הבדלים בין גרסאות בדף "חקירת פונקציות"
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) |
אחיה בר-און (שיחה | תרומות) |
||
שורה 14: | שורה 14: | ||
[[מדיה : infi2FuncInvestigationAddional1.pdf | הסברים ותרגילים על חקירת פונקציות]] | [[מדיה : infi2FuncInvestigationAddional1.pdf | הסברים ותרגילים על חקירת פונקציות]] | ||
+ | |||
+ | == תרגילים == | ||
+ | ===דוגמא מספר 1 - f(x)=x^{2}-6x+5 === | ||
+ | |||
+ | |||
+ | תחום הגדרה | ||
+ | |||
+ | הגדרה: <math>תהא f(x)</math> | ||
+ | פונקציה. תחום ההגדרה של <math>f(x)</math> | ||
+ | היא A- אוסף כל הנקודות בהם <math>f(x)</math> מוגדרת | ||
+ | |||
+ | דוגמא: תחום ההגדרה של <math>f(x)</math> הוא כל הישר <math>\mathbb{R}</math> | ||
+ | |||
+ | ====זוגיות/אי זוגיות==== | ||
+ | |||
+ | הגדרה: <math>f(x)</math> תקרא '''זוגית''' אם <math>f(x)=f(-x)</math> | ||
+ | הגדרה: <math>f(x)</math> תקרא אי זוגית אם <math>f(x)=-f(-x)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | דוגמא: <math>f(-x)=x^{2}+6x+5\not=\,\pm\, f(x)</math> ולכן <math>f(x)</math> | ||
+ | אינה זוגית ואינה אי זוגית | ||
+ | |||
+ | ====חיתוך עם הצירים==== | ||
+ | |||
+ | החיתוך עם ציר x הן הנקודות <math>(1,0).(5.0)</math> | ||
+ | |||
+ | החיתוך עם ציר y היא הנקודה <math>(0,5)</math> | ||
+ | |||
+ | ====נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה==== | ||
+ | |||
+ | הגדרה: תהא <math>f(x)</math>פונקציה. נאמר ש <math>f(x)</math> עולה (יורדת) בתחום <math>U</math> | ||
+ | אם <math>\forall x<y\in U:\, f(x)\leq f(y)</math> | ||
+ | (<math>\forall x<y\in U:\, f(x)\geq f(y)</math>) | ||
+ | |||
+ | הגדרה: תהא <math>f(x)</math> | ||
+ | פונקציה. <math>x_{0}</math> | ||
+ | תקרא נקודת קיצון- מקס' (או מינ') אם קיימת לה סביבה <math>U</math> | ||
+ | כך ש <math>\forall x\in U:f(x)\leq f(x_{0})</math> | ||
+ | (או <math>\forall x\in U:f(x)\geq f(x_{0})</math> ) | ||
+ | |||
+ | משפט: אם <math>f(x)</math> | ||
+ | גזירה בנקודת קיצון <math>x_{0}</math> | ||
+ | אזי <math>f'(x_{0})=0</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | מסקנה: בשביל למצוא נקודות קיצון של <math>f(x)</math> | ||
+ | מספיק לבדוק מתי <math>f'(x)=0</math> | ||
+ | או מתי הנגזרת אינה קיימת כלל. | ||
+ | |||
+ | דוגמא - נמצא את הנקודות האפשריות לנקודות קיצון ל <math>f(x)</math>: | ||
+ | |||
+ | <math>f'(x)=2x-6</math> ולכן הנקודה החשודה היחידה היא <math>x_{0}=3</math> | ||
+ | |||
+ | ====מקס' או מיני'==== | ||
+ | |||
+ | איך יודעים אם מדובר בנקודות קיצון ואם מדובר בקיצון מקס' או בקיצון מיני'? | ||
+ | |||
+ | *בדיקת הפונצקיה עצמה- הנקודות החשודות מחלקות את הישר לקטעים. נציב בכל קטע נקודה ונבדוק מה מתקבל:למשל נציב <math>f(0)=5\,,f(3)=-4,f(6)=5</math> | ||
+ | ולכן 3 נקודת מיני הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הפונצקיה היתה מחליפה מיקום )ביחס לנקודות החשודות( איפה שהוא אזי היתה נוצרת נקו' קיצון ואז היינו מגלים אותה בשלב הקודם. | ||
+ | |||
+ | *בדיקת ערכי הנגזרת- נבדוק את סימן הנגזרת מימין ומשמאל לנקודות ( | ||
+ | מסתמך על העובדה כי : אם <math>f'(x)\leq0</math> בקטע I | ||
