88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/7

חזרה לדוגמאות

• [math]\displaystyle{ \sum\frac{(\alpha n)^n}{n!} }[/math]

ראשית, נפעיל את מבחן המנה (דלאמבר):

[math]\displaystyle{ \lim \frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim\frac{\alpha^{n+1}\cdot (n+1)^{n+1}\cdot n!}{\alpha^n\cdot n^n \cdot (n+1)!}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\lim \alpha\cdot (\frac{n+1}{n})^{n}=\alpha \cdot e }[/math]

כעת, אם [math]\displaystyle{ 0\lt \alpha\lt \frac{1}{e} }[/math] הטור מתכנס.

אם [math]\displaystyle{ \alpha\gt \frac{1}{e} }[/math] הטור מתבדר.

אחרת:

כפי שראינו בערך על המספר e, לכל מספר טבעי n מתקיים:

[math]\displaystyle{ \Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}\gt e }[/math]

ולכן, באופן דומה לתרגיל קודם מתקיים:

[math]\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n}{e}\gt \frac{\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n}{\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}}=\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}} }[/math]

ולכן הטור מתבדר, כיוון שהטור ההרמוני מתבדר.