אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

[math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow\infty}f_n }[/math]

הוראות

כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על [עריכה] (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:

== כותרת לשאלה ==

לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על שמירה למטה מימין

ארכיון

ארכיון 1 - תרגיל 1 ו2

ארכיון 2 - תרגיל 3

ארכיון 3 - תרגיל 3

ארכיון 4 - תרגיל 4

ארכיון 5 - תרגיל 4,5

ארכיון 6 - תרגיל 6

ארכיון 7 - (מי עוקב)

ארכיון 8

ארכיון 9 - לקראת הבוחן

ארכיון 10 - פוסט בוחן

ארכיון 11 - תרגיל 9

ארכיון 12 - תרגיל 9

ארכיון 13 - תרגיל 10

ארכיון 14 - תרגיל 10

שאלות

תומר - הסמסטר הולך ומסתיים לו . מי שרוצה לקבוע איתי פגישה ("שעת קבלה " ) - מוזמן לעשות זאת ועדיף לא לדחות עד סוף הסמסטר ממש ובסמוך למבחן ! שילחו לי מייל לתיאום : yaniv_to@netvision.net.il

שאלה לכולם

יש איזשהו תרגיל שנאילא מצליחה לפתור- אני ממש אשמח אם מישהו יוכל לעזור לי. השאלה: "נניח ש- [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] מוגדרת ורציפה בקטע סגור [a,b]. הוכיחו כי הטור [math]\displaystyle{ \sum _{n=1}^\infty [f(x)]^n }[/math] מתכנס במ"ש ב- [a,b] אם ורק אם הוא מתכנס נקודתית ב- [a,b]." תודה לכל העוזרים!!!!

תשובה

הרי אנחנו יודעים בדיוק מתי הטור הזה מתכנס נקודתית, מה פונקצית הגבול שלו ומה השארית שלו. מהו תנאי מספיק והכרחי שהטור הזה יתכנס נקודתית בקטע הסגור?

(מישהו אחר): לא יותר פשוט לפתור את התרגיל באמצעות מבחן ה-M?

למעשה זה אותו הדבר...

שאלה

תהיינה [math]\displaystyle{ f_n }[/math] פונקציות חסומות בקטע A, ו-[math]\displaystyle{ f_n \rightarrow f }[/math] במ"ש ב-A, ואני צ"ל ש-f חסומה - הגעתי למצב שאני צריך להראות שההפרש ביניהם חסום, אבל אני לא יכול לדעת שזה מתקיים לכל n, אלא רק החל מ-n מסויים (לפי הגדרת ההתכנסות במ"ש). אשמח אם מישהו יוכל לעזור לי (ע"י רמז או כיוון, ולא יותר, בבקשה).

רמז:

ראשית, אם הפונקציות אינן רציפות בקטע, אז אין הטענה נכונה בהכרח. למשל, [math]\displaystyle{ f_n(x)=\frac{1}{x} }[/math], כך שעבור x=0 מוגדר להיות 0, סדרה זו וודאי מתכנסת במ"ש ל-[math]\displaystyle{ 1/x }[/math] (כך שב-x=0 מתקבל 0), כי הפונקציה לא תלויה בכלל ב-n. ולמרות זאת, פונקצית הגבול לא חסומה בקטע [math]\displaystyle{ ![0,1] }[/math]

אבל, אם [math]\displaystyle{ f_n }[/math] רציפות ומתכנסות במ"ש, אז זה מבטיח משהו על פונקצית הגבול... (שהיא משהו - ואותה תכונה בקטע סגור מניבה את הדרוש..)

תשובה

הרמז לא נכון. אין צורך שהפונקציות יהיו רציפות, נתון שהן חסומות (הדוגמא שנתת אינה טוב). לפיכך אי אפשר להוכיח שפונקצית הגבול רציפה ולכן חסומה.

אבל, אם יש פונקציות חסומות ששואפות לפונקציה שאינה חסומה, זה אומר שתמיד אפשר למצוא הפרשים גדולים.

צודק... מצטער על הטעות שלי..! :)

אל תצטער ואל תעשה את זה שוב :P

זה לא כזה מסובך לפי דעתי. זה ממש נובע מהתכנסות במ"ש. מה זה אומר במ"ש? שההפרש בין פונקציית הגבול לפונקציה ה-N-ית שואף ל-ס. לכן קיים N0 כך שעבור N>N0 ההפרש בין פונקציית הגבול לפונקציה ה-N-ית יהיה קטן מ(נניח) חצי. עכשיו נתון שהפונקצית ה-N-ית חסומה על ידי M כלשהו. נניח בשלילה שפונ' הגבול לא חסומה, לכן קיים X כך שבו הפונ' גדולה או שווה ל-M+1. בנקודה הזו, ההפרש בין פונקציית הגבול (M+1) לפונקצייה ה-N-ית (שקטנה מ-M) יהיה גדול או שווה ל-1, ולכן גדול מחצי, בסתירה לנתון, ולכן פונקציית הגבול חסומה (זה עידו, לא ארז/תומר)