+ | אזי הפונקציה יורדת שם. אם <math>f'(x)\geq0</math> אז הפונקציה עולה שם): | ||
+ | <math>f'(0)<0\,,f'(4)>0</math> | ||
+ | ולכן משמאל ל 3 | ||
+ | הפונקציה יורדת ומימין ל 3 | ||
+ | היא עולה ולכן 3 | ||
+ | נקודות מיני'הערה: בשלב זה מצב כי תחום העליה של <math>f</math> | ||
+ | הוא <math>[3.\infty)</math> | ||
+ | ותחום הירידה <math>(-\infty,3]</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הנגזרת היתה מחליפה איפה שהוא את סימנה אזי היתה נוצרת נקו' קיצון ואז היינו מגלים אותה בשלב הקודם. | ||
+ | |||
+ | *מבחן הנגזרת השניה- אם <math>f'(x_{0})=0</math> | ||
+ | ומתקיים <math>f"(x_{0})>0</math> | ||
+ | (או <math>f"(x)<0</math> ) | ||
+ | אז <math>x_{0}</math> נקודות מיני' (או מקס'): | ||
+ | |||
+ | אצלנו <math>f"(x)=2</math> ולכן <math>f"(2)>0</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ====תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול==== | ||
+ | |||
+ | תהא <math>f(x)</math> גזירה בנקודה <math>x_{0}</math> | ||
+ | אזי נאמר שהפונצקיה קעורה כלפי מעלה (כלפי מטה) ב <math>x_{0}</math> | ||
+ | אם קיימת סביבה <math>U</math>של <math>x_{0}</math> | ||
+ | כך שלכל <math>x\in U</math> מתקיים: | ||
+ | |||
+ | <math>f(x)\geq f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})</math> | ||
+ | |||
+ | (<math>f(x)\leq f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})</math>) | ||
+ | |||
+ | |||
+ | נאמר ש <math>x_{0}</math> נקודת פיתול אם קיימת סביבה <math>U</math> | ||
+ | ימנית בה <math>f(x)\geq f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})</math> | ||
+ | וסביבה שמאלית <math>V</math> | ||
+ | בה <math>f(x)\leq f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})</math> | ||
+ | או להיפך. | ||
+ | |||
+ | משפט: <math>f"(x_{0})>0</math> | ||
+ | <math>(f"(x_{0})<0)</math> | ||
+ | אז <math>f(x)</math> | ||
+ | קעורה כלפי מעלה (כלפי מטה) ב-<math>x_{0}</math> | ||
+ | . | ||
+ | |||
+ | משפט: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם <math>f"(x)</math> | ||
+ | אינה קיימת או ש <math>f"(x)=0</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | דוגמא: f"(x)=2 | ||
+ | ולכן אין נקודות פיתול והפונקציה קעורה כלפי מעלה בכל הישר. | ||
+ | |||
+ | אסימטוטות | ||
+ | |||
+ | הגדרה: אסימטוטה אנכית ל f(x) | ||
+ | היא קו מהצורה x=a | ||
+ | כך שמתקיים lim_{x\to a}|f(x)|=\infty | ||
+ | . | ||
+ | |||
+ | אצלנו אין אסימטוטה אנכית. | ||
+ | |||
+ | הגדרה: אסימטוטה אופקית היא ישר l(x)=ax+b | ||
+ | המקיים lim_{x\to\infty}|f(x)-l(x)|=0 | ||
+ | או lim_{x\to-\infty}|f(x)-l(x)|=0 | ||
+ | |||
+ | |||
+ | איך מוצאים ? מתקיים | ||
+ | |||
+ | a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x} | ||
+ | ואז | ||
+ | |||
+ | b=lim_{x\to\infty}(f(x)-ax) | ||
+ | |||
+ | |||
+ | דוגמא- אצלנו: | ||
+ | |||
+ | a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}-6x+5}{x}=\infty | ||
+ | ולכן אין אסימטוטה אופקית | ||
+ | |||
+ | התנהגות הפונצקיה באינסוף | ||
+ | |||
