אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

[math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow\infty}f_n }[/math]

הוראות

כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על [עריכה] (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:

== כותרת לשאלה ==

לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על שמירה למטה מימין

ארכיון

ארכיון 1 - תרגיל 1 ו2

ארכיון 2 - תרגיל 3

ארכיון 3 - תרגיל 3

ארכיון 4 - תרגיל 4

ארכיון 5 - תרגיל 4,5

ארכיון 6 - תרגיל 6

ארכיון 7 - (מי עוקב)

ארכיון 8

ארכיון 9 - לקראת הבוחן

שאלות

אינטגרלים לא אמיתיים

היי. איך אפשר להוכיח שהאינטגרל הלא אמיתי (מa עד אינסוף) של sin^2 מתכנס? ניסיתי להראות בעזרת הגבול ופיתוח האינטגרל (ע"י זווית כפולה - cos2x=1-2sin(x)^2) אך יצא לי בכלל בדרך שכזו שהאינטגרל מתבדר...

(לא ארז/תומר) הטור אכן מתבדר... sin(x)^2 שווה למינוס חצי כפול cos(2x)-1. זוהי פונקציה מחזורית ולכן בוודאי מתבדרת. אולי התכוונת לאינטגרל sin(x^2) , שהוא מתכנס

תודה! רגע, אם יש לי משהו ששואף לאינסוף פחות משהו מתבדר, בוודאי אין גבול נכון? (כי זה למעשה 0.5x פחות sin(2x)/4, כאשר x שואף לאינסוף.. x הוא b לצורך העניין)

לא תמיד(רק כשהמתבדר לא שואף למינוס אינסוף אפשר להיות בטוחים). יותר נכון לומר שמשהו שואף לאינסוף פחות משהו חסום- מתבדר. אפשרות נוספת היא פשוט לומר שהאינטגרל מתבדר כי הפונקציה cos(2x)-1 מחזורית. אני לא יודע אם הנימוק הזה מתקבל, אבל אפשר להוכיח את זה בקלות.

שאלה 5

בבוחן בשאלה 5 לכולם יצא שישית או מינוס שישית אבל לי יצא אינסוף בדקתי במייפל ויצא לי אינסוף מישהו יכול לבדוק גם בשבילי ולהגיד לי אם צדקתי<?

בדקתי, יוצא מינוס שישית.

בטוח? גם אני ניסיתי עוד פעם זה מה שרשמתי והתשובה יוצאת אינסוף...limit((sin(sin(x))+sin(x))/x^3, x = 0) בעיקרון במבחן עשיתי לפי טיילור וגם יצא לי אינסוף

אחי במונה זה sin(sin(x))-sin(x)

אפשר להעלות פתרונות לבוחן<?

כן נעלה אותם בקרוב. בינתיים בקצרה:

1. הפונקציה חיובית או שלילית בשני צדדי האינסוף, והיא חיובית וגם שלילית באיזור C כי היא לא קיצון

2. לנגזרת לא יכולים להיות יותר מ2 פתרונות, אבל צריכים היו להיות לפי רול אם היו יותר מ3 שורשים

4. משיעורי הבית (שני הסעיפים)

3. א. הצבה אוניברסלית. ב. הצבת x=sint ג. הצבה [math]\displaystyle{ t=\sqrt{x} }[/math]

5. לופיטל - שישית או מינוס שישית (לא בדקתי עדיין)

6. הפרכה: פונקצית דיריכליי חסומה בין הקבועות אפס ואחד אך אינה אינטגרבילית

7. א. הוכחה (פשוט משפט ערך הממוצע)

7. ב. הוכחה (הקדומה תמיד רציפה, שווה לאפס באחד וגדולה מאחד ב2 ולפי ערך הביניים עוברת באחד)

8. נגדיר את הפונקציה [math]\displaystyle{ x^2 sin (\frac{1}{x^2}) }[/math] ונגדיר את הערך באפס להיות אפס. הפונקציה גזירה באפס וגם שלילית וגם חיובית בכל סביבה צדדית של אפס, לכן אין מינימום ואין מקסימום. המשיק הינו ציר x והפונקציה כאמור שלילית וחיובית ולכן לא רק מעל או רק מתחת ולכן אין גם פיתול. (מישהו שאל בדיוק את זה בפורום יום לפני הבוחן או משהו)

שאלה

אם רשמתי שיש לדירכלה אינסוף נקודות אי רציפות ולכן היא אינה אינטגרבילית כמה יורידו לי?

