שיטות אינטגרציה
בדף זה יוצגו מספר שיטות אינטגרציה הניתנות לשימוש.
אינטגרציה "רגילה"
הכוונה היא לבצע את האינטגרל לפי חוקי הגזירה. לדוגמה,
[math]\displaystyle{ \int \left(e^x+\frac{1}{x} \right )dx=e^x+ln\left | x \right |+c }[/math].
השלמה לריבוע
כאשר נקבל פונקציה רציונאלית שבמונה שלה יש מספר ובמכנה שלה פולינום ממעלה שנייה, ניתן להשלים את הפולינום לריבוע ולהיעזר ב-[math]\displaystyle{ arctan }[/math].
דוגמה
[math]\displaystyle{ \int\frac{1}{x^2+x+1\frac{1}{4}}dx }[/math]
ניעזר בהשלמה לריבוע של המכנה. נקבל:
[math]\displaystyle{ \int\frac{1}{x^2+x+1\frac{1}{4}}dx=\int\frac{1}{\left (x+\frac{1}{2} \right )^2+1}dx=arctan\left (x+\frac{1}{2} \right )+c }[/math]
אינטגרציה בחלקים
לפי נוסחת הגזירה של מכפלת פונקציות (נוסחת לייבניץ), אנו מקבלים:
[math]\displaystyle{ \int{f'g}=fg-\int{fg'} }[/math] (ניתן לוודא על ידי גזירה).
דוגמה
נחפש את [math]\displaystyle{ \int ln\ x \ dx }[/math].
לפי השיטה, נסמן [math]\displaystyle{ f'\left (x \right )=1 }[/math], [math]\displaystyle{ g(x)=ln\ x }[/math].
לכן נקבל [math]\displaystyle{ f(x)=x }[/math], [math]\displaystyle{ g'(x)=\frac{1}{x} }[/math].
לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים, נקבל:
[math]\displaystyle{ \int ln\ x \ dx=x\cdot ln\ x-\int x\cdot \frac{1}{x}\ dx=x\cdot ln\ x-\int 1\ dx=x\cdot ln\ x-x+c }[/math].
הרחבה
אינטגרציה בהצבה
לפי כלל השרשרת, אנו מקבלים:
[math]\displaystyle{ \int f\left (g\left(x \right ) \right )\cdot g'\left (x \right )\ dx=F\left (g\left(x \right ) \right )+c }[/math] (ניתן לוודא על ידי גזירה).
דוגמה
נחפש את [math]\displaystyle{ \int \frac{sin\left(2x \right )}{a+sin^2 x}dx }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ a\gt 0 }[/math].
נבצע הצבה: [math]\displaystyle{ du=2\cdot sin\ x\cdot cos\ x\ dx=sin\left(2x \right )dx \ \Leftarrow u=sin^2 x }[/math]. מקבלים:
[math]\displaystyle{ \int \frac{sin\left(2x \right )}{a+sin^2 x}dx=\int \frac{1}{a+u}du=ln\left ( a+u \right )+c=ln(a+sin^2 x)+c }[/math] (נזכור כי [math]\displaystyle{ a+u\gt 0 }[/math], לכן אין צורך בערך מוחלט).
הרחבה
ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית
בהינתן פונקציה אשר משולבות בה פונקציות טריגונומטריות (ועדיף שהיא תהיה מנה של חיבור וכפל שלהן), אזי נציב [math]\displaystyle{ u=tan\left (\frac{x}{2}\right ) }[/math].
נזכור כי [math]\displaystyle{ 1+tan^2\alpha=\frac{1}{cos^2 \alpha} }[/math], ונקבל [math]\displaystyle{ cos^2 \left ( \frac{x}{2} \right )=\frac{1}{1+tan^2\left ( \frac{x}{2} \right )}=\frac{1}{1+u^2} }[/math].
נקבל בנוסף [math]\displaystyle{ cos\ x=2\cdot cos^2\left ( \frac{x}{2} \right )-1=2\cdot\frac{1}{1+u^2}-1=\frac{2-1-u^2}{1+u^2}=\frac{1-u^2}{1+u^2} }[/math].
לכן [math]\displaystyle{ sin\ x=\sqrt{ 1-cos^2 x }=\sqrt{1-\left (\frac{1-u^2}{1+u^2} \right )^2}=\sqrt{1-\frac{1-2u^2+u^4}{1+2u^2+u^4}}=\sqrt{\frac{1+2u^2+u^4-\left (1-2u^2+u^4 \right )}{\left ( 1+u^2 \right )^2}}=\sqrt{\frac{4u^2}{\left ( 1+u^2 \right )^2}}=\sqrt{\frac{\left ( 2u \right )^2}{\left ( 1+u^2 \right )^2}}=\frac{2u}{1+u^2} }[/math]
כמו כן, [math]\displaystyle{ x=2\cdot arctan\ t }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ dx=\frac{2}{1+u^2} du }[/math].