+ | עבור הדוגמא שלנו lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\infty | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ציור הפונקציה | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | דוגמא 2: f(x)=\frac{\ln(x)}{x} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | תחום הגדרה | ||
+ | |||
+ | x>0 | ||
+ | כי \ln(x) | ||
+ | לא מוגדרת עבור x | ||
+ | -ים שליליים. | ||
+ | |||
+ | זוגיות/אי זוגיות | ||
+ | |||
+ | לא שייך בגלל תחום ההגדרה. | ||
+ | |||
+ | חיתוך עם הצירים | ||
+ | |||
+ | החיתוך עם ציר x | ||
+ | הוא (1,0) | ||
+ | |||
+ | |||
+ | החיתוך עם ציר y | ||
+ | לא קיים בגלל תחום ההגדרה | ||
+ | |||
+ | נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה | ||
+ | |||
+ | f'(x)=\frac{1-\ln(x)}{x^{2}} | ||
+ | ולכן יש לה נקודה חשודה ב x=e | ||
+ | . | ||
+ | |||
+ | הסימן של f" | ||
+ | נקבע ע"י -x-2x(1-\ln(x))=-x(3-2\ln(x)) | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ,f(e)<0 | ||
+ | ולכן זוהי נקודת מקס' | ||
+ | |||
+ | תחומי העלייה של הפונקציה \left(0,e\right) | ||
+ | |||
+ | |||
+ | תחומי ירידה \left(e,\infty\right) | ||
+ | |||
+ | |||
+ | תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול | ||
+ | |||
+ | הסימן של f" | ||
+ | נקבע ע"י -x(3-2\ln(x)) | ||
+ | ולכן נקודות חשודות לפיתול הם e^{3/2} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | f"(e)<0,f"(e^{4})>0 | ||
+ | ולכן e^{3/2}\approx10 | ||
+ | נקודת פיתול | ||
+ | |||
+ | הפונקציה קעורה כלפי מטה ב \left(0,e^{3/2}\right) | ||
+ | |||
+ | |||
+ | הפונצקיה קעורה כלפי מעלה ב \left(e^{3/2},\infty\right) | ||
+ | |||
+ | |||
+ | אסימטוטות | ||
+ | |||
+ | אסימטוטה אנכית ב x=0 | ||
+ | כיוון ש \lim_{x\to0^{+}}f(x)=-\infty | ||
+ | |||
+ | |||
+ | אסימטוטה אופקית: | ||
+ | |||
+ | a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x^{2}}=lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x}}{2x}=0 | ||
+ | |||
+ | |||
+ | b=lim_{x\to\infty}(f(x)-ax)=lim_{x\to}\frac{\ln(x)}{x}=0 | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ולכן l(x)=0 | ||
+ | אסימטוטה אופקית | ||
+ | |||
+ | התנהגות הפונצקיה באינסוף | ||
+ | |||
+ | עבור הדוגמא שלנו lim_{x\to\infty}f(x)=0 | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ציור הפונקציה | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | דוגמא 3: f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | תחום הגדרה | ||
+ | |||
+ | תחום ההגדרה של הוא x\not=\pm\sqrt{12} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | זוגיות/אי זוגיות | ||
+ | |||
+ | f(-x)=\frac{-x^{3}}{12-x^{2}}=-f(x) | ||
+ | ולכן f(x) | ||
+ | אי זוגית | ||
+ | |||
+ | נקודות קיצון | ||
+ | |||
+ | f'(x)=\frac{3x^{2}(12-x^{2})+2x^{4}}{(12-x^{2})^{2}}=\frac{x^{2}(36-x^{2})}{(12-x^{2})^{2}} | ||
+ | ולכן הנקודות החשודות הן x_{0}=0,\pm6,\pm\sqrt{12} | ||
+ | )נשים לב שהנקודות \pm\sqrt{12}=\pm3.464 | ||
+ | אינן נקודות קיצון כי אינן בתחום ההגדרה(. | ||
+ | |||
+ | מקס' או מיני' | ||
+ | |||
+ | איך יודעים אם מדובר בנקודות קיצון ואם מדובר בקיצון מקס' או בקיצון מיני'? | ||
+ | |||
