אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

[math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow\infty}f_n }[/math]

הוראות

כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על [עריכה] (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:

== כותרת לשאלה ==

לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על שמירה למטה מימין

ארכיון

ארכיון 1 - תרגיל 1 ו2

ארכיון 2 - תרגיל 3

ארכיון 3 - תרגיל 3

ארכיון 4 - תרגיל 4

ארכיון 5 - תרגיל 4,5

ארכיון 6 - תרגיל 6

ארכיון 7 - (מי עוקב)

ארכיון 8

ארכיון 9 - לקראת הבוחן

ארכיון 10 - פוסט בוחן

ארכיון 11 - תרגיל 9

ארכיון 12 - תרגיל 9

ארכיון 13 - תרגיל 10

ארכיון 14 - תרגיל 10

ארכיון 15 - תרגיל 10

ארכיון 16 - לקראת המבחן

סיכום

מצורף סיכום ממש טוב של כל המשפטים שנלמדו בקורס... תהנו!! (קרדיט ליותם ברקוביץ'): סיכום

ארז - אתה יכול בבקשה לשים אותו בדף הראשי? תודה...

שאלה

איך מוכיחים התכנסות של האינטגרל מ-0 עד 1 של [math]\displaystyle{ ln^a(x) }[/math] עבור a חיובי?

(לא תומר/ארז)עבור a חיובי? זה נשמע קצת מוזר, כי ln(x) הוא שלילי בתחום הזה, ואם למשל נבחר a=0.5 כל הפונק' לא תהיה מוגדרת בתחום הזה..

עבור a>=1, אפשר להשוות את הערך המוחלט בחזקת אלפא עם הערך המוחלט עצמו (קטן שווה ממנו), ואז בגלל ש|lnx| מתכנס ב[0,1] (לפי אינטגרציה בחלקים פשוטה), גם שלנו מתכנס

שאלה

תהא [math]\displaystyle{ f_n }[/math] סדרת פונקציות רציפות על [0,1] שמקיימות [math]\displaystyle{ f_n(0)=0 }[/math] לכל n, ותהי f רציפה על [0,1] המקיימת את אותו התנאי. אם האינטגרל מ-0 ל-x של [math]\displaystyle{ f_n }[/math] מתכנס לאינטגרל מ-0 ל-x של f במ"ש ב-[0,1], הוכח או הפרך : [math]\displaystyle{ f_n }[/math] מתכנס ל-f בקטע [0,1].

(לא ארז/תומר) הפרכה, תיקח fn(x)= x^n ו f=0 כל התנאים מתקיימים אבל fn לא מתכנסת לf בקטע.

יפה, תודה רבה!

שאלה

הרגע גיליתי משהו שזעזע אותי - למה [math]\displaystyle{ \frac{e^{4n}}{n!} \rightarrow 0 }[/math] ?

(לא ארז/תומר) תנסה את מבחן דלאמבר לסדרות. מקבלים ביטוי ששואף לאפס, בפרט קטן מאחד החל מ-N0 מסי\ויים, ומכאן שהסדרה אכן שואפת לאפס!

למה זה מפתיע? למעלה יש לך e^4 (קבוע) בחזקת n ולמטה יש n!. שניהם זה מכפלה של n איברים. כאשר n גדול הרבה יותר מe^4 הביטוי למטה גדול יותר.

שאלה

אם יש לי פונקציה שהיא מנה/מכפלה של שתי פונקציות שאני יודע לפתח לטור חזקות. האם אפשר לפתח כל אחת מהם בנפרד ואז להכפיל/לחלק את האיבר הכללי? מה קורה לx^n במקרה זה? הכוונה שלי לפונקציות כמו: f=ln(1+x)/(1+x) w את הלאן ואת 1+x אני יודע לפתח לטור חזקות, האם במקרה זה האיבר הan של f בטור שווה לחילוק האיברים an בשני הפיתוחים?

תשובה

לא. חלוקה וכפל של טורים אינה חלוקה וכפל איבר-איבר

המשך השאלה

אז איך כן מפתחים את הפונקציה הזו לטור חזקות? הגעתי למצב שאני צריך לפתח את ln^2(1+x) לטור חזקות, אבל כמו שאמרת, מכפלה של טורים זה לא מכפלה איבר איבר..