3 נקודות

בקשר לשאלה 1 בבוחן

כתבתם שp רציפה לחלוטין לכן בנק' קיצון מקומיות הנגזרת שלה מתאפסת. הנימוק לכך שהנגזרת שלה מתאפסת הוא לא העובדה שהיא גזירה בקטע הזה? (לפי פרמה) ולא רק רציפה.. (ברור שאם היא גזירה היא גם רציפה)

וגם בפיתרון לשאלה אחת. הוצאתם איקס בחזקת שני אן ואז נשאר לכם איכשהו איקס בתוך הביטוי,זה אמור להיות אחת חלקי איקס,לא?

תשובה

האמת שמספיק שהיא גזירה בנקודה...

כן.

אני אתקן

שאלה

בשאלה 4 ב', הוכחתי שפונקציית הערך המוחלט היא אינטגרבילית, אבל לא בדרך הפיתרון שרשומה באתר. (ראיתי את הפיתרון הזה, אבל רוני הוכיח בכיתה בדרך אחרת שהייתה יותר מובנת לי ולכן השתמשתי בה) הרעיון שהשתמשתי בו הוא זה שפונקציית הערך המוחלט חסומה (כי המקורית חסומה) ושבכל תת קטע, הסופרימום פחות האינפימום של פונקציית הערך המוחלט תמיד קטן מהסופרימום פחות האינפימום של הפונקציה הרגילה. אם ידוע שהסכום העליון פחות הסכום התחתון בפונקציה הרגילה קטן מאפסילון, אז כמובן שזה נכון גם לפונקציית הערך המוחלט מהסיבה הנ"ל.

האם הפיתרון נכון?

דרך אגב - אני חושב שבמקום לכתוב שהסופרימום של הערך המוחלט פחות האינפימום של הערך המוחלט, כתבתי הפוך: כלומר, הערך המוחלט של הסופרימום פחות הערך המוחלט של האינפימום. לכאורה זה משנה את ההוכחה ב-180 מעלות אבל זוהי טעות כתיבה ולא טעות של הוכחה.

מקווה שלא תורידו לי יותר מידי :)

וואו סחטין על הפירוט, אבל בשביל זה יש את דף המבחן, תדע אחרי הבדיקה איך הלך :)

שאלה

היי, זה בקשר לאינטגרציה בחלקים. אם אני רוצה לעשות אינטגרציה בחלקים לאינטגרל של f כפול g (שימו לב: לא f כפול g' או f' כפול g, אלא רק f*g) מהם התנאים? שg תהיה רציפה (על מנת שתהיה לה קדומה) ומה עוד? האם נדרש משהו לגבי f?

תשובה

אתה יכול לענות על שאלות כאלה בעצמך. בואו נראה מה הנוסחא הסופית, ולכן מה התנאים שנגזרים ממנה. אתה רוצה לומר [math]\displaystyle{ (Gf)'=gf+Gf' }[/math] ואז לעשות אינטגרציה בשני הצדדים, ולכן האינטגרל צריך להיות מוגדר על כל הביטויים.

צריך שלg תהיה קדומה ושf תהיה גזירה, ושתהיה קדומה ל[math]\displaystyle{ gf, Gf' }[/math]. להניח שכל הפונקציה בביטוי רציפות יעשה את הטריק למשל (כולל הנגזרת של f).

תודה רבה ארז :) (ובכלל, תודה על כל הפורום הזה)

בשמחה.

שאלה

בקריטריון קושי להתכנסות אינטגרל לא אמיתי מסוג שני, אנחנו דורשים שלכל אפסילון גדול מ0 תהיה קיימת l>0 כך שלכל l1,l2 שגדולים מ0 וגם קטנים מl מתקיים......, השאלה היא היא למה אנחנו דורשים שl1,l2 יהיו גדולים מ0. כלומר, אני מבינה את זה ברמת העיקרון אבל הוכחנו את המשפט הזה באמצעות מעבר לאינטגרלים לא אמיתיים מסוג ראשון - והתנאי להתכנסות הוא שקיים B כך שלכל b1,b2>B מתקיים.. וכו', אז זה לא אומר שb1,b2 צריכים להיות חיוביים ולכן אני לא מבינה איך עושים את המעבר הזה.

ועוד שאלה. כשיש לנו ערך מוחלט (למשל ערך מוחלט של( cosx חלקי x)) למה דיריכלה לא עובד? (ל"א מסוג ראשון כמובן)

(לא ארז/תומר) דיריכלה לא עובד כי אינטגרל של ערך מוחלט של cos(x) לא חסום (זוהי פונקציה מחזורית אי-שלילית, שלא שווה זהותית לאפס). ובקשר לשאלה הראשונה- אם l1 או l2 אינם חיוביים, האינטגרל מl1 עד l2 לא בהכרח יהיה קיים... כי יודעים רק על אינטגרביליות מימין לנקודה בה הפונקציה לא חסומה, ולא יודעים מה קורה משמאל לנקודה זו.