+ | .1 בדיקת הפונצקיה עצמה- הנקודות החשודות מחלקות את הישר לקטעים. נציב בכל קטע נקודה ונבדוק מה מתקבל:למשל נציב f(-7)=9.27,f(-6)=9,f(-4)=16,f(-1)=-0.09,f(0)=0,f(1)=0.09,f(4)=-16,f(6)=-9,f(7)=-9.27 | ||
+ | ולכן 0 | ||
+ | אינה נקודת קיצון, -6 | ||
+ | נקודת מיני ו 6 | ||
+ | נקודות מקס'הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הפונצקיה היתה מחליפה מיקום )ביחס לנקודות החשודות( איפה שהוא אזי היתה נוצרת נקו' קיצון ואז היינו מגלים אותה בשלב הקודם. | ||
+ | |||
+ | .2 בדיקת ערכי הנגזרת- נבדוק את סימן הנגזרת מימין ומשמאל לנקודות )מסתמך על העובדה כי : אם f'(x)\leq0 | ||
+ | בקטע I | ||
+ | אזי הפונקציה יורדת שם. אם f'(x)\geq0 | ||
+ | אז הפונצקיה עולה שם(: נשים לב שסימן הנגזרת נקבע לפי החלק של 36-x^{2} | ||
+ | f'(-7)<0,f'(-6)=0,f'(-4)>0,f'(-1)>0,f'(0)=0,f'(1)>0,f'(4)>-,f'(6)=0,f'(7)<0 | ||
+ | ולכן מימין ל -6 | ||
+ | הפונקציה יורדת ומימין ל -6 | ||
+ | היא עולה ולכן -6 | ||
+ | נקודות מיני' וכו' | ||
+ | |||
+ | הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הנגזרת היתה מחליפה איפה שהוא את סימנה אזי היתה נוצרת נקו' קיצון ואז היינו מגלים אותה בשלב הקודם. | ||
+ | |||
+ | .3 מבחן הנגזרת השניה- אם f'(x_{0})=0 | ||
+ | ומתקיים f"(x_{0})>0 | ||
+ | )או f"(x)<0 | ||
+ | ( אז x_{0} | ||
+ | נקודות מיני' )או מקס'(: הסימן של הנגזרת השניה בנקודה x | ||
+ | הוא (72x-4x^{3})(12-x^{2})^{2}+4x(12-x^{2})x^{2}(36-x^{2}) = x(12-x^{2})[(72-4x^{2})(12-x^{2})+4x^{2}(36-x^{2})] | ||
+ | = x(12-x^{2})[72\cdot12+24x^{2}] | ||
+ | = 24x(12-x^{2})[36+x^{2}] | ||
+ | f"(6)<0,f"(-6)>0 | ||
+ | f"(0)=0 | ||
+ | ולכן לא ניתן לדעת לפי בדיקה זאת! | ||
+ | |||
+ | תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול | ||
+ | |||
+ | דוגמא: f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}} | ||
+ | אזי f'(x)=\frac{3x^{2}(12-x^{2})+2x^{4}}{(12-x^{2})^{2}}=\frac{x^{2}(36-x^{2})}{(12-x^{2})^{2}} | ||
+ | ו f"(x)=\frac{24x(12-x^{2})[36+x^{2}]}{(12-x^{2})^{4}} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | הנקודות החשודות לפיתלול הם 0,\pm\sqrt{12} | ||
+ | הסימן של f"(x) | ||
+ | נקבע לפי החלק x(12-x^{2}) | ||
+ | |||
+ | |||
+ | נבדוק f"(-4)>0,f"(-1)<0,f(0)=0,f(1)>0,f(4)<0 | ||
+ | . ומכאן מסיקים כי | ||
+ | |||
+ | בקטע (-\infty,-\sqrt{12}) | ||
+ | הפונצקיה קעורה כלפי מעלה | ||
+ | |||
+ | בקטע (-\sqrt{12},0) | ||
+ | הפונצקיה קעורה כלפי מטה | ||
+ | |||
+ | בקטע (0,\sqrt{12}) | ||
+ | הפונצקיה קעורה כלפי מעלה | ||
+ | |||
+ | בקטע (\sqrt{12},\infty) | ||
+ | הפונצקיה קעורה כלפי מטה | ||
+ | |||
+ | ובנקודה 0 | ||
+ | יש נקודות פיתול )כי הנגזרת השניה שלילית עד אליה וחיובית ממנה( | ||
+ | |||
+ | אסימטוטות | ||
+ | |||
+ | הגדרה: אסימטוטה אנכית ל f(x) | ||
+ | היא קו מהצורה x=a | ||
+ | כך שמתקיים lim_{x\to a}|f(x)|=\infty | ||
+ | . | ||
+ | |||
+ | דוגמא f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}} | ||
+ | יש 2 אסימטוטות אנכיות ב x=\pm\sqrt{12} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | כי lim_{x\to-\sqrt{12}^{+}}f(x)=lim_{x\to\sqrt{12}^{+}}f(x)=-\infty | ||
