הוכחת משפט אי השלימות הראשון של גדל
מכיוון שאוסף כל המשפטים בתאורייה הוא בן מנייה ניתן לתת לכל משפט בתאוריה מספר (הנקרא מספר גדל), נסמן מספר זה בסוגריים מרובעים. לדוגמא: אם הוא המשפט השלישי בתאורייה אזי . באופן דומה, נשתמש בסוגריים מסולסלים על מנת לחזור מהמספר אל המשפט. בדוגמא: .
הלמה של טרצקי (Diagonal lemma)
- --לכל פרדיקט עם משתנה מספרי אחד קיים בתאוריה משפט s כך ש:
- s אם"ם
הוכחה
נגדיר פונקציה באופן הבא:
- אם הוא נוסחא עם משתנה מספרי יחיד אזי
- אחרת,
- שימו לב ש הוא הצבת n בנוסחא עם משתנה, ולכן גם מהווה נוחסחא בתאוריה ולכן יש לו מספר גדל.
- כמו כן, שימו לב כי שיטה זו דומה לשיטת האלכסון של קנטור. בכל נוסחא אנו מציבים את מספר הגדל של הנוסחא.
דוגמא:
נניח והמשפט השלישי בתאוריה הוא נוסחא מספרית . במקרה זה
נגדיר כעת את הנוסחא הבאה .
- טענה: לכל x
הוכחה: נניח . לכן עבור . נשים לב כי . בפרט, עבור נובע כי כפי שרצינו.
מצד שני, נניח . אם אזי שקר גורר כל דבר ובפרט את . אם אזי שכן אמת גוררת אמת. ולכן סה"כ, הגרירה נכונה לכל ולכן .
מסקנה: המשפט מקיים כפי שרצינו.