אם אני רוצה לחשב את סכום הטור : [math]\displaystyle{ \sum _{n=1}^\infty \frac{1}{2^n n} }[/math] , אבל כשאני מפרק אותו לאינטגרל לפי רימן (חלוקה של [math]\displaystyle{ \frac{1}{n} }[/math] ) אז אני מקבל שזה שווה לאינטגרל: [math]\displaystyle{ \int _0 ^\infty \frac{1}{2^x}dx }[/math] וזה יוצא [math]\displaystyle{ \frac{1}{\ln(2)} }[/math] , למרות שהסכום לפי מה שבדקתי אמור לצאת [math]\displaystyle{ \ln(2) }[/math] . איפה הטעות שלי? אני מניח שהיא איפה שהמרתי סכום לאינטגרל לא אמיתי... איך אפשר לחשב את זה בכל מקרה?

תשובה

קודם כל אין פה כלל חלוקת רימן (שכן המרחק בין נקודות הדגימה הוא אספוננציאלי עולה, ואילו האורכים הולכים ויורדים לאפס). אפילו אם הייתה, זו חלוקה אינסופית אחת ולא גבול של חלוקות.

פותרים את זה בדיוק כפי שפתרנו אתמול בכיתה. נגדיר [math]\displaystyle{ S(x)=\sum \frac{1}{n}x^n }[/math] קל לראות שרדיוס ההתכנסות הוא אחד ולכן זה טור חזקות שמתכנס במ"ש בסביבה של חצי. ברור שסכום הטור שמעניין אותנו הוא [math]\displaystyle{ S(\frac{1}{2}) }[/math]. מכיוון שההתכנסות היא במ"ש מותר לגזור איבר איבר ולקבל [math]\displaystyle{ S'(x)=\sum x^{n-1} = \frac{1}{1-x} }[/math].

לכן [math]\displaystyle{ S(x)=\int_0^x S'(t)dt=-ln(1-x) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ S(\frac{1}{2})=-ln(\frac{1}{2})=ln2 }[/math]

עד כדי טעות...

הערה: זה תרגיל נחמד שנותן לנו נוסחא לחישוב lnx עם דיוק אספוננטציאלי עבור x>1 (עבור x>1 ניקח את [math]\displaystyle{ -ln(\frac{1}{x}) }[/math]). 
הנוסחא [math]\displaystyle{ ln(x)=-ln(\frac{1}{x})=-ln(1-\frac{x-1}{x})=S(\frac{x-1}{x})=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}(\frac{x-1}{x})^n }[/math]

נחמד מאוד, הבנתי! על הטריק עם ה-ln שכתבת בהערה אני לא חושב שהייתי מצליח לעלות, אבל אני אזכור אותו עכשיו, תודה רבה!!

שאלה

יהי [math]\displaystyle{ \sum _{n=1}^\infty a_n }[/math] טור חיובי מתכנס, ו- [math]\displaystyle{ f_n (x) }[/math] סדרת פונקציות, כך שלכל n טבעי מתקיים: [math]\displaystyle{ |f_{n+1}(x)-f_n(x)|\lt a_n }[/math] . הוכח או הפרך : [math]\displaystyle{ f_n }[/math] מתכנסת במידה שווה.

אני מתקשה להבין את הבעייה של ההתכנסות במ"ש במקרה הזה... אז אחרי שלא הצלחתי להפריך, ניסיתי להוכיח, וראיתי שזה קרוב יותר לקריטריון של קושי להתכנסות במ"ש, אז מספיק להראות שאם לכל k יש n טבעי שעבורו [math]\displaystyle{ |f_{n+1}(x)-f_n(x)|\lt k }[/math], אז גם נובע שלכל m>n מתקיים התנאי של קושי, אבל זה בדיוק מה שאני לא מצליח להראות... איך אני יכול להפריך ע"י מציאת סדרת פונקציות שהפרש של כל פונקציות קרובות שואף לאפס, אבל כשה-n גדל הפונקציות החדשות שנוצרות רחוקות יותר עד כדי חוסר התכנסות במידה שווה או אפילו חוסר התכנסות?

תשובה

זה תרגיל מאינפי 1 בתכלס. [math]\displaystyle{ |f_m-f_n|=|f_m-f_{m-1}+f_{m-1}-....+f_{n+1}-f_n|\leq a_m+...+a_n }[/math]

אבל לפי תנאי קושי להתכנסות טורים הצד הימני קטן מאפסילון.

אהההה, הבנתי, וזה מתקיים עבור n,m גדולים מספיק (כלומר שגדולים מ-n0 התחלתי)... יפה! הייתי צריך לנסות לקשר את זה לסכום הטור... תודה רבה :) !!!

שאלה

אני מוכרח להבין, מה בעצם המשמעות של "התכנסות במידה שווה" של סדרת פונקציות? ז"א, מה המשמעות הגרפית של זה, בלי שימוש באפסילון וכ'ו? מה בעצם ה"מידה שווה" כאן?

