אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

[math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow\infty}f_n }[/math]

הוראות

כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על [עריכה] (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:

== כותרת לשאלה ==

לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על שמירה למטה מימין

ארכיון

ארכיון 1 - תרגיל 1 ו2

ארכיון 2 - תרגיל 3

ארכיון 3 - תרגיל 3

ארכיון 4 - תרגיל 4

ארכיון 5 - תרגיל 4,5

ארכיון 6 - תרגיל 6

ארכיון 7 - (מי עוקב)

ארכיון 8

ארכיון 9 - לקראת הבוחן

ארכיון 10 - פוסט בוחן

ארכיון 11 - תרגיל 9

ארכיון 12 - תרגיל 9

שאלות

תומר - הסמסטר הולך ומסתיים לו . מי שרוצה לקבוע איתי פגישה ("שעת קבלה " ) - מוזמן לעשות זאת ועדיף לא לדחות עד סוף הסמסטר ממש ובסמוך למבחן ! שילחו לי מייל לתיאום : yaniv_to@netvision.net.il

תגידו, לא שאני רוצה- אבל יהיה תרגיל 10 השבוע או שקיבלנו שבוע חופש מתרגיל?

יהיה תרגיל, עוד לא החלטנו לגבי תאריך ההגשה.

יש לי בקשה מכם - והיא בשם הרבה מאיתנו - בשבוע הקרוב יש בגרות בלשון (שבניגוד לתקופה שלכם, ארז ותומר, חלקו אותה לשני חלקים, וההבעה מהווה מחצית ממנה, כולל חיבור, כלומר כבר לא כל אחד יכול להוציא 100 בלי להתאמץ, וכרגע מי שמוציא מעל 90 נחשב לגאון), ו-4 ימים אח"כ יש בגרות בהיסטוריה (...) אין לי בעיה להגיש אפילו 3 תרגילים ביחד, אבל אפשר שהכל יקרה אחרי הבגרות בהיסטוריה, כלומר אחרי ה-21 בחודש? (ורצוי שלא ביום שאחריה...) תודה רבה!

ראיתי שהוספתם תרגיל 10 אתמול בלילה (חמישי-שישי). למתי צריך להגיש אותו?

שאלה

אם טור פונקציות מתכנס במ"ש בקטע I, למה זה אומר שהסס"ח שלו חסומה במשותף? :)

(לא ארז/תומר) מה זה חסומה במשותף?

הכוונה היא שקיים M כך שלכל X בקטע ולכל K טבעי מתקיים: הערך המוחלט של Fk(x) קטן שווה מM.

בוא ניקח את הטור שהאיבר הראשון שלו הוא הפונקציה [math]\displaystyle{ \frac{1}{x} }[/math] ושאר איבריו הם אפס, בקטע הפתוח (0,1). הטור כמובן מתכנס במ"ש שכן הפרש בין הפונקציה הגבולית לסדרת הסכומים החלקיים הוא תמיד אפס קבוע. אבל סדרת הסכומים החלקיים היא קבועה על הפונקציה [math]\displaystyle{ \frac{1}{x} }[/math] שאינה חסומה.

אז הטענה בעצם אינה נכונה? השתמשנו בזה בהוכחת משפט אבל. (רגע, למה ההפרש בין הפונק' הגבולית לסס"ח הוא 0 קבוע? הפונק' הגבולית שווה ל0 והסס"ח הוא 1/x. הערך המוחלט של ההפרש ביניהם הוא גם 1/x

אני מקווה שאני לא טועה, אתה יכול לנסח איך בדיוק השתמשתם בזה בהוכחה? בכל אופן הפונקציה הגבולית של הטור הינה [math]\displaystyle{ \frac{1}{x} }[/math] ולא אפס. מה פתאום אפס? הרי זה סכום הפונקציות ויש כאן פונקציה אחת בלבד. באופן כללי אם [math]\displaystyle{ u_1=f(x),u_2=u_3=...=0 }[/math] אזי הטור [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^{\infty}u_i=f(x) }[/math] כי [math]\displaystyle{ \forall n : S_n(x)=f(x)+0+0+...+0=f(x) }[/math]

כן, צודק לגבי ה1/x (בטעות השאפתי בראש את x לאינסוף במקום את n). במשפט אבל אמרנו שהטור bk(x) qq מתכנס במ"ש בI ומכאן שהסס"ח שלו חסומה במשותף שם..

