חקירת פונקציות
נושא חקירת פונקציות בקורס חשבון אינפיניטיסימלי כוללת מחקר סט תכונות מוסכם (פחות או יותר):
- תחום הגדרה (קביעה באילו נקודות הפונקציה מוגדרת)
- זוגיות (קביעה האם הפונקציה זוגית, אי-זוגית או לא)
- תחומי מונוטוניות ומציאת נקודות קיצון
- תחומי קמירות ומציאת נקודות פיתול
- אסימפטוטות מאונכות
- נקודות חיתוך עם הצירים
- אסימפטוטות משופעות ומציאת התנהגות באינסוף
- תרפיה בתרשים- ציור גרף הפונקציה
הסברים ותרגילים על חקירת פונקציות
תוכן עניינים
תרגילים
דוגמא 1:
תחום הגדרה
הגדרה: תהי פונקציה. תחום הגדרתה היא - אוסף כל הנקודות בהם מוגדרת.
דוגמא: תחום ההגדרה של הוא כל הישר .
זוגיות/אי-זוגיות
הגדרה: תקרא זוגית אם .
הגדרה: תקרא אי-זוגית אם .
דוגמא: ולכן אינה זוגית ואינה אי-זוגית.
חיתוך עם הצירים
החיתוך עם ציר הן הנקודות
החיתוך עם ציר היא הנקודה .
נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה
הגדרה: תהא פונקציה. נאמר כי עולה (יורדת) בתחום אם
או .
הגדרה: תהי פונקציה. תקרא נקודת קיצון - מקס' (או מינ') אם קיימת לה סביבה כך ש-
או .
משפט: אם גזירה בנקודת קיצון אזי .
מסקנה: כדי למצוא נקודות קיצון של מספיק לבדוק מתי או מתי הנגזרת אינה קיימת כלל.
דוגמא - נמצא את הנקודות האפשריות לנקודות קיצון ל- :
ולכן הנקודה החשודה היחידה היא .
מקס' או מיני'
איך יודעים אם מדובר בנקודות קיצון ואם מדובר בקיצון מקס' או בקיצון מיני'?
- בדיקת הפונקציה עצמה - הנקודות החשודות מחלקות את הישר לקטעים. נציב בכל קטע נקודה ונבדוק מה מתקבל: למשל נציב ולכן 3 נקודות מיני'.
הערה: אכן מספיק לבדוק נקודות אלו - כי אם הפונקציה היתה מחליפה מיקום (ביחס לנקודות החשודות) היכן שהוא אזי היתה נוצרת נקודת קיצון והיינו מגלים אותה בשלב הקודם.
- בדיקת ערכי הנגזרת - נבדוק את סימן הנגזרת מימין ומשמאל לנקודות (מסתמך על העובדה כי: אם בקטע אזי הפונקציה יורדת שם. אם אז הפונקציה עולה שם): ולכן משמאל ל-3 הפונקציה יורדת ומימין ל-3 היא עולה, כלומר נקודת מיני'.
הערה: בשלב זה מצב כי תחום העליה של הוא ותחום הירידה .
הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הנגזרת היתה מחליפה היכן שהוא את סימנה אזי היתה נוצרת נקודת קיצון והיינו מגלים אותה בשלב הקודם.
- מבחן הנגזרת השניה - אם ומתקיים (או ) אז נקודות מיני' (או מקס'):
אצלנו ולכן .
תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול
תהא גזירה בנקודה אזי נאמר שהפונקציה קעורה כלפי מעלה/מטה ב- אם קיימת סביבה של כך שלכל מתקיים:
או .
נאמר כי נקודת פיתול אם קיימת סביבה ימנית בה וסביבה שמאלית בה או להפך.
משפט: או אז קעורה כלפי מעלה/מטה ב- .
משפט: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם אינה קיימת או ש- .
דוגמא: ולכן אין נקודות פיתול והפונקציה קעורה כלפי מעלה בכל הישר.
אסימפטוטות
הגדרה: אסימפטוטה אנכית ל- היא קו מהצורה כך שמתקיים . אצלנו אין אסימפטוטה אנכית.
הגדרה: אסימפטוטה אופקית היא ישר המקיים או .
איך מוצאים? מתקיים ואז .
דוגמא - אצלנו:
ולכן אין אסימפטוטה אופקית.
התנהגות הפונקציה באינסוף
עבור הדוגמא שלנו
דוגמא 2:
תחום הגדרה
כי לא-מוגדרת עבור -ים שליליים.
זוגיות/אי-זוגיות
לא שייך בגלל תחום ההגדרה.
חיתוך עם הצירים
החיתוך עם ציר הוא .
החיתוך עם ציר לא קיים בגלל תחום ההגדרה.
נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה
לכן יש לה נקודה חשודה ב-
הסימן של נקבע ע"י .
ולכן זוהי נקודת מקס'.
תחומי העליה של הפונקציה .
תחומי הירידה .
תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול
הסימן של נקבע ע"י ולכן נקודות חשודות לפיתול הם .
ולכן נקודת פיתול.
הפונקציה קעורה כלפי מטה ב- .
הפונקציה קעורה כלפי מעלה ב- .
אסימפטוטות
אסימפטוטה אנכית ב- כיון ש- .
אסימפטוטה אופקית:
ולכן אסימטוטה אופקית.
התנהגות הפונקציה באינסוף
עבור הדוגמא שלנו
דוגמא 3:
תחום הגדרה
זוגיות/אי-זוגיות
ולכן אי-זוגית.
נקודות קיצון
ולכן הנקודות החשודות הן
(נשים לב שהנקודות אינן נקודות קיצון כי אינן בתחום ההגדרה).
מקס' או מיני'
נשים לב שסימן הנגזרת נקבע לפי החלק של :
ולכן משמאל ל-6- הפונקציה יורדת ומימין ל-6- היא עולה, כלומר 6- נקודות מיני'.
6 נקודת מקס'.
0 אינה נקודת קיצון כי הפונקציה עולה גם מימין לה וגם משמאל.
תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול
דוגמא:
הנקודות החשודות לפיתול הן . הסימן של נקבע לפי החלק .
נבדוק:
ומכאן מסיקים כי -
בקטע הפונקציה קעורה כלפי מעלה,
בקטע הפונקציה קעורה כלפי מטה,
בקטע הפונקציה קעורה כלפי מעלה,
בקטע הפונקציה קעורה כלפי מטה,
ובנקודה 0 יש נקודות פיתול (כי הנגזרת השניה שלילית עד אליה וחיובית ממנה).
אסימפטוטות
ל- יש 2 אסימפטוטות אנכיות ב-
כי
אסימפטוטה אופקית:
באותו אופן גם אסימפטוטה לכיוון תצא אותו דבר
ולכן אסימפטוטה אופקית לשני הצדדים.
התנהגות הפונקציה באינסוף
עבור הדוגמא שלנו
ציור הפונקציה
משפטים לסיכום:
1) אם גזירה בנקודת קיצון אזי .
2) מבחן הנגזרת השניה - אם ומתקיים אזי נקודת מיני'.
3) אם בקטע אזי הפונקציה יורדת שם. אם אזי הפונקציה עולה שם.
4) אם אזי קעורה כלפי מעלה ב- .
מסקנה: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם אינה קיימת או ש- .