88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/2
- [math]\displaystyle{ \sum\frac{\sqrt[m]{n!}}{\sqrt[k]{(2n)!}} }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ m,k\in\mathbb{N} }[/math]
נפעיל את מבחן המנה (דלאמבר):
- [math]\displaystyle{ \lim \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim \frac{\sqrt[m]{(n+1)!}}{\sqrt[k]{(2(n+1))!}}\cdot\frac{\sqrt[k]{(2n)!}}{\sqrt[m]{n!}}= }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\lim\frac{\sqrt[m]{n+1}}{\sqrt[k]{(2n+1)(2n+2)}}=\lim\frac{\sqrt[m]{n}}{\sqrt[k]{4n^2}}\cdot \frac{\sqrt[m]{1+\frac{1}{n}}}{\sqrt[k]{1+\frac{6}{n}+\frac{2}{n^2}}} }[/math]
הביטוי הימני שואף לאחד, לכן מספיק לנו לחשב את הגבול:
- [math]\displaystyle{ \lim\frac{\sqrt[m]{n}}{\sqrt[k]{4n^2}}=\frac{n^{\frac{1}{m}-\frac{2}{k}}}{\sqrt[k]{4}} }[/math]
נחלק למקרים:
- [math]\displaystyle{ \frac{1}{m}-\frac{2}{k}\gt 0 }[/math] (כלומר [math]\displaystyle{ 2m\lt k }[/math])
אזי
[math]\displaystyle{ \lim \frac{a_{n+1}}{a_n}=\infty }[/math] והטור מתבדר
- [math]\displaystyle{ \frac{1}{m}-\frac{2}{k}\lt 0 }[/math] (כלומר [math]\displaystyle{ 2m\gt k }[/math])
אזי
[math]\displaystyle{ \lim \frac{a_{n+1}}{a_n}=0 }[/math] והטור מתכנס
- [math]\displaystyle{ \frac{1}{m}-\frac{2}{k}=0 }[/math] (כלומר [math]\displaystyle{ 2m=k }[/math])
אזי
לכל k, מתקיים [math]\displaystyle{ \lim \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{\sqrt[k]{4}}\lt 1 }[/math] ולכן הטור מתכנס.