חקירת פונקציות
נושא חקירת פונקציות בקורס חשבון אינפיניטיסימלי כוללת מחקר סט תכונות מוסכם (פחות או יותר):
- תחום הגדרה (קביעה באילו נקודות הפונקציה מוגדרת)
- זוגיות (קביעה האם הפונקציה זוגית, אי-זוגית או לא)
- תחומי מונוטוניות ומציאת נקודות קיצון
- תחומי קמירות ומציאת נקודות פיתול
- אסימפטוטות מאונכות
- נקודות חיתוך עם הצירים
- אסימפטוטות משופעות ומציאת התנהגות באינסוף
- תרפיה בתרשים- ציור גרף הפונקציה
הסברים ותרגילים על חקירת פונקציות
תוכן עניינים
תרגילים
דוגמא 1: ![f(x)=x^2-6x+5](/images/math/1/f/f/1ffcc0920f0a4ba5db1a35e2c897c194.png)
תחום הגדרה
הגדרה: תהי פונקציה. תחום הגדרתה היא
- אוסף כל הנקודות בהם
מוגדרת.
דוגמא: תחום ההגדרה של הוא כל הישר
.
זוגיות/אי-זוגיות
הגדרה: תקרא זוגית אם
.
הגדרה: תקרא אי-זוגית אם
.
דוגמא: ולכן
אינה זוגית ואינה אי-זוגית.
חיתוך עם הצירים
החיתוך עם ציר הן הנקודות
החיתוך עם ציר היא הנקודה
.
נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה
הגדרה: תהא פונקציה. נאמר כי
עולה (יורדת) בתחום
אם
או
.
הגדרה: תהי פונקציה.
תקרא נקודת קיצון - מקס' (או מינ') אם קיימת לה סביבה
כך ש-
או
.
משפט: אם גזירה בנקודת קיצון
אזי
.
מסקנה: כדי למצוא נקודות קיצון של מספיק לבדוק מתי
או מתי הנגזרת אינה קיימת כלל.
דוגמא - נמצא את הנקודות האפשריות לנקודות קיצון ל- :
ולכן הנקודה החשודה היחידה היא
.
מקס' או מיני'
איך יודעים אם מדובר בנקודות קיצון ואם מדובר בקיצון מקס' או בקיצון מיני'?
- בדיקת הפונקציה עצמה - הנקודות החשודות מחלקות את הישר לקטעים. נציב בכל קטע נקודה ונבדוק מה מתקבל: למשל נציב
ולכן 3 נקודות מיני'.
הערה: אכן מספיק לבדוק נקודות אלו - כי אם הפונקציה היתה מחליפה מיקום (ביחס לנקודות החשודות) היכן שהוא אזי היתה נוצרת נקודת קיצון והיינו מגלים אותה בשלב הקודם.
- בדיקת ערכי הנגזרת - נבדוק את סימן הנגזרת מימין ומשמאל לנקודות (מסתמך על העובדה כי: אם
בקטע
אזי הפונקציה יורדת שם. אם
אז הפונקציה עולה שם):
ולכן משמאל ל-3 הפונקציה יורדת ומימין ל-3 היא עולה, כלומר
נקודת מיני'.
הערה: בשלב זה מצב כי תחום העליה של הוא
ותחום הירידה
.
הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הנגזרת היתה מחליפה היכן שהוא את סימנה אזי היתה נוצרת נקודת קיצון והיינו מגלים אותה בשלב הקודם.
- מבחן הנגזרת השניה - אם
ומתקיים
(או
) אז
נקודות מיני' (או מקס'):
אצלנו ולכן
.
תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול
תהא גזירה בנקודה
אזי נאמר שהפונקציה קעורה כלפי מעלה/מטה ב-
אם קיימת סביבה
של
כך שלכל
מתקיים:
או
.
נאמר כי נקודת פיתול אם קיימת סביבה
ימנית בה
וסביבה שמאלית
בה
או להפך.
