ממד: הבדלים בין גרסאות בדף
(יצירת דף עם התוכן "ה'''ממד''' של מרחב וקטורי מוגדר כמספר האברים של בסיס למרחב. == עיונים בהגדרה == כדי שהממד...") |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) מאין תקציר עריכה |
||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
ה'''ממד''' של [[מרחב וקטורי]] מוגדר כמספר האברים של [[בסיס]] למרחב. | ה'''ממד''' של [[מרחב וקטורי]] מוגדר כמספר האברים של [[בסיס]] למרחב. | ||
== עיונים בהגדרה == | ==עיונים בהגדרה== | ||
כדי שהממד יהיה מוגדר היטב, יש לדעת שני דברים: | |||
כדי שהממד יהיה מוגדר היטב, יש לדעת שני דברים: | # לכל מרחב וקטורי יש בסיס. | ||
# לכל מרחב וקטורי יש בסיס. | |||
# לכל שני בסיסים יש אותו מספר אברים. | # לכל שני בסיסים יש אותו מספר אברים. | ||
העובדה הראשונה קלה אם למרחב יש [[קבוצה פורשת]] [[קבוצה סופית|סופית]], אבל המקרה הכללי הוא [[משפט המל]] השקול ל[[אקסיומת הבחירה]]. | העובדה הראשונה קלה אם למרחב יש [[קבוצה פורשת]] [[קבוצה סופית|סופית]], אבל המקרה הכללי הוא [[משפט המל]] השקול ל[[אקסיומת הבחירה]]. | ||
== תלות בשדה הבסיס == | ==תלות בשדה הבסיס== | ||
הממד של מרחב וקטורי תלוי בשדה הבסיס. לדוגמא, את [[שדה המספרים המרוכבים]] <math>\C</math> אפשר לראות כמרחב וקטורי מעל עצמו, מעל [[שדה המספרים הממשיים]] <math>\R</math> , או מעל [[שדה המספרים הרציונליים]] <math>\Q</math> . הממד שלו הוא 1 במקרה הראשון (כל קבוצה בת איבר אחד, שונה מאפס, היא בסיס); 2 במקרה השני (<math>\{1,i\}</math> הוא בסיס מעל הממשיים); ואינסוף במקרה האחרון. | |||
הממד של מרחב וקטורי תלוי בשדה הבסיס. לדוגמא, את [[שדה המספרים המרוכבים]] <math>\ | |||
הסיבה לתלות של הממד בשדה הבסיס פשוטה: אם B קבוצה של וקטורים ב-V, [[הקבוצה הנפרשת]] על B היא אוסף ה[[צירוף ליניארי|צירופים הלינאריים]] של וקטורים מ-B, עם סקלרים משדה הבסיס. יתכן בהחלט ש-B תפרוש את V מעל שדה אחד, אבל לא מעל שדה קטן יותר. | |||
==הממד מגדיר את המרחב== | |||
לשני מרחבים [[איזומורפיזם של מרחבים וקטוריים|איזומורפיים]] יש אותו ממד. מאידך, | לשני מרחבים [[איזומורפיזם של מרחבים וקטוריים|איזומורפיים]] יש אותו ממד. מאידך, | ||
* כל שני מרחבים וקטוריים עם אותו ממד מעל אותו בסיס, הם איזומורפיים. | *כל שני מרחבים וקטוריים עם אותו ממד מעל אותו בסיס, הם איזומורפיים. | ||
מכאן שכל מרחב וקטורי מממד n מעל F, איזומורפי ל[[מרחב הוקטורים]] <math>\ F^n</math>. | מכאן שכל מרחב וקטורי מממד <math>n</math> מעל <math>\mathbb F</math> , איזומורפי ל[[מרחב הוקטורים]] <math>{\mathbb F}^n</math> . | ||
[[קטגוריה:אלגברה לינארית]] | [[קטגוריה:אלגברה לינארית]] | ||
גרסה אחרונה מ־17:58, 27 בפברואר 2016
הממד של מרחב וקטורי מוגדר כמספר האברים של בסיס למרחב.
עיונים בהגדרה
כדי שהממד יהיה מוגדר היטב, יש לדעת שני דברים:
- לכל מרחב וקטורי יש בסיס.
- לכל שני בסיסים יש אותו מספר אברים.
העובדה הראשונה קלה אם למרחב יש קבוצה פורשת סופית, אבל המקרה הכללי הוא משפט המל השקול לאקסיומת הבחירה.
תלות בשדה הבסיס
הממד של מרחב וקטורי תלוי בשדה הבסיס. לדוגמא, את שדה המספרים המרוכבים [math]\displaystyle{ \C }[/math] אפשר לראות כמרחב וקטורי מעל עצמו, מעל שדה המספרים הממשיים [math]\displaystyle{ \R }[/math] , או מעל שדה המספרים הרציונליים [math]\displaystyle{ \Q }[/math] . הממד שלו הוא 1 במקרה הראשון (כל קבוצה בת איבר אחד, שונה מאפס, היא בסיס); 2 במקרה השני ([math]\displaystyle{ \{1,i\} }[/math] הוא בסיס מעל הממשיים); ואינסוף במקרה האחרון.
הסיבה לתלות של הממד בשדה הבסיס פשוטה: אם B קבוצה של וקטורים ב-V, הקבוצה הנפרשת על B היא אוסף הצירופים הלינאריים של וקטורים מ-B, עם סקלרים משדה הבסיס. יתכן בהחלט ש-B תפרוש את V מעל שדה אחד, אבל לא מעל שדה קטן יותר.
הממד מגדיר את המרחב
לשני מרחבים איזומורפיים יש אותו ממד. מאידך,
- כל שני מרחבים וקטוריים עם אותו ממד מעל אותו בסיס, הם איזומורפיים.
מכאן שכל מרחב וקטורי מממד [math]\displaystyle{ n }[/math] מעל [math]\displaystyle{ \mathbb F }[/math] , איזומורפי למרחב הוקטורים [math]\displaystyle{ {\mathbb F}^n }[/math] .