==הגדרת הנגזרת==
נגזרת, באופן אינטואיטיבי, מודדת את השיפוע של הפונקציה בנקודה. בדומה למושגים קודמים כמו גבול וסכום טור, אנו נותנים הגדרה מדויקת ל'שיפוע' התואמת את ההגיון ובודקים אילו מן הפונקציות מקיימות הגדרה זו.
נגזרת, באופן אינטואיטיבי, מודדת את השיפוע שיפוע של הפונקציה בנקודהקו ישר מוגדר על-ידי המרחק בציר <math>y</math> חלקי המרחק בציר <math>x</math> . בדומה למושגים קודמים כמו גבול וסכום טורנביט בקו <math>y(x)=mx+b</math> , אנו נותנים הגדרה מדוייקת ל'שיפוע' התואמת את ההגיון ובודקים אילו מן הפונקציות מקיימות הגדרה זו.אזי השיפוע שלו הוא::<math>\frac{y(x_1)-y(x_2)}{x_1-x_2}=\frac{mx_1+b-(mx_2+b)}{x_1-x_2}=m</math>
אם כך, נגדיר שיפוע של קו ישר מוגדר על ידי המרחק בציר y חלקי המרחק בציר xפונקציה כללית, לפי '''גבול''' שיפועים של קוים ישרים. נביט בקו לכל נקודה בסביבת <math>y(x)=mx+bx_0</math>נמדוד את השיפוע של הקו הישר בין שתי תמונות הפונקציה מעל הנקודה שבחרנו ומעל <math>x_0</math> . הנגזרת, אזי או השיפוע שלו הוא:, ב- <math>x_0</math> מוגדרת להיות גבול השיפועים לעיל כאשר הנקודות מתקרבות ל- <math>x_0</math> .
::<math>\frac{y(x_1)-y(x_2)}{x_1-x_2}=\frac{mx_1+b-(mx_2+b)}{x_1-x_2}=m</math> אם כך, נגדיר שיפוע של פונקציה כללית, לפי '''גבול''' שיפועים של קוים ישרים. לכל נקודה בסביבת <math>x_0</math> נמדוד את השיפוע של הקו הישר בין שתי תמונות הפונקציה מעל הנקודה שבחרנו ומעל <math>x_0</math>. הנגזרת, או השיפוע, ב<math>x_0</math> מוגדר להיות גבול השיפועים לעיל כאשר הנקודות מתקרבות ל<math>x_0</math>. <font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.''' </font> תהי f פונקציה המוגדרת בסביבה של נקודה <math>x_0</math>. אזי הפונקציה '''גזירה''' בנקודה <math>x_0</math> אם הגבול הבא קיים וסופי: ::<math>f'(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math>
תהי <math>f</math> פונקציה המוגדרת בסביבה של נקודה <math>x_0</math> . אזי הפונקציה '''גזירה''' בנקודה <math>x_0</math> אם הגבול הבא קיים וסופי:
:<math>f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math>
שימו לב, קל להוכיח שהגדרת הנגזרת שקולה ושווה לגבול הבא:
:<math>f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}</math>
'''הערה חשובה:''' התייחסו אל <math>\Delta x</math> כאל משתנה יחיד, ולא כפונקציה את <math>x</math> .
::<math>f'(x_0)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}</math> '''הערה חשובה:''' התייחסו אל <math>\Delta x</math> כאל משתנה יחיד, ולא כפונקציה את x. <font size=4 color=#a7adcd>'''דוגמא.''' </font> נגזור את הפונקציה <math>f(x)=\sqrt{x}</math> בנקודה כללית <math>x>0</math>. ::<math>f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x}}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{x+\Delta x-x}{\Delta x (\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x})}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{1}{(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x})}=\frac{1}{2\sqrt{x}}</math>
נגזור את הפונקציה <math>f(x)=\sqrt{x}</math> בנקודה כללית <math>x>0</math> .
:<math>f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x}}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{x+\Delta x-x}{\Delta x(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x})}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{1}{(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x})}=\frac{1}{2\sqrt{x}}</math>
==אריתמטיקה של נגזרות ושאר נוסחאות==
:<math>(c\cdot f)'=c\cdot f'</math>
::<math>(cf)'=c\cdot f'</math> ::<math>(f+g)'=f'+g'</math>
שימו לב: משני תנאים אלה ניתן לראות כי 'נגזרת' היא אופרטור לינארי על מרחב הפונקציות (שהוא אכן מרחב וקטורי).
