הבדלים בין גרסאות בדף "היטל"
(←3) |
(←3) |
||
שורה 92: | שורה 92: | ||
'''פתרון:''' | '''פתרון:''' | ||
− | א. כפי שראינו בהגדרה השנייה, <math>\Big(v-\pi_U(v)\Big)\in U^\perp</math>ולכן | + | א. כפי שראינו בהגדרה השנייה, <math>\Big(v-\pi_U(v)\Big)\in U^\perp</math> ולכן |
::<math><v-\pi_U(v),u>=0</math> | ::<math><v-\pi_U(v),u>=0</math> | ||
שורה 99: | שורה 99: | ||
::<math><v,u>=<\pi_U(v),u></math> | ::<math><v,u>=<\pi_U(v),u></math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ב. | ||
+ | |||
+ | ::<math><P_U(u_1),u_2>=<\pi_U(\pi_W(u_1)),u_2></math> | ||
+ | |||
+ | כיוון ש <math>u_2\in U</math> לפי סעיף א' מתקיים: | ||
+ | |||
+ | ::<math><\pi_U(\pi_W(u_1)),u_2>=<\pi_W(u_1),u_2></math> | ||
+ | |||
+ | אבל <math>\pi_W(u_1)\in W</math> ולכן | ||
+ | |||
+ | ::<math><\pi_W(u_1),u_2>=<\pi_W(u_1),\pi_W(u_2)>= <u_1,\pi_W(u_2)></math> | ||
+ | |||
+ | שוב, כיוון ש<math>u_1\in U</math> מתקיים | ||
+ | |||
+ | ::<math><u_1,\pi_W(u_2)>=<u_1,\pi_U(\pi_W(u_2))>=<u_1,P_U(u_2)></math> |
גרסה מ־12:03, 25 בדצמבר 2012
הגדרה
יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהיו W תת מרחב של V ו וקטור. ההגדרות הבאות למושג היטל v על המרחב W שקולות:
א. יהי בסיס אורתוגונלי לתת המרחב W, אזי ההיטל הינו (התוצאה לא תלוייה בבחירת הבסיס)
ב. ההיטל הוא הוקטור המקיים
תרגילים
0
הוכח כי בהגדרה הראשונה להיטל, בחירת הבסיס אינה משנה (כלומר ההיטל נשאר זהה לכל בחירת בסיס).
1
יהי V מרחב מכפלה פנימית ויהי W תת מרחב. הוכיחו כי לכל
פתרון:
ניקח בסיס אורתוגונלי למרחב W, ונשלים אותו לבסיס אורתוגונלי למרחב כולו.
אזי
2
יהי V מרחב מכפלה פנימית מעל ממימד n ויהי תת מרחב ממימד k
א. הוכיחו כי לכל בסיס אורתונורמלי למרחב V מתקיים
ב. יהי בסיס כלשהו למרחב V ותהי מטריצת הגראם של S. הוכיחו כי:
פתרון:
א. ניקח בסיס אורתונורמלי כלשהו לתת המרחב U
אבל וכיוון שזה בסיס אורתונורמלי אורך כל איברי הבסיס הוא אחד, ולכן הסכום לעיל שווה בדיוק k.
ב.
ראשית, נפעיל אלגוריתם גרם-שמידט על מנת לקבל בסיס אורתוגונלי , כלומר נשתמש בנוסחאת הנסיגה:
לכן קל לראות כי מטריצת המעבר בין הבסיסים הינה מטריצה משולשית עליונה עם אחדות על האלכסון ולכן
לפי נוסחאת המעבר בין מטריצות גראם אנו מקבלים כי
ולכן
אבל W בסיס אורתוגונלי ולכן
ולכן כל שנותר להראות הוא כי
אכן, כפי שראינו בתרגיל קודם, אם מחסירים מוקטור היטלים שלו על תתי מרחבים, הנורמה קטנה.
3
יהי V מרחב מכפלה פנימית ויהיו תתי מרחבים כך ש
א. הוכיחו כי לכל
ב. נגדיר אופרטור ע"י .
הוכיחו כי לכל שני וקטורים מתקיים
פתרון:
א. כפי שראינו בהגדרה השנייה, ולכן
נשתמש בלינארית ברכיב ראשון ונעביר אגף על מנת לקבל
ב.
כיוון ש לפי סעיף א' מתקיים:
אבל ולכן
שוב, כיוון ש מתקיים