+ | |||
+ | |||
+ | lim_{x\to-\sqrt{12}^{-}}f(x)=lim_{x\to\sqrt{12}^{-}}f(x)=\infty | ||
+ | |||
+ | |||
+ | הגדרה: אסימטוטה אופקית היא ישר l(x)=ax+b | ||
+ | המקיים lim_{x\to\infty}|f(x)-l(x)|=0 | ||
+ | או lim_{x\to-\infty}|f(x)-l(x)|=0 | ||
+ | |||
+ | |||
+ | מתקיים a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x} | ||
+ | ואז b=lim_{x\to\infty}(f(x)-ax) | ||
+ | |||
+ | |||
+ | דוגמא: f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}} | ||
+ | נמצא אסימטוטות: | ||
+ | |||
+ | a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}}{x(12-x^{2})}=-1 | ||
+ | |||
+ | |||
+ | b=lim_{x\to\infty}(\frac{x^{3}}{12-x^{2}}+x)=lim_{x\to\infty}(\frac{12x}{12-x^{2}})=0 | ||
+ | |||
+ | |||
+ | באותו אופן גם אסימטוטה לכיוון x\to-\infty | ||
+ | תצא אותו דבר. | ||
+ | |||
+ | ולכן l(x)=-x | ||
+ | אסימטוטה אנכית | ||
+ | |||
+ | התנהגות הפונצקיה באינסוף | ||
+ | |||
+ | עבור הדוגמא שלנו lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}}{12-x^{2}}=-\infty,lim_{x\to-\infty}\frac{x^{3}}{12-x^{2}}=\infty | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ציור הפונקציה | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | משפטים לסיכום | ||
+ | |||
+ | .1 אם f(x) | ||
+ | גזירה בנקודת קיצון x_{0} | ||
+ | אזי f'(x_{0})=0 | ||
+ | |||
+ | |||
+ | .2 מבחן הנגזרת השניה- אם f'(x_{0})=0 | ||
+ | ומתקיים f"(x_{0})>0 | ||
+ | )או f"(x)<0 | ||
+ | ( אז x_{0} | ||
+ | נקודות מיני' )או מקס'( | ||
+ | |||
+ | .3 אם f'(x)\leq0 | ||
+ | בקטע I | ||
+ | אזי הפונקציה יורדת שם. אם f'(x)\geq0 | ||
+ | אז הפונקציה עולה שם | ||
+ | |||
+ | .4 אם f"(x_{0})>0 | ||
+ | )f"(x_{0})<0 | ||
+ | ( אז f(x) | ||
+ | קעורה כלפי מעלה )כלפי מטה( ב-x_{0} | ||
+ | .מסקנה: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם f"(x) | ||
+ | אינה קיימת או ש f"(x)=0 |
גרסה מ־15:03, 2 במרץ 2014
נושא חקירת פונקציות בקורס חשבון אינפיניטיסימלי כוללת מחקר סט תכונות מוסכם (פחות או יותר):
- תחום הגדרה (קביעה באילו נקודות הפונקציה מוגדרת)
- זוגיות (קביעה האם הפונקציה זוגית, אי-זוגית או לא)
- תחומי מונוטוניות ומציאת נקודות קיצון
- תחומי קמירות ומציאת נקודות פיתול
- אסימפטוטות מאונכות
- נקודות חיתוך עם הצירים
- אסימפטוטות משופעות ומציאת התנהגות באינסוף
- תרפיה בתרשים- ציור גרף הפונקציה
הסברים ותרגילים על חקירת פונקציות
תוכן עניינים
תרגילים
דוגמא מספר 1 - f(x)=x^{2}-6x+5
תחום הגדרה
הגדרה: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): תהא f(x)
פונקציה. תחום ההגדרה של היא A- אוסף כל הנקודות בהם מוגדרת
דוגמא: תחום ההגדרה של הוא כל הישר
זוגיות/אי זוגיות
הגדרה: תקרא זוגית אם הגדרה: תקרא אי זוגית אם
דוגמא: ולכן
אינה זוגית ואינה אי זוגית
חיתוך עם הצירים
החיתוך עם ציר x הן הנקודות
החיתוך עם ציר y היא הנקודה
נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה
הגדרה: תהא פונקציה. נאמר ש עולה (יורדת) בתחום אם ()
הגדרה: תהא פונקציה. תקרא נקודת קיצון- מקס' (או מינ') אם קיימת לה סביבה כך ש (או )
משפט: אם גזירה בנקודת קיצון אזי
מסקנה: בשביל למצוא נקודות קיצון של
מספיק לבדוק מתי
או מתי הנגזרת אינה קיימת כלל.