:<math>(f\cdot g)'=f'g+g'f</math>
:<math>\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-g'f}{g^2}</math>
::<math>\Big(f\cdot (g)\Big)'=f'(g+)\cdot g'f</math>
:<math>(f^g)'=f^g\Big[g'\ln(f)+\frac{gf'}{f}\Big]</math>
::<math>\Big(\frac{f}{g}\Big)'=\frac{f'g-g'f}{g^2}</math> ::<math>\Big(f(g)\Big)'=f'(g)\cdot g'</math> ::<math>\Big(f^g\Big)'=f^g\Big[g'ln(f)+\frac{gf'}{f}\Big]</math> שימו לב: זו בעצם נגזרת ההרכבה <math>f^g = e^{\ln\Big(f^g\Big)}=e^{glng\ln(f)}</math> ::<math>\Big( f^{-1}\Big)'(x)=\frac{1}{f'\Big(f^{-1}(x)\Big)}</math>
==נגזרות של פונקציות נפוצות==
*[[מדיה:09Infi2Derivatives.jpg|דף נוסחאות של נגזרות]]
נחקור לצורך מענה על השאלה את הפונקציה הבאה:
:<math>f(x)=x^2\sin\left(\tfrac{1}{x^2}\right)</math>
כיון שזו הרכבה וחלוקה של פונקציות גזירות, זו פונקציה רציפה וגזירה לכל <math>x\ne 0</math>. בנקודה אפס הפונקציה אינה מוגדרת ולכן אינה רציפה ואינה גזירה.
אולם, נוכיח כי אי-הרציפות ב- <math>0</math> הנה סליקה, ונתקן את הפונקציה לקבל פונקציה רציפה על כל הממשיים::<math>fg(x)=x^2sin\Bigbegin{cases}f(x) & x\ne 0\\0 & x=0\fracend{1cases}</math>(קל לבדוק כי <math>\lim_{x^2}\Bigto 0}g(x)=0</math>ולכן הפונקציה רציפה על כל הממשיים).
האם <math>g</math> גזירה ב- <math>0</math> ? יש לבדוק ישירות מתוך ההגדרה (כיון שהיא לא מוגדרת על-ידי פונקציות אלמנטריות בנקודה זו).
:<math>g'(0):=\lim_{x\to 0}\frac{g(x)-g(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0}\frac{x^2\sin\left(\tfrac{1}{x^2}\right)}{x}=0</math>
על כן <math>g</math> גזירה ב- <math>0</math> , וביחד היא גזירה על כל הממשיים.
:<math>g'(x)=2x\sin\left(\tfrac{1}{x^2}\right)-x^2\sin\left(\tfrac{1}{x^2}\right)\cdot\left(-\tfrac{2}{x^3}\right)</math>
כיוון שזו הרכבה וחלוקה וקל לראות שפונקציה זו אינה חסומה באף סביבה של פונקציות גזירות, זו פונקציה רציפה וגזירה לכל <math>x\neq 0</math>. בנקודה אפס הפונקציה אינה מוגדרת ולכן אינה רציפה ואינה גזירהשם.
אולם==מונוטוניות=='''משפט.''' אם הנגזרת של <math>f</math> אי שלילית בקטע מסוים, אזי <math>f</math> מונוטונית לא יורדת בו. באופן דומה, נוכיח כי אם הנגזרת אי הרציפות בנקודה אפס הינה סליקהחיובית, ונתקן את אזי הפונקציה לקבל פונקציה רציפה על כל הממשיים:מונוטונית לא עולה.
::<math>g(x)=f(x)</math> כאשר <math>x\neq 0</math> ו <math>g(0)=0</math>
(קל לבדוק כי <math>\lim_{x\rightarrow 0}g(x)=0</math> ולכן הפונקציה רציפה על כל הממשיים).
האם g גזירה באפס? יש לבדוק ישירות מתוך ההגדרה (כיוון שהיא לא מוגדרת על ידי פונקציות אלמנטריות בנקודה זו).
::<math>g'(0):=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{g(x)-g(0)}{x-0}=
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^2sin\Big(\frac{1}{x^2}\Big))}{x}=0
</math>
על כן g גזירה באפס, וביחד היא גזירה על כל הממשיים.
::<math>g'(x)=2xsin\Big(\frac{1}{x^2}\Big)-x^2sin\Big(\frac{1}{x^2}\Big)\cdot\Big(-\frac{2}{x^3}\Big)</math>
וקל לראות שפונקציה זו אינה חסומה באף סביבה של אפס ולכן אינה רציפה שם.
==מונוטוניות==
'''משפט.''' אם הנגזרת של f אי שלילית בקטע מסויים, אזי f מונוטונית לא יורדת בו. באופן דומה, אם הנגזרת אי חיובית, אזי הפונקציה מונוטונית לא עולה.
==פרמה, רול ולגראנז'==
[[משפט פרמה (אינפי)|משפט פרמה]]