שאלה

(לקוחה מספר) - תהי f יורדת ממש והאינטגרל: [math]\displaystyle{ \int_0^\infty f }[/math] קיים. הוכיחו שהאינטגרל שונה מ- [math]\displaystyle{ \sum _{n=1}^\infty f(n) }[/math] , ושקיים מספר a בקטע (0,1) כך ש- [math]\displaystyle{ \int_a^\infty f = \sum _{n=1}^\infty f(n) }[/math]

(לא ארז/תומר) [math]\displaystyle{ \int_0^\infty f = \sum _{n=1}^\infty \int_{n-1}^{n} f \gt \sum _{n=1}^\infty \int_{n-1}^{n} f(n) = \sum _{n=1}^\infty f(n)\cdot 1 }[/math] אי השוויון מתקיים בגלל המונוטוניות (אי שוויון בפונקציות גורר אי שוויון באינטגרלים) ומשום ש-f יורדת ממש נקבל [math]\displaystyle{ f(n)\gt f(n-1) }[/math] ולכן יש אי שוויון חזק באינטגרלים. לגבי החלק השני של ההוכחה: באותו האופן מתקיים גם: [math]\displaystyle{ \int_1^\infty f = \sum _{n=1}^\infty \int_{n}^{n+1} f \lt \sum _{n=1}^\infty \int_{n}^{n+1} f(n) = \sum _{n=1}^\infty f(n)\cdot 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ g(a):=\int_a^\infty f }[/math] פונקציה רציפה כי אם b שואף לאפס אז [math]\displaystyle{ g(a+b)=\int_{a+b}^\infty f = \int_{a}^\infty f - \int_{a}^{a+b} f \xrightarrow{b \rightarrow 0} \int_{a}^\infty f = g(a) }[/math]

הראינו כי [math]\displaystyle{ g(0) \gt \sum _{n=1}^\infty f(n) \gt g(1) }[/math] ולכן לפי משפט ערך הביניים קיים [math]\displaystyle{ 0\lt a\lt 1 }[/math] עבורו [math]\displaystyle{ g(a)=\sum _{n=1}^\infty f(n) }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \int_a^\infty f = \sum _{n=1}^\infty f(n) }[/math], מש"ל

תודה רבה!! את החלק השני הבנתי היטב, אבל בחלק הראשון משהו נראה לי מוזר באי-שוויון (שגם מוזכר בחלק השני) - יש שני ביטויים ששווים זה לזה וסמנת אי שוויון, אולי שכחת לציין שמדובר פעם ב-f(n) ופעם ב- f(n-1)?

פעם יש שם f ופעם יש f(n) זה ההבדל בין האינטגרל על הפונקציה, לבין האינטגרל על פונקצית המדרגות (כאשר אתה קובע את הערך של כל מדרגה לפי הקצה השמאלי או הימני שלה). אכן יש אי שיוויון חזק בין הפונקציה לבין פונקציות המדרגות הנ"ל.

שאלה

מה השעה שבה מתחיל תירגול ההשלמה? באתר הזה (בעמוד הבית) כתוב שהוא ב- 13:00, בעוד שבדף ההודעות באתר של המחלקה כתוב שהוא ב- 12:45. מתי הוא באמת מתחיל?

תומר - התכנון היה לאפשר הפסקונת בין הבוחן/פתיחת מחברות לתירגול ההשלמה .

שאלה

משפט דיני מדבר על התכנסות במ"ש של פונקציה מונוטונית, רציפה ומתכנסת נקודתית בקטע סגור [a,b]. האם הוא גם נכון לקטע פתוח (a,b)? אם הוא נכון לקטע הסגור הוא בפרט נכון לקטע הפתוח, אבל השאלה שלי היא האם הפונקציה רציפה, מונוטונית ומתכנסת נקודתית ב-(a,b) האם זה גורר שהיא מתכנסת גם במ"ש לפי משפט דיני?

תשובה

בדיוק כמו שאמרנו כבר, זה לא עובד בקטע פתוח מכיוון שאי אפשר להשתמש במשפט שלכל סדרה יש תת סדרה מתכנסת (קחו סדרה ששואפת לקצה).

והדוגמא הנגדית היא כמובן הפונקציה [math]\displaystyle{ \frac{1}{1-x} }[/math] שהינה פונקצית הגבול לטור [math]\displaystyle{ \sum x^n }[/math]. סדרת הסכומים החלקיים היא מונוטונית בקטע הפתוח (0,1) ומתכנסת בו נקודתית. אך לא במ"ש. (כי אפשר לקחת סדרה ששואפת לאחד ועליה ההפרשים בין הגבול לבין הסדרה הולכים וגדלים).