שאלונת

אפשר הסבר קטן למה האינטגרל התחתון של דרבו תמיד קטן שווה לאינטגרל העליון של דרבו? הרי אנחנו יודעים שהסכום העליון של כל T גדול שווה לסכום התחתון של כל T. אבל למה זה אומר שהסופרימום גדול קטן מהאינפימום? לא יתכן שהסופרימום "יחרוג" קצת למעלה והאינפימום למטה?

(לא ארז/תומר) הוכחנו בכיתה שסכום עליון של חלוקה גדול שווה מסכום תחתון של חלוקה (לא בהכרח אותה חלוקה). אם בשלילה האינפימום של הסכומים העליונים קטן מהסופרימום של הסכומים התחתונים, אז לפי הקריטריון לסופרימום ולאינפימום ניתן להראות בקלות שקיימים סכום תחתון וסכום עליון (שוב, לא בהכרח של אותה חלוקה) כך שהסכום התחתון גדול יותר מהעליון,סתירה.

תשובה

זו שאלה מאינפי 1 שחשוב שכל תלמיד ידע לפתור. יהיו שתי קבוצות A,B כך שלכל [math]\displaystyle{ a\in A, b \in B }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a\leq b }[/math]. הוכח ש[math]\displaystyle{ supA \leq inf B }[/math]

אני אשאיר את זה כתרגיל, אבל אזכיר את המשפט שמקשר בין סופרמום לאפסילון: M הינו סופרמום של קבוצה A אם"ם הוא חסם עליון של הקבוצה A ולכל [math]\displaystyle{ \epsilon \gt 0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a \gt M - \epsilon }[/math].

מה זה אומר במילים? שאם אנחנו חורגים בקצת (אפסילון) מהסופרמום למטה ([math]\displaystyle{ M-\epsilon }[/math]), אזי בטוח יהיה איבר בקבוצה שיהיה גדול יותר. מהעקרון הזה ניתן לפתור את התרגיל.

תומר - אני אוסיף למה שנאמר כי סופרמום הוא חסם מלעיל (כלומר "מלמעלה" ) , והוא החסם מלעיל הכי קטן - כלומר , לכל אפסילון גדול מאפס , החסם שלנו פחות האפסילון כבר אינו חסם מלעיל של הקבוצה - כלומר יש איבר בקבוצה שגדול מה"חסם" הזה .

הצלחתי, תודה רבה!

שאלה 1 בבוחן

האם מותר לי, לפי אריתמטיקה של גבולות, לפצל גבול של מכפלת פונקציות לגבול של פונקציה אחת כפול הגבול של הפונקציה השניה, אם אחד מהם הוא אינסוף?.. זה לא מותר רק כאשר שניהם קיימים במובן הצר?

תשובה

זה לא לפי אריתמתיקה, אבל זה טריוויאלי. אם יש לך אינסוף כפול גבול שמתכנס במובן הצר לא לאפס זה אינסוף, והסימן נקבע על פי הסימן של הדבר הסופי והסימן של האינסוף. קל מאד להוכיח את זה.

הגבול שמתכנס במובן הצר בוודאי לא מתכנס לאפס, כי המקדם של החזקה הגבוהה הוא שונה מאפס.

אחלה..תודה

שאלה

למתרגלים שלום!מתי לפי דעתכם יהיו בערך ציונים לבוחן?תודה רבה רבה!!!!

תומר - הציונים יהיו לקראת סוף השבוע .

תרגיל 9

מתרגלים שלום, נודה לכם אם תרגיל 9 יעלה לאתר, אם אפשר עוד היום, ככה שיהיה לנו באמת שבוע לפתור אותו. תודה.

דווקא חשבנו לוותר על התרגיל, אבל שכנעת אותנו, נעלה אותו היום.

במחשבה שניה, לא יהיה תרגיל השבוע.

אתה מנסה לחקות אותי?

?!

ניתן להסתכל בהיסטוריה ולראות מי כותב מה...

שאלה

בתרגיל 2 סעיף a, צריך בכלל את העובדה שf יורדת? אי אפשר להניח בשלילה שהגבול הוא לא 0 ולכן קיים אפסילון כך שלכל x0 קיים x>x0 שעבורו מתקיים ש|fx| גדול שווה לאפסילון וכך להמשיך ולהגיע לסתירה?

