משפט לגראנז' (אינפי)

משפט לגראנז'

תהי f רציפה בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] וגזירה בקטע [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math].

אזי קיימת נקודה [math]\displaystyle{ c\in (a,b) }[/math] עבורה מתקיים [math]\displaystyle{ f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} }[/math]

הוכחה

נחשב את משוואת הישר העובר בין הנקודות [math]\displaystyle{ (a,f(a)),(b,f(b)) }[/math]:

[math]\displaystyle{ y-f(a)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) }[/math]

נחסיר את משוואת הישר הזה מהפונקציה המקורית, ונוכל להפעיל את משפט רול על מנת לקבל את התוצאה הרצוייה.

[math]\displaystyle{ g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)-f(a) }[/math]

קל לראות כי [math]\displaystyle{ g(a)=g(b)=0 }[/math] ו-g מקיימת את שאר תנאיי משפט רול. לכן קיימת נקודה [math]\displaystyle{ c\in (a,b) }[/math] עבורה מתקיים [math]\displaystyle{ g'(c)=0 }[/math]. אבל:

[math]\displaystyle{ 0=g'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a} }[/math]

כלומר

[math]\displaystyle{ f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} }[/math]

כפי שרצינו.

ראו גם

• משפט פרמה
• משפט רול