משפט: או
אז
קעורה כלפי מעלה/מטה ב-
.
משפט: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם אינה קיימת או ש-
.
דוגמא: ולכן אין נקודות פיתול והפונקציה קעורה כלפי מעלה בכל הישר.
אסימפטוטות
הגדרה: אסימפטוטה אנכית ל- היא קו מהצורה
כך שמתקיים
. אצלנו אין אסימפטוטה אנכית.
הגדרה: אסימפטוטה אופקית היא ישר המקיים
או
.
איך מוצאים? מתקיים ואז
.
דוגמא - אצלנו:
ולכן אין אסימפטוטה אופקית.
התנהגות הפונקציה באינסוף
עבור הדוגמא שלנו
דוגמא 2: ![f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}](/images/math/0/3/7/037345c522b29b7b7f127a537b35b275.png)
תחום הגדרה
כי
לא-מוגדרת עבור
-ים שליליים.
זוגיות/אי-זוגיות
לא שייך בגלל תחום ההגדרה.
חיתוך עם הצירים
החיתוך עם ציר הוא
.
החיתוך עם ציר לא קיים בגלל תחום ההגדרה.
נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה
לכן יש לה נקודה חשודה ב-
הסימן של נקבע ע"י
.
ולכן זוהי נקודת מקס'.
תחומי העליה של הפונקציה .
תחומי הירידה .
תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול
הסימן של נקבע ע"י
ולכן נקודות חשודות לפיתול הם
.
ולכן
נקודת פיתול.
הפונקציה קעורה כלפי מטה ב- .
הפונקציה קעורה כלפי מעלה ב- .
אסימפטוטות
אסימפטוטה אנכית ב- כיון ש-
.
אסימפטוטה אופקית:
ולכן אסימטוטה אופקית.
התנהגות הפונקציה באינסוף
עבור הדוגמא שלנו
דוגמא 3: ![f(x)=\dfrac{x^3}{12-x^2}](/images/math/5/4/3/543faf71c95afaf522a6cae9ee45dc16.png)
תחום הגדרה
זוגיות/אי-זוגיות
ולכן
אי-זוגית.
נקודות קיצון
ולכן הנקודות החשודות הן
(נשים לב שהנקודות אינן נקודות קיצון כי אינן בתחום ההגדרה).
מקס' או מיני'
נשים לב שסימן הנגזרת נקבע לפי החלק של :
ולכן משמאל ל-6- הפונקציה יורדת ומימין ל-6- היא עולה, כלומר 6- נקודות מיני'.
6 נקודת מקס'.
0 אינה נקודת קיצון כי הפונקציה עולה גם מימין לה וגם משמאל.
תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול
דוגמא:
הנקודות החשודות לפיתול הן . הסימן של
נקבע לפי החלק
.
נבדוק:
ומכאן מסיקים כי -
בקטע הפונקציה קעורה כלפי מעלה,
בקטע הפונקציה קעורה כלפי מטה,
בקטע הפונקציה קעורה כלפי מעלה,
בקטע הפונקציה קעורה כלפי מטה,
ובנקודה 0 יש נקודות פיתול (כי הנגזרת השניה שלילית עד אליה וחיובית ממנה).
אסימפטוטות
ל- יש 2 אסימפטוטות אנכיות ב-
כי
אסימפטוטה אופקית:
באותו אופן גם אסימפטוטה לכיוון תצא אותו דבר
ולכן אסימפטוטה אופקית לשני הצדדים.
התנהגות הפונקציה באינסוף
עבור הדוגמא שלנו
ציור הפונקציה
משפטים לסיכום:
1) אם גזירה בנקודת קיצון
אזי
.
2) מבחן הנגזרת השניה - אם ומתקיים
אזי
נקודת מיני'.
3) אם בקטע
אזי הפונקציה יורדת שם. אם
אזי הפונקציה עולה שם.
4) אם אזי
קעורה כלפי מעלה ב-
.
מסקנה: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם אינה קיימת או ש-
.