שאלה

מה הקשר בין התכנסות במ"ש של טור פונקציות לבין התכנסות במ"ש של הסדרה? נניח יש לי סדרת פונקציות f_n. אני יודע שהטור פונקציות של f_n מתכנס במידה שווה באיזשהו קטע I. האם זה אומר שסדרת הפונקציות שלו, f_n, מתכנסת במידה שווה ל0?

תשובה

כן הסדרה מתכנסת במ"ש לאפס. אפשר להוכיח את זה בשלילה.

שאלה

נניח שאני מגדיר פונקצייה f להיות פונקציית הסימן (sign), ואני רוצה לחשב את האינטגרל שלה ממינוס אינסוף לפלוס אינסוף. אני יודע שבאופן כללי הוא שווה לאינטגרל ממינוס אינסוף לנקודה כלשהי ועוד האינטגרל מהנקודה לפלוס אינסוף, וששניהם תמיד יתבדרו וכמובן מספיק שרק אחד יתבדר בשביל שהאינטגרל הכללי יתבדר, אבל אף פעם לא הבנתי למה אי אפשר להגדיר באופן מיוחד, שיתאים למשל למקרה שנתתי - הרי ברור שאם נסתכל על גרף הפונקצייה כאשר במרכז הנקודה 0, השטח שמתחת לגרף יהיה אפס, לא?

תשובה

במתמטיקה אפשר להגדיר מה שרוצים. הגדרה טובה הינה הגדרה שמובילה למשפטים ולתוצאות משמעותיות. בכל אופן, לפי ההגדרה המקובלת לאינטגרל לא אמיתי באינפי, האינטגרל של פונקצית הסימן מתבדר. חשוב שתהיה הגדרה אחת ידועה לכולם, אחרת יהיה בלבול.  תומר - אוסיף ואומר שאינטגרל כמו זה שאתה מכיר - קיים במתמטיקה ולעיתים יש חשיבות להשתמש דווקא בגבול סימטרי ביחס לאפס . בקבוצות התירגול שלי הזכרתי שאינטגרל כזה נקרא PV = PRINCIPAL VALUE ואתם עוד תלמדו עליו בהמשך חייכם המתמטיים . אבל אצלנו באינפי מדובר על הגדרה כפיצול של שני גבולות כמו שהזכרת !

שאלה

בשאלה 3, בכל קטע סופי הכוונה לקטע פתוח או סגור או לכל קטע לא משנה פתוח/חצי פתוח/סגור?

תשובה

1. כבר שאלו את זה

2. זה ממש לא משנה, כל התנאים האלה שקולים.

שאלה

בשאלה 3 איך משתמשים בדיוק ברציפות במידה שווה? אפשר רמז נוסף אולי?

תשובה

מהו ההפרש בין פונקצית הגבול לבין הסדרה? תנסה לנסח אותו, ואולי לצייר ואז אולי תבין איפה משתמשים ברציפות במ"ש.

מועד הגשת התרגיל

יש אפשרות להגיש את תרגיל 10 ביום הבחינה ולא מחר? פשוט אני, ובטח עוד אחרים, עובר גם על שיעורי הבית שלי כהכנה למבחן. תודה רבה.

תשובה

לא. תרגילים שלא יוגשו מחר לא יתקבלו כלל, בעיקר מסיבות טכניות של הבדיקה.

שאלה נוספת: ומה חובת ההגשה בסימסטר הזה? 80%, כלומר 8 מ-10?

8 מ10 אכן מספיק.

אך האם 8 מ-10 הכרחי?

כן

כלומר, 8 מ-10 הכרחי ומספיק.

שאלה

למתרגלים - האם יש לכם איזו השערה לגבי כמה זמן התרגול מחר? בערך? שעתיים-שלוש? יותר?

תשובה

בגדול שעתיים

שאלה

בהוכחה של משפט אבל, השתמשתם בA. אבל לא ציינתם מה הוא? החסם במשותף? מה זה סדרה שחסומה במשותף?

תשובה

נראה לי שהוא החסם המשותף. סדרה שחסומה במשותף/חסומה במידה אחידה הכוונה שכל הפונקציות חסומות לכל איקס על ידי אותו חסם (במקרה זה A).

שאלה

תומר/ארז- יש מצב שאתם מעלים בבקשה מבחנים משני קודמות של אינפי 2???? אני חושב שרוני אמר שהוא יעלה לאתר מבחנים.....

תשובה

נשתדל להביא חומר

בקשה

יש מצב בבקשה להעלות את פתרון תרגיל 10 לאתר? תומר - בדרך !

שאלה

בבוחן, בשאלה 1, היה אפשר גם להוכיח את האי השיוויון הימני עם טיילור עבור x0=0,n=2 לא?

