אלגברה לינארית - ארז שיינר
מתוך Math-Wiki
תוכן עניינים
- 1 חומר עזר
- 2 סרטוני ותקציר הרצאות
- 2.1 פרק 1 - שדות
- 2.2 פרק 2- מערכות משוואות לינאריות
- 2.2.1 מבוא למטריצות ולמערכות משוואות לינאריות
- 2.2.2 הגדרת מערכת משוואות לינארית וקבוצת פתרונות
- 2.2.3 פעולות דירוג אלמנטריות
- 2.2.4 ייצוג מערכת משוואות בעזרת מטריצה
- 2.2.5 צורה מדורגת וצורה מדורגת קנונית
- 2.2.6 משתנים חופשיים ותלויים
- 2.2.7 דירוג מטריצה עם פרמטר
- 2.2.8 הוכחת קיום ויחידות צורה מדורגת קנונית
- 2.2.9 תרגול
- 2.3 פרק 3 - אלגברת מטריצות
- 2.4 פרק 4 - מרחבים וקטוריים
- 2.5 פרק 5 - העתקות לינאריות
- 2.6 פרק 6 - דטרמיננטות
חומר עזר
סרטוני ותקציר הרצאות
פרק 1 - שדות
הגדרה ותכונות של שדה
- שדה הוא קבוצה
יחד עם שתי פעולות
כך שמתקיימות התכונות הבאות:
- סגירות: לכל
מתקיים כי
- קומוטטיביות (חילופיות): לכל
מתקיים כי
וכן
- אסוציאטיביות (קיבוץ): לכל
מתקיים כי
וכן
- נייטרליים: קיימים
כך שלכל
מתקיים כי
- נגדיים: לכל
קיים נגדי
כך ש
- הופכיים: לכל
קיים הופכי
כך ש
- דיסטריביוטיביות (פילוג): לכל
מתקיים כי
- יהי שדה
אזי לכל
מתקיים כי
אם ורק אם
או
- תכונות נוספות של שדות
- אם
אזי
- אם
וגם
אזי
שדות סופיים
שדה המרוכבים
הגדרת המספרים המרוכבים
- נסמן
- נובע כי
- הגדרות עבור
- תכונות
אם
צורה קרטזית וצורה קוטבית (פולרית)
- עבור הזוית נחלק למקרים:
- אם
אזי
- אם
וגם
אזי
- אם
וגם
אזי
- אם
אזי
- אם
- עבור
טבעי, ומספר מרוכב
קיימים בדיוק n פתרונות למשוואה
- הנוסחא למציאת כל הפתרונות השונים:
- נעביר את המספר לצורתו הקוטבית
- הפתרונות הם
עבור
- נעביר את המספר לצורתו הקוטבית
תרגול
פרק 2- מערכות משוואות לינאריות
מבוא למטריצות ולמערכות משוואות לינאריות
קבוצת הn-יות הסדורות.
קבוצת המטריצות עם n שורות וm עמודות, ואיברים מהשדה
הגדרת מערכת משוואות לינארית וקבוצת פתרונות
- מערכת משוואות לינארית היא זוג של מטריצת מקדמים
ומטריצת (וקטור) קבועים
.
- קבוצת הפתרונות למערכת המשוואות הלינארית היא קבוצת כל הn-יות המקיימות:
פעולות דירוג אלמנטריות
- שלושת פעולות הדירוג האלמנטריות:
עבור
(כפל שורה במטריצה בסקלר שונה מאפס)
עבור
(הוספה לשורה קבוע כפול שורה אחרת)
(החלפת שתי שורות במטריצה זו בזו)
ייצוג מערכת משוואות בעזרת מטריצה
צורה מדורגת וצורה מדורגת קנונית
- איבר בשורה נקרא פותח/מוביל/ציר אם הוא הראשון משמאל בשורה ששונה מאפס.
- מטריצה נקראת מדורגת אם:
- אם יש שורות אפסים, כולן בתחתית.
- כל איבר פותח נמצא מימין לאיברים הפותחים בשורות מעליו.
- מטריצה נקראת מדורגת קנונית אם:
- היא מדורגת.
- כל האיברים הפותחים שווים ל1.
- בכל עמודה בה יש איבר פותח, כל האיברים מעליו שווים ל0.
משתנים חופשיים ותלויים
- משתנה נקרא תלוי אם בצורה המדורגת של המטריצה יש איבר פותח בעמודה המתאימה לו.
- כל משתנה שאינו תלוי, נקרא משתנה חופשי.
- מציאת כמות הפתרונות של מערכת משוואות לינארית:
- מדרגים את המטריצה שמייצגת את המערכת.