עוד שאלה. מותר לי להשתמש בכל המשפטים על אינטגרלים רגילים, כמו למשל שאי שיוויון ברמת האינטגרל גורר אי שיוויון ברמת הפונקציה או שהאינטגרל בין a לX של 1*dx הוא X-a, גם באינטגרלים לא אמיתיים?

תשובה

ראינו בשיעור דוגמא לכך שהאינטגרל הלא אמיתי מתכנס אבל הפונקציה לא שואפת לאפס ואף לא חסומה (!) לכן בוודאי לא נצליח להוכיח את זה לפונקציה כללית.

אי שיוויון ברמת האינטגרל לא גורר אי שיוויון ברמת הפונקציה אלא להפך. אפשר להשתמש במשפטים רק כאשר הם נכונים. יש לזכור שהאינטגרל הלא אמיתי מוגדר כגבול של אינטרגלים אמיתיים. (לכן למשל אי שיווין ברמת הפונקציה יגרור אי שיוויון של כל האינטגרלים האמיתיים ולכן יגרור אי שיוויון חלש באינטגרל האינסופי).

אוקי. ואם יש לנו אינטגרל של 1 מa עד x. זה בעצם אינסוף, לא? לפי הגדרה זה שווה לאורך הקטע, ומכיוון שאורך הקטע הוא אינסופי - כך גם האינטגרל..

ומה לא בסדר עם ההוכחה שלי? איזה שלב לא נכון? הנחתי בשלילה שהגבול הוא לא 0 ואז קיים אפסילון כך שלכל x0 קיים x>x0 שעבורו |fx|>=E. (בתפקיד האפסילון - E). עכשיו, נפעיל אינטגרל על שני הצדדים ונשאיף אותו לאינסוף. נקבל שהאינטגרל הלא אמיתי של f(x) שואף גם הוא לאינסוף..

מa עד x זה אורך הקטע. מa עד אינסוף האינטגרל של 1 הוא אכן אינסוף (השטח של מלבן ברוחב 1 ואורך אינסופי הוא אינסוף

הבעייה עם "ההוכחה" היא שהיא לא הוכחה בכלל. הראת שיש אינסוף נקודות בהן הפונקציה גדולה מאפסילון. אז מה? לפונקציה יש "גבעות" (או בדוגמא שהראנו משולשים) שהגובה שלהם קבוע, אבל הרוחב הולך וקטן ולכן השטח הולך וקטן. הסכום האינסופי של השטחים האלה מתכנס.

עכשיו ראיתי עוד טעות שעשית. בעקבות אי השיויון במספר מסויים של נקודות הנחת שיש אי שיוויון ברמת האינטגרל, אבל זה אסור כמובן. צריך להראות שהפונקציה גדולה בגל מקום מאפסילון (וזה לא נכון)

תודה רבה :)

שאלה

בתרגיל 5, למה צריך את נוסחת בונה? אי אפשר פשוט לפצל את האינטגרל לאינטגרל ל"א מסוג 1 ול"א מסוג 2 ואז להוכיח עבור כל אחד בנפרד? (לפי מבחן ההשוואה+דיריכלה)

תשובה

אפשר, אבל הרעיון הוא להשתמש בנוסחאת בונה

פתרון לשאלת אתגר

נכון יפה

אתה צודק, וצעד אחד לפני. תחשוב אם אפשר לעקוף את זה (גם אני אחשוב בינתיים)

טוב, אפשר לפתור את זה גם ככה (כלומר לטפל בבעייה)

אני חושב שהבנתי- בגלל המונוטוניות, ניתן לבחור קטע שבו הפונקציה תהיה חסומה: אם הפונקציה מוגדרת בקטע [a,b] אז בכל קטע המוכל ממש בקטע זה הפונקציה תהיה חסומה. ובפרט ניתן לקחת את השליש האמצעי של קטע זה(כלומר [a+(b-a)/3, b-(b-a)/3]). בה"כ הפונקציה עולה, ולכן אם היא שואפת לאינסוף בנקודה בקטע, לא יתכן שהיא מוגדרת בנקוגה מימין לנקודה זו- כי היא עולה. ובפרט היא לא מוגדרת בנקודה x=b-(b-a)/6. באותו אופן מראים שהיא לא שואפת למינוס אינסוף באף נקודה בקטע. ולכן הפונקציה חסומה בשליש האמצעי, ובו ההוכחה שכתבתי קודם נכונה. מש"ל.