דוגמא - נמצא את הנקודות האפשריות לנקודות קיצון ל :
ולכן הנקודה החשודה היחידה היא
מקס' או מיני'
איך יודעים אם מדובר בנקודות קיצון ואם מדובר בקיצון מקס' או בקיצון מיני'?
- בדיקת הפונצקיה עצמה- הנקודות החשודות מחלקות את הישר לקטעים. נציב בכל קטע נקודה ונבדוק מה מתקבל:למשל נציב
ולכן 3 נקודת מיני הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הפונצקיה היתה מחליפה מיקום )ביחס לנקודות החשודות( איפה שהוא אזי היתה נוצרת נקו' קיצון ואז היינו מגלים אותה בשלב הקודם.
- בדיקת ערכי הנגזרת- נבדוק את סימן הנגזרת מימין ומשמאל לנקודות (
מסתמך על העובדה כי : אם בקטע I אזי הפונקציה יורדת שם. אם אז הפונקציה עולה שם): ולכן משמאל ל 3 הפונקציה יורדת ומימין ל 3 היא עולה ולכן 3 נקודות מיני'הערה: בשלב זה מצב כי תחום העליה של הוא ותחום הירידה
הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הנגזרת היתה מחליפה איפה שהוא את סימנה אזי היתה נוצרת נקו' קיצון ואז היינו מגלים אותה בשלב הקודם.
- מבחן הנגזרת השניה- אם
ומתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x_{0})>0
(או עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x)<0
)
אז נקודות מיני' (או מקס'):
אצלנו עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x)=2
ולכן עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(2)>0
תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול
תהא גזירה בנקודה אזי נאמר שהפונצקיה קעורה כלפי מעלה (כלפי מטה) ב אם קיימת סביבה של כך שלכל מתקיים:
()
נאמר ש נקודת פיתול אם קיימת סביבה
ימנית בה
וסביבה שמאלית
בה
או להיפך.
משפט: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x_{0})>0
עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): (f"(x_{0})<0)
אז קעורה כלפי מעלה (כלפי מטה) ב-
.
משפט: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x)
אינה קיימת או ש עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x)=0
דוגמא: f"(x)=2
ולכן אין נקודות פיתול והפונקציה קעורה כלפי מעלה בכל הישר.
אסימטוטות
הגדרה: אסימטוטה אנכית ל f(x)
היא קו מהצורה x=a כך שמתקיים lim_{x\to a}|f(x)|=\infty .
אצלנו אין אסימטוטה אנכית.
הגדרה: אסימטוטה אופקית היא ישר l(x)=ax+b
המקיים lim_{x\to\infty}|f(x)-l(x)|=0 או lim_{x\to-\infty}|f(x)-l(x)|=0
איך מוצאים ? מתקיים
a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}
ואז
b=lim_{x\to\infty}(f(x)-ax)
דוגמא- אצלנו:
a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}-6x+5}{x}=\infty
ולכן אין אסימטוטה אופקית
התנהגות הפונצקיה באינסוף
עבור הדוגמא שלנו lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\infty
ציור הפונקציה
דוגמא 2: f(x)=\frac{\ln(x)}{x}
תחום הגדרה
x>0
כי \ln(x) לא מוגדרת עבור x -ים שליליים.