תשובה

המשמעות היא שבכל נקודה בפונקציה ההתכנסות היא באותה מהירות פחות או יותר. גרפית, אתה מעתיק את פונקצית הגבול אפסילון למעלה ואפסילון למטה, ואז החלק מn_0 מסויים כל הפונקציות בסדרה מצויירות בגרף בין שתי ההזזות של פונקצית הגבול.

במילים אחרות, הפונקציות נמצאות במרחק 'קבוע' מפונקצית הגבול ללא תלות באיקס. למה זה עוזר? למשל רציפות. תהי סדרת פונקציות רציפות. ניקח פונקציה f_n מהסדרה עבור n מספיק גדול, ונקח סביבה קטנה של x_0 כלשהו. מתוך רציפות, f_n שולחת את סביבה של x_0 קרוב מאד לf(x_0). אבל, כל f_n שולחת כל נקודה בסביבה קרוב מאד לפונקצית הגבול באותה נקודה והמרחק לא תלוי בבחירת הנקודה. לכן גם כל הסביבה של פונקצית הגבול קרובה מאד לf(x_0( ויוצא שגם פונקצית הגבול רציפה.

שאלות

קודם כל, בקשר לאינטגרביליות. לפי הגדרת רימן, מותר לדלתא להיות תלויה במס' הקטעים - n?

עוד שאלה. באחד המשפטים בכיתה, רוני כתב משהו כמו "g אינטגרבילית ולכן לכל אפסילון>0 קיימת דלתא, כך שלכל חלוקה T המקיימת שפרמטר החלוקה שלה קטן מדלתא, יתקיים: s(t) עליון פחות s(t) תחתון קטן מאפסילון (סליחה על הכתיבה המסורבלת..)

זה לא אמור להיות, שלכל אפסילון קיימת חלוקה 'אחת' T שמקיימת את זה? זה לא עירבוב של 2 הגדרות? תודה רבה (:

תשובה

מה זאת אומרת מותר לדלתא? יש פרמטר חלוקה - אורך הקטע הגדול ביותר. הסכומים מתכנסים אם על כל החלוקות החל מפרמטר חלוקה מספיק קטן (דלתא) הסכום קרוב לגבול עד כדי אפסילון. אין פה שום קשר למספר הקטעים בחלוקה. דלתא תלוי בלבד באפסילון, בפונקציה ובקטע.

קודם כל תבדיל בין הגדרה לבין משפט. הגדרה להתכנסות יש רק אחת. כל שאר התנאים להתכנסות שקולים.

בוודאי שאין חלוקה יחידה כזו, הרי כל עידון של החלוקה יקיים את התנאי גם כן. יכול להיות שבהוכחה שלו הוא יכל לרשום פחות דברים, אבל אין ספק שזה מוכיח.

זה נכון שעידון של החלוקה יקיים את התנאי, אבל הוא טען שכל T שיקיים שפרמטר החלוקה שלו יהיה קטן מדלתא, יקיים את החלוקה. למה זה נכון? אני מסכים שלעידון זה יהיה נכון, אבל לא בהכרח לכל T כנ"ל.

אני מניח שאחר כך הוא הוכיח שבמקרה המסויים זה מתקיים. כמו שאמרתי, יכול להיות שהוא הוכיח יותר ממה שצריך, אבל אם הוא הוכיח, מה רע? שנית, עבור פרמטר חלוקה מספיק קטן המרחק בין הסכום העליון לגבול והמרחק בין הסכום התחתון לגבול הם אפסילון חלקי שתים. לכן המרחק ביניהם הוא אפסילון.

שאלה

בתרגיל 3 פה: http://www.math.tau.ac.il/~boazslom/hedva2/Exercises/ex-02.pdf בפתרונות הם טוענים שמכיוון שf גזירה, ניתן להציב x=f(t). לא ממש הבנתי את הקשר, מישהו יכול להסביר?

תשובה

strictly monotonic כלומר מונוטונית ממש. זה התנאי לכך שתהיה לה הופכית ואז תוכל לבצע את ההצבה. כמובן שגם העובדה שהפונקציה גזירה נחוצה (על מנת שההופכית תהיה גזירה, חוץ אולי מנקודה אחת).

אופס, התכוונתי לכתוב מונוטונית ממש מלכתחילה ובטעות כתבתי גזירה. בכל מקרה תודה רבה (:

שאלה

האם גזירה ברציפות משמעותה: 1)יש נגזרת 2)הנגזרת רציפה בלבד? תודה

תומר - כמו שאמרת - יש נגזרת והנגזרת הזו היא פונקציה רציפה .

ארז ותומר- אתם יכולים להגיד כבר מעכשיו אם יותר השימוש במחשבונים במבחן? בבקשה תרשו- מה אכפת לכם? זה לא יכול להזיק לכם, ואותנו זה מרגיע..... תודה.

זה מבחן לא בוחן. החלטה של המרצים. מוזמנים לשאול אותם...