דוגמה
[math]\displaystyle{ \int\frac{1}{2+2\cdot sin\ x}dx }[/math]
ניעזר בהצבה הטריגונומטרית האוניברסלית. נציב [math]\displaystyle{ u=tan\left (\frac{x}{2}\right ) }[/math]. נקבל:
[math]\displaystyle{ \int\frac{1}{2+2\cdot sin\ x}dx=\int\frac{1}{2+2\cdot \frac{2u}{1+u^2}}\cdot \frac{2}{1+u^2}du=\int\frac{1+u^2}{2+2u^2+4u}\cdot\frac{2}{1+u^2}du=\int\frac{1}{u^2+2u+1}du=\int\frac{1}{\left (u+1\right )^2}du=-\frac{1}{u+1}+c=-\frac{1}{1+tan\left (\frac{x}{2}\right )}+c }[/math]
הרחבה
פירוק לשברים חלקיים
הצבות אוילר
הצבות אוילר מתייחסות למקרה של פונקציה "רציונאלית" אשר הרכיבים בה הם [math]\displaystyle{ x }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \sqrt{ax^2+bx+c} }[/math].
אוילר 1 - הפולינום פריק
נניח כי הפולינום [math]\displaystyle{ ax^2+bx+c }[/math] פריק (מעל הממשיים, כמובן). נסמן [math]\displaystyle{ ax^2+bx+c=a\left (x-\alpha\right )\left (x-\beta\right ) }[/math].
הצבת אוילר: נציב [math]\displaystyle{ \sqrt{ax^2+bx+c}=u\cdot\left (x-\alpha\right ) }[/math] (אפשר גם את השורש השני). נביע את [math]\displaystyle{ x }[/math] באמצעות [math]\displaystyle{ u }[/math], ונוכל למצוא גם את [math]\displaystyle{ x }[/math] וגם את [math]\displaystyle{ \sqrt{ax^2+bx+c} }[/math].
דוגמה
[math]\displaystyle{ \int\frac{1}{x\sqrt{x^2-7x+6}}dx }[/math]
ניעזר בהצבת אוילר: נציב [math]\displaystyle{ \sqrt{x^2-7x+6}=u\cdot\left (x-1\right ) }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ \left(x-1 \right )\left(x-6 \right )=u^2\left(x-1 \right )^2 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ x-6=u^2\left(x-1 \right ) }[/math], ומכאן [math]\displaystyle{ x=\frac{u^2-6}{u^2-1} }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ dx=\frac{2u\left (u^2-1 \right )-2u\left (u^2-6 \right )}{\left (u^2-1 \right )^2}du=\frac{10u}{\left (1-u^2 \right )^2}du }[/math]. בנוסף, [math]\displaystyle{ \sqrt{x^2-7x+6}=u\cdot\left ( x-1 \right )=u\cdot\left ( \frac{u^2-6}{u^2-1}-1 \right )=-\frac{5u}{u^2-1} }[/math]
מקבלים:
[math]\displaystyle{ \int\frac{1}{x\sqrt{x^2-7x+6}}dx=-\int\frac{1}{\ \frac{u^2-6}{u^2-1}\cdot \frac{5u}{u^2-1}\ }\cdot\frac{10u}{\left ( 1-u^2 \right )^2}du=-2\int \frac{1}{u^2-6}du }[/math] כאשר האינטגרל האחרון ניתן לפתרון באמצעות פירוק לשברים חלקיים.
אוילר 2 - פולינום יותר כללי
ישנן שתי אפשרויות:
- בהינתן [math]\displaystyle{ a\gt 0 }[/math], נציב [math]\displaystyle{ \sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a}\cdot x+u }[/math].
- בהינתן [math]\displaystyle{ c\gt 0 }[/math], נציב [math]\displaystyle{ \sqrt{ax^2+bx+c}=xu+\sqrt{c} }[/math].
נביע את [math]\displaystyle{ x }[/math] באמצעות [math]\displaystyle{ u }[/math], ונוכל למצוא את [math]\displaystyle{ dx }[/math] ואת [math]\displaystyle{ \sqrt{ax^2+bx+c} }[/math].
דוגמה
[math]\displaystyle{ \int\frac{1}{\sqrt{x^2-7x+6}}dx }[/math]
ניעזר בהצבת אוילר (האופציה הראשונה): נציב [math]\displaystyle{ \sqrt{x^2-7x+6}=x+u }[/math]. נעלה בריבוע ונקבל [math]\displaystyle{ x^2-7x+6=x^2+2xu+u^2 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ x=\frac{6-u^2}{2u+7} }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ dx=\frac{-2u\left (2u+7 \right )-2\left (6-u^2 \right )}{\left (2u+7 \right )^2}du=-2\cdot\frac{u^2+7u+6}{\left ( 2u+7 \right )^2}du }[/math], וכן [math]\displaystyle{ \sqrt{x^2-7x+6}=x+u=\frac{6-u^2}{2u+7}+u=\frac{6-u^2+2u^2+7u}{2u+7}=\frac{u^2+7u+6}{2u+7} }[/math].
מקבלים:
[math]\displaystyle{ \int\frac{1}{\sqrt{x^2-7x+6}}dx=-\int\frac{1}{\ \frac{u^2+7u+6}{2u+7} \ }\cdot 2\cdot\frac{u^2+7u+6}{\left ( 2u+7 \right )^2}du=-\int\frac {2}{2u+7}du=-ln\left | 2u+7 \right |+c=-ln\left | \sqrt{x^2-7x+6}-x \right |+c }[/math]