זוגיות/אי זוגיות
לא שייך בגלל תחום ההגדרה.
חיתוך עם הצירים
החיתוך עם ציר x
הוא (1,0)
החיתוך עם ציר y
לא קיים בגלל תחום ההגדרה
נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה
f'(x)=\frac{1-\ln(x)}{x^{2}}
ולכן יש לה נקודה חשודה ב x=e .
הסימן של f"
נקבע ע"י -x-2x(1-\ln(x))=-x(3-2\ln(x))
,f(e)<0
ולכן זוהי נקודת מקס'
תחומי העלייה של הפונקציה \left(0,e\right)
תחומי ירידה \left(e,\infty\right)
תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול
הסימן של f"
נקבע ע"י -x(3-2\ln(x)) ולכן נקודות חשודות לפיתול הם e^{3/2}
f"(e)<0,f"(e^{4})>0
ולכן e^{3/2}\approx10 נקודת פיתול
הפונקציה קעורה כלפי מטה ב \left(0,e^{3/2}\right)
הפונצקיה קעורה כלפי מעלה ב \left(e^{3/2},\infty\right)
אסימטוטות
אסימטוטה אנכית ב x=0
כיוון ש \lim_{x\to0^{+}}f(x)=-\infty
אסימטוטה אופקית:
a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x^{2}}=lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x}}{2x}=0
b=lim_{x\to\infty}(f(x)-ax)=lim_{x\to}\frac{\ln(x)}{x}=0
ולכן l(x)=0
אסימטוטה אופקית
התנהגות הפונצקיה באינסוף
עבור הדוגמא שלנו lim_{x\to\infty}f(x)=0
ציור הפונקציה
דוגמא 3: f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}}
תחום הגדרה
תחום ההגדרה של הוא x\not=\pm\sqrt{12}
זוגיות/אי זוגיות
f(-x)=\frac{-x^{3}}{12-x^{2}}=-f(x)
ולכן f(x) אי זוגית
נקודות קיצון
f'(x)=\frac{3x^{2}(12-x^{2})+2x^{4}}{(12-x^{2})^{2}}=\frac{x^{2}(36-x^{2})}{(12-x^{2})^{2}}
ולכן הנקודות החשודות הן x_{0}=0,\pm6,\pm\sqrt{12} )נשים לב שהנקודות \pm\sqrt{12}=\pm3.464 אינן נקודות קיצון כי אינן בתחום ההגדרה(.
מקס' או מיני'
איך יודעים אם מדובר בנקודות קיצון ואם מדובר בקיצון מקס' או בקיצון מיני'?
.1 בדיקת הפונצקיה עצמה- הנקודות החשודות מחלקות את הישר לקטעים. נציב בכל קטע נקודה ונבדוק מה מתקבל:למשל נציב f(-7)=9.27,f(-6)=9,f(-4)=16,f(-1)=-0.09,f(0)=0,f(1)=0.09,f(4)=-16,f(6)=-9,f(7)=-9.27
ולכן 0 אינה נקודת קיצון, -6 נקודת מיני ו 6 נקודות מקס'הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הפונצקיה היתה מחליפה מיקום )ביחס לנקודות החשודות( איפה שהוא אזי היתה נוצרת נקו' קיצון ואז היינו מגלים אותה בשלב הקודם.
.2 בדיקת ערכי הנגזרת- נבדוק את סימן הנגזרת מימין ומשמאל לנקודות )מסתמך על העובדה כי : אם f'(x)\leq0
בקטע I אזי הפונקציה יורדת שם. אם f'(x)\geq0 אז הפונצקיה עולה שם(: נשים לב שסימן הנגזרת נקבע לפי החלק של 36-x^{2} f'(-7)<0,f'(-6)=0,f'(-4)>0,f'(-1)>0,f'(0)=0,f'(1)>0,f'(4)>-,f'(6)=0,f'(7)<0 ולכן מימין ל -6 הפונקציה יורדת ומימין ל -6 היא עולה ולכן -6 נקודות מיני' וכו'
הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הנגזרת היתה מחליפה איפה שהוא את סימנה אזי היתה נוצרת נקו' קיצון ואז היינו מגלים אותה בשלב הקודם.