- אם יש שורת סתירה, אין פתרון למערכת.
- אם אין שורת סתירה, ואין משתנים חופשיים (כל המשתנים תלויים) אז יש פתרון יחיד למערכת.
- אם אין שורת סתירה, ויש משתנים חופשיים, כמות הפתרונות היא מספר האיברים בשדה בחזקת מספר המשתנים החופשיים.
- מציאת הפתרון הכללי של מערכת משוואות לינארית:
- מדרגים קנונית את המטריצה שמייצת את המערכת.
- מוודאים שאין שורת סתירה.
- בכל משתנה חופשי מציבים פרמטר.
- מבטאים את המשתנים התלויים באמצעות הפרמטרים שהצבנו.
דירוג מטריצה עם פרמטר
הוכחת קיום ויחידות צורה מדורגת קנונית
תרגול
פרק 3 - אלגברת מטריצות
חיבור מטריצות וכפל בסקלר
- תהיינה
ויהי סקלר
- נגדיר את
על ידי
- נגדיר את
על ידי
- נגדיר את
כפל מטריצות
- תהיינה
- נגדיר את המכפלה
על ידי
- נגדיר את המכפלה
- הוקטור
הוא פתרון למערכת המשוואות עם מטריצת המקדמים
ווקטור הקבועים
אם ורק אם
שיטות לחישוב כפל מטריצות
- חישוב הכפל לפי עמודות
- חישוב הכפל לפי שורות
תכונות של אלגברת מטריצות
וכן
וכן
- מטריצת היחידה
מוגדרת על ידי
- לכל
מתקיים כי
- לכל שלוש מטריצות מתקיים חוק הקיבוץ (אסוציאטיביות)
פתרון כללי למערכת משוואות לא הומוגנית
- פתרון פרטי למערכת הלא הומוגנית + פתרון כללי למערכת ההומוגנית = פתרון כללי למערכת הלא הומוגנית
שחלוף
- עבור
נגדיר את המטריצה המשוחלפת
על ידי
עקבה
- העקבה (trace) של מטריצה ריבועית היא סכום איברי האלכסון:
- עבור
נגדיר
- עבור
- תכונות העקבה:
- דוגמא: לא קיימות מטריצות ממשייות
כך ש
אך
תרגול
מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות
- מטריצה
נקראת הפיכה אם קיימות מטריצות
כך ש
וכן
- אם מטריצה היא הפיכה, קיימת מטריצה יחידה שנסמנה
ונקרא לה ההופכית של
המקיימת
. כמו כן היא המטריצה היחידה המקיימת
.
- תהי
הפיכה, אזי למערכת המשוואות
יש פתרון יחיד, והוא
- תהיינה
הפיכות מעל אותו שדה כך שהכפל
מוגדר, אזי
- תהי
הפיכה אזי
- תהי
הפיכה אזי
- תהי
הפיכה ויהי סקלר
אזי
מטריצות פעולה
- תהי
פונקצית פעולה המבצעת פעולת דירוג אלמנטרית מסוימת.
- לכל
נגדיר את מטריצת הפעולה
.
- לכל מטריצה
מתקיים כי
- מטריצת הפעולה היא הפיכה.
- לכל מטריצה
קיימת מטריצה הפיכה
כך ש
בדיקת הופכיות ומציאת ההופכית
- מטריצה מחלקת אפס אינה הפיכה. כלומר, אם
אך
או
אזי
אינה הפיכה
- אם ב
השורה הi היא שורת אפסים, אזי לכל
כך שהכפל מוגדר, השורה הi ב
היא שורת אפסים.
- ב
לא חייבת להיות שורת אפסים, לעומת זאת.
- ב
- מטריצה עם שורת אפסים אינה הפיכה.
- מטריצה הפיכה חייבת להיות ריבועית.
- מטריצה
היא הפיכה אם ורק אם
- אם
ריבועיות כך ש
אזי
- תהיינה
ריבועיות אזי
הפיכה אם ורק אם
הפיכות שתיהן
- דוגמא לשתי מטריצות לא הפיכות שמכפלתן הפיכה (זה לא סותר את המשפטים לעיל כיוון שהמטריצות אינן ריבועיות).
אלגוריתם לבדיקת הפיכות ומציאת ההופכית
- תהי מטריצה ריבועית
- נדרג את מטריצת הבלוקים
קנונית.
- אם בשלב כלשהו נגלה שבצורה המדורגת של
יש שורת אפסים, אזי היא אינה הפיכה.
- אחרת, הצורה הקנונית של
היא
ולכן היא הפיכה.
- הגענו למטריצת הבלוקים
.
