אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

[math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow\infty}f_n }[/math]

הוראות

כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על [עריכה] (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:

== כותרת לשאלה ==

לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על שמירה למטה מימין

ארכיון

ארכיון 1 - תרגיל 1 ו2

ארכיון 2 - תרגיל 3

ארכיון 3 - תרגיל 3

ארכיון 4 - תרגיל 4

ארכיון 5 - תרגיל 4,5

ארכיון 6 - תרגיל 6

ארכיון 7 - (מי עוקב)

ארכיון 8

ארכיון 9 - לקראת הבוחן

ארכיון 10 - פוסט בוחן

ארכיון 11 - תרגיל 9

ארכיון 12 - תרגיל 9

ארכיון 13 - תרגיל 10

ארכיון 14 - תרגיל 10

שאלות

תומר - הסמסטר הולך ומסתיים לו . מי שרוצה לקבוע איתי פגישה ("שעת קבלה " ) - מוזמן לעשות זאת ועדיף לא לדחות עד סוף הסמסטר ממש ובסמוך למבחן ! שילחו לי מייל לתיאום : yaniv_to@netvision.net.il

שאלה לכולם

יש איזשהו תרגיל שנאילא מצליחה לפתור- אני ממש אשמח אם מישהו יוכל לעזור לי. השאלה: "נניח ש- [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] מוגדרת ורציפה בקטע סגור [a,b]. הוכיחו כי הטור [math]\displaystyle{ \sum _{n=1}^\infty [f(x)]^n }[/math] מתכנס במ"ש ב- [a,b] אם ורק אם הוא מתכנס נקודתית ב- [a,b]." תודה לכל העוזרים!!!!

תשובה

הרי אנחנו יודעים בדיוק מתי הטור הזה מתכנס נקודתית, מה פונקצית הגבול שלו ומה השארית שלו. מהו תנאי מספיק והכרחי שהטור הזה יתכנס נקודתית בקטע הסגור?

(מישהו אחר): לא יותר פשוט לפתור את התרגיל באמצעות מבחן ה-M?

למעשה זה אותו הדבר...

שאלה

תהיינה [math]\displaystyle{ f_n }[/math] פונקציות חסומות בקטע A, ו-[math]\displaystyle{ f_n \rightarrow f }[/math] במ"ש ב-A, ואני צ"ל ש-f חסומה - הגעתי למצב שאני צריך להראות שההפרש ביניהם חסום, אבל אני לא יכול לדעת שזה מתקיים לכל n, אלא רק החל מ-n מסויים (לפי הגדרת ההתכנסות במ"ש). אשמח אם מישהו יוכל לעזור לי (ע"י רמז או כיוון, ולא יותר, בבקשה).

רמז:

ראשית, אם הפונקציות אינן רציפות בקטע, אז אין הטענה נכונה בהכרח. למשל, [math]\displaystyle{ f_n(x)=\frac{1}{x} }[/math], כך שעבור x=0 מוגדר להיות 0, סדרה זו וודאי מתכנסת במ"ש ל-[math]\displaystyle{ 1/x }[/math] (כך שב-x=0 מתקבל 0), כי הפונקציה לא תלויה בכלל ב-n. ולמרות זאת, פונקצית הגבול לא חסומה בקטע [math]\displaystyle{ ![0,1] }[/math]

אבל, אם [math]\displaystyle{ f_n }[/math] רציפות ומתכנסות במ"ש, אז זה מבטיח משהו על פונקצית הגבול... (שהיא משהו - ואותה תכונה בקטע סגור מניבה את הדרוש..)

תשובה

הרמז לא נכון. אין צורך שהפונקציות יהיו רציפות, נתון שהן חסומות (הדוגמא שנתת אינה טוב). לפיכך אי אפשר להוכיח שפונקצית הגבול רציפה ולכן חסומה.

אבל, אם יש פונקציות חסומות ששואפות לפונקציה שאינה חסומה, זה אומר שתמיד אפשר למצוא הפרשים גדולים.