.3 מבחן הנגזרת השניה- אם f'(x_{0})=0
ומתקיים f"(x_{0})>0 )או f"(x)<0 ( אז x_{0} נקודות מיני' )או מקס'(: הסימן של הנגזרת השניה בנקודה x הוא (72x-4x^{3})(12-x^{2})^{2}+4x(12-x^{2})x^{2}(36-x^{2}) = x(12-x^{2})[(72-4x^{2})(12-x^{2})+4x^{2}(36-x^{2})]
= x(12-x^{2})[72\cdot12+24x^{2}] = 24x(12-x^{2})[36+x^{2}]
f"(6)<0,f"(-6)>0 f"(0)=0 ולכן לא ניתן לדעת לפי בדיקה זאת!
תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול
דוגמא: f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}}
אזי f'(x)=\frac{3x^{2}(12-x^{2})+2x^{4}}{(12-x^{2})^{2}}=\frac{x^{2}(36-x^{2})}{(12-x^{2})^{2}} ו f"(x)=\frac{24x(12-x^{2})[36+x^{2}]}{(12-x^{2})^{4}}
הנקודות החשודות לפיתלול הם 0,\pm\sqrt{12}
הסימן של f"(x) נקבע לפי החלק x(12-x^{2})
נבדוק f"(-4)>0,f"(-1)<0,f(0)=0,f(1)>0,f(4)<0
. ומכאן מסיקים כי
בקטע (-\infty,-\sqrt{12})
הפונצקיה קעורה כלפי מעלה
בקטע (-\sqrt{12},0)
הפונצקיה קעורה כלפי מטה
בקטע (0,\sqrt{12})
הפונצקיה קעורה כלפי מעלה
בקטע (\sqrt{12},\infty)
הפונצקיה קעורה כלפי מטה
ובנקודה 0
יש נקודות פיתול )כי הנגזרת השניה שלילית עד אליה וחיובית ממנה(
אסימטוטות
הגדרה: אסימטוטה אנכית ל f(x)
היא קו מהצורה x=a כך שמתקיים lim_{x\to a}|f(x)|=\infty .
דוגמא f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}}
יש 2 אסימטוטות אנכיות ב x=\pm\sqrt{12}
כי lim_{x\to-\sqrt{12}^{+}}f(x)=lim_{x\to\sqrt{12}^{+}}f(x)=-\infty
lim_{x\to-\sqrt{12}^{-}}f(x)=lim_{x\to\sqrt{12}^{-}}f(x)=\infty
הגדרה: אסימטוטה אופקית היא ישר l(x)=ax+b
המקיים lim_{x\to\infty}|f(x)-l(x)|=0 או lim_{x\to-\infty}|f(x)-l(x)|=0
מתקיים a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}
ואז b=lim_{x\to\infty}(f(x)-ax)
דוגמא: f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}}
נמצא אסימטוטות:
a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}}{x(12-x^{2})}=-1
b=lim_{x\to\infty}(\frac{x^{3}}{12-x^{2}}+x)=lim_{x\to\infty}(\frac{12x}{12-x^{2}})=0
באותו אופן גם אסימטוטה לכיוון x\to-\infty
תצא אותו דבר.
ולכן l(x)=-x
אסימטוטה אנכית
התנהגות הפונצקיה באינסוף
עבור הדוגמא שלנו lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}}{12-x^{2}}=-\infty,lim_{x\to-\infty}\frac{x^{3}}{12-x^{2}}=\infty
ציור הפונקציה
משפטים לסיכום
.1 אם f(x)
גזירה בנקודת קיצון x_{0} אזי f'(x_{0})=0
.2 מבחן הנגזרת השניה- אם f'(x_{0})=0
ומתקיים f"(x_{0})>0 )או f"(x)<0 ( אז x_{0} נקודות מיני' )או מקס'(
.3 אם f'(x)\leq0
בקטע I אזי הפונקציה יורדת שם. אם f'(x)\geq0 אז הפונקציה עולה שם
.4 אם f"(x_{0})>0
)f"(x_{0})<0 ( אז f(x) קעורה כלפי מעלה )כלפי מטה( ב-x_{0} .מסקנה: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם f"(x) אינה קיימת או ש f"(x)=0