תרגול
תרגול בנושא מטריצות הפיכות ומטריצות פעולה
פרק 4 - מרחבים וקטוריים
הגדרה ותכונות של מרחבים וקטוריים
- מרחב וקטורי
מעל שדה
הוא קבוצת איברים (הנקראים וקטורים) יחד עם פעולת חיבור וכפל בסקלר, כך שמתקיימות התכונות הבאות:
- סגירות:
- חילופיות:
- אסוציאטיביות (קיבוץ):
- נייטרלי לחיבור:
- נגדיים:
- נייטרלי לכפל בסקלר:
- דיסטריביוטיביות (פילוג):
- יהי
מ"ו מעל שדה
ויהיו
אזי:
אם ורק אם
או
- כמו כן,
תתי מרחבים
- יהי
מ"ו מעל שדה
, ותהי
תת קבוצה של וקטורים.
- אזי
נקרא תת מרחב של
אם הוא מהווה מרחב וקטורי יחד עם פעולת החיבור והכפל בסקלר של
.
- יהי
מ"ו מעל שדה
, ותהי
תת קבוצה של וקטורים.
- אזי
תת מרחב אם ורק אם מתקיימים שני התנאים הבאים:
- לכל
ולכל
מתקיים כי
- תהי
אזי קבוצת הפתרונות של המערכת ההומוגנית
הינה תת מרחב וקטורי.
- קבוצת הפתרונות של מערכת לא הומוגנית אינה תת מרחב וקטורי כיוון שהיא אינה מכילה את וקטור האפס.
- אוסף המטריצות הסימטריות מהווה תת מרחב של אוסף המטריצות הריבועיות.
- אוסף הפולינומים שמתאפסים בנקודה מסויימת, מהווה תת מרחב של אוסף הפולינומים.
חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים
- יהי
מ"ו מעל שדה
, ויהיו
, תתי מרחב.
הינו תת מרחב של
.
תת מרחב של
אם ורק אם
או
.
- יהי
מ"ו מעל שדה
, ויהיו
, תתי מרחב.
- נגדיר את סכום תתי המרחבים:
הינו תת המרחב הקטן ביותר שמכיל את
. כלומר סכום תתי מרחבים הוא תת מרחב וגם:
- לכל תת מרחב
מתקיים כי
- לכל תת מרחב
הינו תת המרחב הגדול ביותר שמוכל ב
. כלומר חיתוך תתי מרחבים הוא תת מרחב וגם:
- לכל תת מרחב
מתקיים כי
- לכל תת מרחב
- דוגמא:
- ניתן להציג וקטור בשתי דרכים שונות כסכום של רכיב מU ועוד רכיב מW:
- סכום ישר:
- יהי V מ"ו ויהיו U,W תתי מרחב. אומרים ש
אם מתקיימים שני התנאים הבאים:
- משפט:
אם ורק אם לכל וקטור
קיימת הצגה יחידה
כסכום של רכיבים מU ומW.
- כלומר בדוגמא לעיל, הסכום אינו ישר, כיוון שהצגנו וקטור אחד בשתי דרכים שונות.
תרגול
פרישה ותלות לינארית
- יהי
מ"ו מעל שדה
ותהי
.
- וקטור
נקרא צירוף לינארי של הקבוצה
אם
או קיימים וקטורים בקבוצה
וסקלרים מהשדה
כך ש
- וקטור
- כלומר, ניתן "ליצור" את x בעזרת פעולות המרחב הוקטורי על הקבוצה S (או שx=0)
- אוסף כל הוקטורים במרחב שהם צירופים לינאריים של S נקרא
.
- טענה: יהי V מ"ו ותהי
אזי
הוא תת המרחב הקטן ביותר שמכיל את
. כלומר:
תת מרחב וקטורי
- לכל תת מרחב
כך ש
מתקיים כי עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \subeteq לא מוכרת): S\subseteq span(S)\subeteq T
בסיס ומימד
משפט השלישי חינם
תרגול
משפט המימדים
תרגול
הצגה פרמטרית ואלגברית
שלושת מרחבי המטריצה ודרגת מטריצה
תרגול
פרק 5 - העתקות לינאריות
העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות
- מרחב ההעתקות
גרעין ותמונה
משפט הדרגה
תרגול
מטריצה מייצגת העתקה
יחידות הצגה לפי בסיס, קואורדינטות
משפט קיום ויחידות
מטריצת סכום והרכבה
מטריצות מעבר בין בסיסים
תרגול
- תרגול המכיל קואורדינטות ומטריצות מעבר בין בסיסים
- תרגול בנושא מטריצות מייצגות העתקות
- תרגול נוסף בנושא העתקות