תומר - יש בתורת טורי החזקות משפטים שמתייחסים למכפלת טורים , שאותם לא למדתם (זה לא שונה ממכפלת פולינומים - רק שכאן יש אינסוף מקדמים ויש להתייחס לשאלת ההתכנסות של הטור שמתקבל ...) פונקציה כזו היא "קלאסית " ליישום אחד המשפטים . מעבר לזה - אפשר לנסות למצוא נוסחא שנותנת נגזרת מסדר n - זה יוצא ארוך , אבל אם מציבים אפס (טור מקלוריין ) אפשר לנסות להשתמש בה . אבל שוב - הדרך לפתח טורים ספציפיים כאלו - ( שלא ניתן למשל למצוא איזה טור הנדסי אינסופי כמו שראינו בכיתה) היא בעזרת משפטי המכפלה .

אז דבר כזה לא יכול להופיע במבחן?

תומר - רק מבחן יש לכם בראש ? (יש מונדיאל :) - אפשר להניח שדבר כזה לא ישאלו אתכם - ומה שיכולים לשאול זה משהו שבזמן סביר ניתן לפיתוח( או על ידי זיהוי אפשרות להגעה לסידרה הנדסית כמו שעשינו בשיעור היום ...)

תזכורת לארז

היי ארז, בשיעור החזרה היום ביקשת ממני להזכיר לך לבדוק את ההוכחה שלכם לתרגיל האחרון בקובץ החזרה של תומר. בקשר להתייחסות לגבול העליון/התחתון כאל גבול ממש, והטענה שמשהו מתקיים לכל n גדול מ-N. תודה.

תשובה

מה שרשום שם הוא כך: נניח והגבול העליון הוא L. לכל x>L קיים n_0 כך שלכל n>n_0 הסדרה קטנה מx. זה נכון, כי L הוא הגבול העליון. אם תמיד היה איבר בסדרה שגדול מx אז היה גבול חלקי גדול או שווה לx שגדול ממש מL בסתירה.

סבבה, תודה :]

שאלה

אם אני רוצה לפתח לטור חזקות את הפונקציה cos(x)/x . מותר לי לפתח את cos(x) לטור חזקות ואז רק לחלק את x^n ב-x ולקבל x^n-1 והשאר לא משתנה, וזה הפיתוח של cos(x)/x לטור חזקות?

תשובה

(לא ארז/תומר) כן, מותר

המשך

זה לא עזר לי, אני מנסה לפתח לטור חזקות (שאלה ממבחן ) סביב 0 את הפונקציה f(x)= integral from 0 to x of 1-cos(t) / t^2 dt ניסיתי לעשות גזירה איבר איבר , אבל אין לי מושג איך להתקדם עם הביטוי שבתוך האינטגרל.

דבר נוסף- אני רוצה לדוגמא לפתח את הפונקציה f(x) =x^-2 . אני יכול להשתמש בסכום של סדרה הנדסית אבל אז אני מקבל (1-x^2) בחזקת n, שזה לא ממש סימפטי. יש דרך לעשות את זה יפה יותר?

תשובה

לגבי השאלה הראשונה - אתה גוזר את הפונקציה ומקבל [math]\displaystyle{ \frac{1-cosx}{x^2} }[/math] שזה שווה [math]\displaystyle{ \frac{1-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}}{x^2}= \frac{-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}}{x^2}= -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2(n-1)}}{(2n)!} }[/math]

(עד כדי טעות)

עכשיו צריך לעשות אינטגרציה איבר איבר לקבל את התוצאה הרצוייה

שאלה

האם יש אפשרות שמישהו יעלה את מה שעשו בתרגיל חזרה היום בבקשה?

שאלה

מישהו יודע מה המבנה של המבחן, אורך?

תומר - אני יודע ... (שאלת מי יודע :) ... יופי, אתה יכול לפרט?

לאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאא! :) די כבר עם הדברים השוליים האלו ! מה משנה מה מבנה המבחן ! התעסקו בלהתכונן ולא בחישובים טקטיים של מספר שאלות ... אתם צריכים להבין שאנחנו לא מורידים חומר לפי המבנה,כי איננו יודעים לפי מספר השאלות מה יהיה במבחן...... זה רק עוזר להגיע רגועים יותר,ובכל מוסד כלשהו נהוג לכל הפחות לפרסם את מבנה המבחן.... אם אתם לא מוכנים לפרסם היום,אז לכל הפחות בבקשה תפרסמו אותו ביום שלישי בלילה

תומר - שאלות על מבנה המבחן הפנו לרוני או מיכאל ... אני לא נכנס לפרטים שהם פשוט זניחים . אף אחד לא רוצה להכשיל או לתת מבחן קשה בכוונה - והמבנה של המבחן לא יגיד לכם כלום . עד כאן .

