הבדלים בין גרסאות בדף "חדוא 1 - ארז שיינר"
מתוך Math-Wiki
(←חסמים) |
(←פרק 2 - סדרות) |
||
שורה 63: | שורה 63: | ||
==פרק 2 - סדרות== | ==פרק 2 - סדרות== | ||
+ | |||
+ | ===הגדרת הגבול=== | ||
*הגדרת הגבול של סדרה: | *הגדרת הגבול של סדרה: | ||
שורה 83: | שורה 85: | ||
<videoflash>U5RUHjrHVGI</videoflash> | <videoflash>U5RUHjrHVGI</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *הגבול הוא יחיד | ||
+ | *מספר סופי של איברים לא משפיע על הגבול | ||
+ | *סדרה מתכנסת במובן הצר חסומה | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===כלים לחישוב גבולות=== | ||
+ | *סנדביץ' וחצי סדנביץ' | ||
+ | *<math>a_n\to 0 \iff |a_n|\to 0</math> | ||
+ | *חסומה כפול אפיסה היא אפיסה. | ||
+ | *מבחן המנה (הוכחה בסיכום הבא על [[אי-שוויון הממוצעים]]). | ||
+ | **תהי סדרה <math>a_n</math> המקיימת כי '''גבול''' המנה הוא <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\to L</math> אזי: | ||
+ | ***אם <math>1<L\leq\infty</math> מתקיים כי <math>|a_n|\to\infty</math> | ||
+ | ***אם <math>0\leq L<1</math> מתקיים כי <math>a_n\to 0</math> | ||
+ | ***מתקיים כי <math>\sqrt[n]{|a_n|}\to L</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===אריתמטיקה של גבולות (חשבון גבולות)=== | ||
==פרק 3 - טורים== | ==פרק 3 - טורים== |
גרסה מ־08:24, 16 באוקטובר 2020
תוכן עניינים
מבחנים ופתרונות
סרטוני ותקציר ההרצאות
פרק 1 - מספרים וחסמים
קבוצות מספרים
- הטבעיים
- השלמים
- הרציונאליים
- הממשיים , כל השברים העשרוניים כולל האינסופיים
- העשרה: בנייה של שדה הממשיים באמצעות חתכי דדקינד
- לא קיים כך ש .
- במילים פשוטות, אינו רציונאלי (בהמשך נוכיח שיש מספר ממשי כזה).
חסמים
- תהי אזי:
- נקרא המקסימום של A או האיבר הגדול ביותר של A אם לכל מתקיים כי
- נקרא חסם מלעיל של A אם לכל מתקיים כי
- נקרא המינימום של A או האיבר הקטן ביותר של A אם לכל מתקיים כי
- נקרא חסם מלרע של A אם לכל מתקיים כי
- כמו כן:
- אם יש איבר קטן ביותר בקבוצת חסמי המלעיל של A הוא נקרא החסם העליון של A, או הסופרמום של A ומסומן
- אם יש איבר גדול ביותר בקבוצת חסמי המלרע של A הוא נקרא החסם התחתון של A, או האינפימום של A ומסומן
- בשדה הממשיים לכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלעיל יש חסם עליון, ולכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלרע יש חסם תחתון.
- בשדה הרציונאליים זה לא נכון; לקבוצה אין מספר רציונאלי קטן ביותר מבין חסמי המלעיל שלה.
- תהי ויהי אזי:
- M הוא החסם העליון של A אם ורק אם M הוא חסם מלעיל של A ולכל מספר קיים מספר כך ש
- m הוא החסם התחתון של A אם ורק אם m הוא חסם מלרע של A ולכל מספר קיים מספר כך ש
- דוגמא: תהיינה חסומות מלעיל כך שA אינה מכילה חסמי מלעיל של B, אזי
פרק 2 - סדרות
הגדרת הגבול
- הגדרת הגבול של סדרה:
- תהי סדרה ממשית ויהי מספר ממשי .
- הינו גבול הסדרה (מסומן או ) אם:
- לכל סביבה של הגבול, קיים מקום בסדרה שאחריו כל איברי הסדרה נמצאים בסביבה הנתונה, כלומר:
- לכל מרחק קיים מקום כך שאחריו לכל מתקיים כי
- נגדיר ש אם לכל קיים כך שלכל מתקיים כי
- נגדיר ש אם
- טענה: תהי אזי
- טענה: תהי אזי
- הגבול הוא יחיד
- מספר סופי של איברים לא משפיע על הגבול
- סדרה מתכנסת במובן הצר חסומה
כלים לחישוב גבולות
- סנדביץ' וחצי סדנביץ'
- חסומה כפול אפיסה היא אפיסה.
- מבחן המנה (הוכחה בסיכום הבא על אי-שוויון הממוצעים).
- תהי סדרה המקיימת כי גבול המנה הוא אזי:
- אם מתקיים כי
- אם מתקיים כי
- מתקיים כי
- תהי סדרה המקיימת כי גבול המנה הוא אזי:
אריתמטיקה של גבולות (חשבון גבולות)
פרק 3 - טורים
פרק 4 - פונקציות ורציפות
פרק 5 - גזירות