלי לתת המרחב W, אזי ההיטל הינו (התוצאה לא תלוייה בבחירת הבסיס)
ב. ההיטל הוא הוקטור המקיים
תרגילים
0
הוכח כי בהגדרה הראשונה להיטל, בחירת הבסיס אינה משנה (כלומר ההיטל נשאר זהה לכל בחירת בסיס).
1
יהי V מרחב מכפלה פנימית מעל ממימד n ויהי תת מרחב ממימד k
א. הוכיחו כי לכל בסיס אורתונורמלי למרחב V מתקיים
ב. יהי בסיס כלשהו למרחב V ותהי מטריצת הגראם של S. הוכיחו כי:
פתרון:
א. ניקח בסיס אורתונורמלי כלשהו לתת המרחב U
אבל וכיוון שזה בסיס אורתונורמלי אורך כל איברי הבסיס הוא אחד, ולכן הסכום לעיל שווה בדיוק k.
ב.
ראשית, נפעיל אלגוריתם גרם-שמידט על מנת לקבל בסיס אורתוגונלי , כלומר נשתמש בנוסחאת הנסיגה:
לכן קל לראות כי מטריצת המעבר בין הבסיסים הינה מטריצה משולשית עליונה עם אחדות על האלכסון ולכן
לפי נוסחאת המעבר בין מטריצות גראם אנו מקבלים כי
ולכן
אבל W בסיס אורתוגונלי ולכן
ולכן כל שנותר להראות הוא כי
אכן, כפי שראינו בתרגיל קודם, אם מחסירים מוקטור היטלים שלו על תתי מרחבים, הנורמה קטנה.
2
יהי V מרחב מכפלה פנימית ויהיו תתי מרחבים כך ש
א. הוכיחו כי לכל
ב. נגדיר אופרטור ע"י .
הוכיחו כי לכל שני וקטורים מתקיים