שאלה

צריך להפריך: אם (fn(x) היא סדרה מונטונית (הסדרה עצמה מונוטונית, לא הפונק', כלומר מונוטונית לפי n) של פונקציות רציפות המתכנסות נקודתית לפונק' f(x) בקטע I. אזי f(x) מונוטונית. יש למישהו דוגמה להפרכה?

[לא תומר/ארז] אולי הסדרה x^2 + 1/n המתכנסת נקודתית לx^2?

איך זה מפריך? פונק' הגבול היא x^2, מונוטונית.

קח את I להיות [1-,1] וזה לא

נכון, כל סדרה קבועה של פונקציה שאינה מונוטונית גם תקיים את זה (בדוגמא הזו פשוט מזיזים את כל הפונקציה למטה.)

שאלונת.

נניח והגדרנו את G(x) להיות האינטגרל של f מ0 ועד x.

האם זה מוגדר היטב עבור x<0? כלומר, זה שווה למינוס האינטגרל כאשר מחליפים את הגבולות, אבל האם בפונק' זו, ובכלל כשאני מגדירה פונק' קדומה לפונקציה אחרת (במידה והיא אינטגרבילית למשל בכל קטע סגור), מותר לי להכניס X שקטן מ0?

תומר - בעצם , אם לוקחים איזושהיא נקודה קבועה c בקטע , ומגדירים אינטגרל מסויים של פונקציה רציפה מ c כגבול תחתון , ל - x כגבול עליון - נקבל , שהפונקציה הזו היא קדומה של הפונקציה באיטגרנד ! (הסתכלו על ההוכחה ותראו שאפשר לעשות התאמה כזו ...)

אז לא ממש הבנתי.. כן מותר להציב x<0?

תומר - מותר להציב כל x - בין היתר קטן מ c

השאלה היא אם f אינטגרבילית גם בשליליים. אם כן, האינטגרל מאפס עד x שלילי הוא פשוט מינוס האינטגרל מx עד 0 (כמו שאמרת) ולכן זה בוודאי מוגדר היטב.

תומר - שאלת וענית בעצמך ! אני הוספתי שאפשר למצוא קדומה לפונקציה רציפה כאשר האינטגרל מהמשפט היסודי של החוודא מוגדר גם כאשר ה-x כגבול עליון , בעצם קטן יותר מהגבול התחתון ! כמובן כאשר הגבול התחתון זו נקודה פנימית בקטע כך שיש סביבה שלה שמוכלת כולה בקטע !

שאלה

לא צריך לדעת לשנן משפטים לפי נוסח מדויק, נכון? לא יבקשו מאיתנו 'לצטט במדויק את המשפט היסודי של החדו"א...'

תומר - לגבי הוכחת המשפטים עצמם - לזה כבר התייחסו המרצים . אבל נוסח משפט - ברור שחייבים לדעת ! אחרת איך תדעו האם בכלל אתם יכולים להשתמש במשפט ?

שאלה

איך מראים שהטור מ-n=1 עד אינסוף של sin(nx) מתבדר?

תומר - האם האיבר הכללי בטור , עבור x קבוע (וכמובן שונה מכפולות של פאי ...) שואף לאפס ? זו שאלה שמזכירה אינפי 1 . האם הגבול של הסידרה sinnx שואף לאפס ? וביתר כלליות - האם בכלל קיים גבול לסידרה זו ?

חישבו על זה קצת - ואם אראה שבעייתי - אצרף פיתרון . נסו להשתמש בנוסחאות טריגונומטריות :

sin(n+1)x-sin(n-1)x=2cos(nx)*sinx (הפרש סינוסים ...) , ובסינוס זווית כפולה : sin2nx=2sinnx*cosnx ...

עוד תרגיל

תהי סדרת פונקציות מונוטוניות מתכנסת. הוכח/הפרך: פונקצית הגבול הינה מונוטונית