שאלה

(לקוחה מספר) - תהי f יורדת ממש והאינטגרל: [math]\displaystyle{ \int_0^\infty f }[/math] קיים. הוכיחו שהאינטגרל שונה מ- [math]\displaystyle{ \sum _{n=1}^\infty f(n) }[/math] , ושקיים מספר a בקטע (0,1) כך ש- [math]\displaystyle{ \int_a^\infty f = \sum _{n=1}^\infty f(n) }[/math]

(לא ארז/תומר) [math]\displaystyle{ \int_0^\infty f = \sum _{n=1}^\infty \int_{n-1}^{n} f \gt \sum _{n=1}^\infty \int_{n-1}^{n} f(n) = \sum _{n=1}^\infty f(n)\cdot 1 }[/math] אי השוויון מתקיים בגלל המונוטוניות (אי שוויון בפונקציות גורר אי שוויון באינטגרלים) ומשום ש-f יורדת ממש נקבל [math]\displaystyle{ f(n)\gt f(n-1) }[/math] ולכן יש אי שוויון חזק באינטגרלים. לגבי החלק השני של ההוכחה: באותו האופן מתקיים גם: [math]\displaystyle{ \int_1^\infty f = \sum _{n=1}^\infty \int_{n}^{n+1} f \lt \sum _{n=1}^\infty \int_{n}^{n+1} f(n) = \sum _{n=1}^\infty f(n)\cdot 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ g(a):=\int_a^\infty f }[/math] פונקציה רציפה כי אם b שואף לאפס אז [math]\displaystyle{ g(a+b)=\int_{a+b}^\infty f = \int_{a}^\infty f - \int_{a}^{a+b} f \xrightarrow{b \rightarrow 0} \int_{a}^\infty f = g(a) }[/math]

הראינו כי [math]\displaystyle{ g(0) \gt \sum _{n=1}^\infty f(n) \gt g(1) }[/math] ולכן לפי משפט ערך הביניים קיים [math]\displaystyle{ 0\lt a\lt 1 }[/math] עבורו [math]\displaystyle{ g(a)=\sum _{n=1}^\infty f(n) }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \int_a^\infty f = \sum _{n=1}^\infty f(n) }[/math], מש"ל

תודה רבה!! את החלק השני הבנתי היטב, אבל בחלק הראשון משהו נראה לי מוזר באי-שוויון (שגם מוזכר בחלק השני) - יש שני ביטויים ששווים זה לזה וסמנת אי שוויון, אולי שכחת לציין שמדובר פעם ב-f(n) ופעם ב- f(n-1)?

פעם יש שם f ופעם יש f(n) זה ההבדל בין האינטגרל על הפונקציה, לבין האינטגרל על פונקצית המדרגות (כאשר אתה קובע את הערך של כל מדרגה לפי הקצה השמאלי או הימני שלה). אכן יש אי שיוויון חזק בין הפונקציה לבין פונקציות המדרגות הנ"ל.

שאלה

מה השעה שבה מתחיל תירגול ההשלמה? באתר הזה (בעמוד הבית) כתוב שהוא ב- 13:00, בעוד שבדף ההודעות באתר של המחלקה כתוב שהוא ב- 12:45. מתי הוא באמת מתחיל?

שאלה

משפט דיני מדבר על התכנסות במ"ש של פונקציה מונוטונית, רציפה ומתכנסת נקודתית בקטע סגור [a,b]. האם הוא גם נכון לקטע פתוח (a,b)? אם הוא נכון לקטע הסגור הוא בפרט נכון לקטע הפתוח, אבל השאלה שלי היא האם הפונקציה רציפה, מונוטונית ומתכנסת נקודתית ב-(a,b) האם זה גורר שהיא מתכנסת גם במ"ש לפי משפט דיני?

תשובה

בדיוק כמו שאמרנו כבר, זה לא עובד בקטע פתוח מכיוון שאי אפשר להשתמש במשפט שלכל סדרה יש תת סדרה מתכנסת (קחו סדרה ששואפת לקצה).

והדוגמא הנגדית היא כמובן הפונקציה [math]\displaystyle{ \frac{1}{1-x} }[/math] שהינה פונקצית הגבול לטור [math]\displaystyle{ \sum x^n }[/math]. היא מונוטונית בקטע הפתוח (0,1) ומתכנסת בו נקודתית. אך לא במ"ש. (כי אפשר לקחת סדרה ששואפת לאחד ועליה ההפרשים בין הגבול לבין הסדרה הולכים וגדלים).