לא נראה לי... מאיפה אנחנו יודעים איך השארית משפיעה?

שאלה

אם אני רוצה לחשב את סכום הטור : [math]\displaystyle{ \sum _{n=1}^\infty \frac{1}{2^n n} }[/math] , אבל כשאני מפרק אותו לאינטגרל לפי רימן (חלוקה של [math]\displaystyle{ \frac{1}{n} }[/math] ) אז אני מקבל שזה שווה לאינטגרל: [math]\displaystyle{ \int _0 ^\infty \frac{1}{2^x}dx }[/math] וזה יוצא [math]\displaystyle{ \frac{1}{\ln(2)} }[/math] , למרות שהסכום לפי מה שבדקתי אמור לצאת [math]\displaystyle{ \ln(2) }[/math] . איפה הטעות שלי? אני מניח שהיא איפה שהמרתי סכום לאינטגרל לא אמיתי... איך אפשר לחשב את זה בכל מקרה?

תשובה

קודם כל אין פה כלל חלוקת רימן (שכן המרחק בין נקודות הדגימה הוא אספוננציאלי עולה, ואילו האורכים הולכים ויורדים לאפס). אפילו אם הייתה, זו חלוקה אינסופית אחת ולא גבול של חלוקות.

פותרים את זה בדיוק כפי שפתרנו אתמול בכיתה. נגדיר [math]\displaystyle{ S(x)=\sum \frac{1}{n}x^n }[/math] קל לראות שרדיוס ההתכנסות הוא אחד ולכן זה טור חזקות שמתכנס במ"ש בסביבה של חצי. ברור שסכום הטור שמעניין אותנו הוא [math]\displaystyle{ S(\frac{1}{2}) }[/math]. מכיוון שההתכנסות היא במ"ש מותר לגזור איבר איבר ולקבל [math]\displaystyle{ S'(x)=\sum x^{n-1} = \frac{1}{1-x} }[/math].

לכן [math]\displaystyle{ S(x)=\int_0^x S'(t)dt=-ln(1-x) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ S(\frac{1}{2})=-ln(\frac{1}{2})=ln2 }[/math]

עד כדי טעות...

הערה: זה תרגיל נחמד שנותן לנו נוסחא לחישוב lnx עם דיוק אספוננטציאלי עבור x>1 (עבור x>1 ניקח את [math]\displaystyle{ -ln(\frac{1}{x}) }[/math]). 
הנוסחא [math]\displaystyle{ ln(x)=-ln(\frac{1}{x})=-ln(1-\frac{x-1}{x})=S(\frac{x-1}{x})=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}(\frac{x-1}{x})^n }[/math]

שאלה

יהי [math]\displaystyle{ \sum _{n=1}^\infty a_n }[/math] טור חיובי מתכנס, ו- [math]\displaystyle{ f_n (x) }[/math] סדרת פונקציות, כך שלכל n טבעי מתקיים: [math]\displaystyle{ |f_{n+1}(x)-f_n(x)|\lt a_n }[/math] . הוכח או הפרך : [math]\displaystyle{ f_n }[/math] מתכנסת במידה שווה.

אני מתקשה להבין את הבעייה של ההתכנסות במ"ש במקרה הזה... אז אחרי שלא הצלחתי להפריך, ניסיתי להוכיח, וראיתי שזה קרוב יותר לקריטריון של קושי להתכנסות במ"ש, אז מספיק להראות שאם לכל k יש n טבעי שעבורו [math]\displaystyle{ |f_{n+1}(x)-f_n(x)|\lt k }[/math], אז גם נובע שלכל m>n מתקיים התנאי של קושי, אבל זה בדיוק מה שאני לא מצליח להראות... איך אני יכול להפריך ע"י מציאת סדרת פונקציות שהפרש של כל פונקציות קרובות שואף לאפס, אבל כשה-n גדל הפונקציות החדשות שנוצרות רחוקות יותר עד כדי חוסר התכנסות במידה שווה או אפילו חוסר התכנסות?

תשובה

זה תרגיל מאינפי 1 בתכלס. [math]\displaystyle{ |f_m-f_n|=|f_m-f_{m-1}+f_{m-1}-....+f_{n+1}-f_n|\leq a_m+...+a_n }[/math]

אבל לפי תנאי קושי להתכנסות טורים הצד הימני קטן מאפסילון.

אהההה, הבנתי, וזה מתקיים עבור n,m גדולים מספיק (כלומר שגדולים מ-n0 התחלתי)... יפה! הייתי צריך לנסות לקשר את זה לסכום הטור... תודה רבה :) !!!

שאלה

אני מוכרח להבין, מה בעצם המשמעות של "התכנסות במידה שווה" של סדרת פונקציות? ז"א, מה המשמעות הגרפית של זה, בלי שימוש באפסילון וכ'ו? מה בעצם ה"מידה שווה" כאן?