בטוח שסדרת הסכומים החלקיים ולא הסדרה עצמה? גם עבור הסדרה רק החל מ-n מסויים.

שאלה

מה נסגר עם הבחנים? תודה, נזכה לראותם?

תומר - כרגע התכנון הוא לעשות לכם פתיחת מבחנים , מועד ב למי שזכאי , ושיעור השלמה - כולם באותו יום כדי להיות יעילים . מועד על כך יפורסם בהקדם .

שאלה

בפתרון לשאלת האתגר, למה הפונקציה מוגדרת על הקטע [a,b]? לא יתכן מצב בו היא לא מוגדרת למשל בנק' אחת בקטע הסגור? (נניח אי רציפות סליקה)..? לא צריך לדרוש מראש שהפונק' תהיה מוגדרת בקצוות?(אחרת, אי אפשר לדעת שהפונק' חסומה)

תשובה

הנתון הוא שהפונקציה מוגדרת. אחרת המשפט לא בהכרח נכון (קח לדוגמא פונקציה שלא מוגדרת על כל האי רציונליים, וברציונליים היא הזהות).

שאלה

תרגיל 10 שאלה 2 אם f לא רציפה בהכרח, איך יתכן שיש התכנסות במידה שווה?

תשובה

כי אז גם הפונקציות f_n לא יהיו רציפות...

שאלה

מה שאומר התנאי זה בעצם שאם fn רציפות וההתכנסות במידה שווה, זה גורר שf רציפה?

תשובה

כן.

יכול להיות שf_n רציפות וf רציפה אבל ההתכנסות אינה במ"ש.

יכול להיות שf_n אינן רציפות וההתכנסות היא במ"ש אבל f רציפה.

יכול להיות שf_n אינן רציפות וההתכנסות היא במ"ש אבל f כן רציפה.

וכו'.

שאלה 1 סעיף ג

באיזה קטע מדובר?

תומר - הכוונה OTHER - לכל X ממשי .

שאלה

מתי מגישים את תרגיל 10?

תשובה

במפגש הבא שלנו. נודיע על התאריך כשנדע אותו

שאלה

בתרגיל 4, סעיף ד': מה הכוונה על הישר? על כל הממשיים?

תומר טקסט מודגש - שיניתי למספרים החיוביים - נוסח חדש יפורסם בקרוב. ( הכוונה היא בתחום ההגדרה אך למען הסדר הטוב שיניתי זאת למספרים הממשיים החיוביים ) .

כלומר בתחום (0,infinity)?

כן, ראה תרגיל מעודכן

שאלה

בשאלה 1 בסעיף ג', מותר לומר שהפונק' מתכנסת נקודתית בטוח כי היא מקבלת רק שני ערכים קבועים? וכשn שואף לאינסוף זה לא ישנה אותם? (בעצם פונק' הגבול תהיה 0 תמיד.. כי X הוא מס' ממשי)

תשובה

מה הקשר בין מספר הערכים שפונקציה מקבלת לבין קיום גבול?

קצת הסתבכתי עם ההוכחה הפורמלית ממש לפי הגדרת הגבול..

אז תתאמץ עוד קצת. חשוב שתבין כיצד מחשבים גבול נקודתי. זה לא מסובך, פשוט מניחים שx הוא קבוע (כמו פרמטר).

שאלה

ב1 הכוונה היא לבדוק אם הפונקציה מתכנסת נקודתית או במ"ש בקטעים הנתונים, כן?

תשובה

כן, או בכלל לא אם זה המצב

שאלה

האם תרגיל 10 הוא התרגיל האחרון?תודה!

נראה

שאלה על תרגיל 10 שאלה 5

האם בשאלה זו f היא בהכרח פונקציה רציפה?

לא.

שאלה

יש לי שאלה שיכולה להיות אולי משפט נחמד - נניח שיש לי סדרת פונקציות *רציפות* לפי n בקטע כלשהו (גם אם הוא פתוח), שהן חסומות, וערך הקיצון שלהן (בערך מוחלט) שואף לאפס כאשר n שואף לאינסוף, וכך גם הגבולות של הקצוות, האם ניתן לומר שסדרת הפונקציות הזו מתכנסת ל-0?

תשובה

כן, זה אומר שהחל מ-n מסוים הפונקציה בערך מוחלט קטנה מאפסילון בכל נקודה (כאשר ערך הקיצון והקצוות שלה קטנים ממנו) כלומר [math]\displaystyle{ \forall n\gt n_0,\forall x:|f_n(x)-0|\lt \epsilon }[/math]. לכן הסדרה מתכנסת במ"ש לאפס.

שאלה - גבול של סדרת פונקציות

מותר לי לומר שסדרת פונקציות מתכנסת לשתי פונקציות גבול (כתלות בתחום, שתלוי ב-n)? אם שני התחומים הללו מכסים את כל הישר, האם מותר לי לומר עקב כך שתחום ההתכנסות הוא כל הישר?

תשובה

תחום בוודאי לא תלוי בn.

התכנסות הינה נקודתית, ולכן התכנסות בקטע אומרת התכנסות בכל נקודה של הקטע. אם הסדרה מתכנסת על כמה קטעים, אז היא מתכנסת בכל נקודה מכל אחד מהקטעים ולכן היא מתכנסת על איחוד הקטעים.

התכנסות במ"ש זו שאלה אחרת קצת, יש לכם שאלה דומה בתרגיל הבית.

פונקציה הופכית של פונקציה מונוטונית

איך ניתן להראות שאם [math]\displaystyle{ f: [a,b] \rightarrow [c,d] }[/math] מונוטונית בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] אזי גם הפונקציה ההפוכה שלה, לאמור [math]\displaystyle{ f^{-1}: [c,d] \rightarrow [a,b] }[/math] מונוטונית בקטע [math]\displaystyle{ [c,d] }[/math]

תשובה

אם a<b אזי [math]\displaystyle{ f(a)\lt f(b) }[/math]. נובע מכך שאם [math]\displaystyle{ f(b)\lt f(a) \in [c,d] }[/math] אזי b<a כלומר [math]\displaystyle{ f^{-1}(f(b))\lt f^{-1}(f(a)) }[/math]

כמובן שצריך לשים קטן/גדול שווה במקומות המתאימים.

תודה רבה!

שאלה

האם בשאלה 4 עם הטורים,מותר להיעזר במבחני דיריכלה ואבל?

תשובה

ניתן להשתמש בכל משפט שלמדנו

תומר - אוסיף עוד שבשיעור ההשלמה נעבור גם על מבחנים אלו ועל טורי חזקות

שאלות

1. האם כל ה-"מבחנים", כגון - משפט דיני, ומבחני התכנסות למינהם, תקפים גם כאשר הקטע הינו אינסופי? למשל ב- [math]\displaystyle{ [0,+\infty] }[/math]

2. בשאלה 3 מה הכוונה בכל קטע סופי על הישר? מה התרומה בכך??

תשובה חלקית

לגבי דיני, תחשוב על הטור [math]\displaystyle{ \sum \frac{1}{(1-\frac{1}{x})^n} }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ [1,\infty] }[/math]

תחשוב על זה מול ההוכחה של דיני

מה זה משפט דיני? האם הקבוצה של שיין למדה אותו?