88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מדמח/פתרון בוחן 2
1
תנאי הכרחי להתכנסות הטור [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math]הוא התכנסות הסדרה לאפס [math]\displaystyle{ a_n\rightarrow 0 }[/math]. תנאי זה הכרחי אבל אינו מספיק.
טור מתכנס בתנאי הינו טור המתכנס, אבל אינו מתכנס בהחלט.
2
א
ברור כי [math]\displaystyle{ max\{a_n,b_n\}\geq a_n }[/math] ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים הטור מתבדר.
ב
כיוון שהטור [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math] מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת לאפס. לכן
[math]\displaystyle{ \frac{|a_nb_n|}{|b_n|}=|a_n|\rightarrow 0 }[/math]
ולכן לפי מבחן ההשוואה השני לטורים חיוביים, הטור [math]\displaystyle{ \sum |a_nb_n| }[/math] מתכנס, כלומר הטור [math]\displaystyle{ \sum a_nb_n }[/math] מתכנס בהחלט.
ג
הוכחה:
כיוון שהטור [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math] מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת לאפס. לכן הסדרה [math]\displaystyle{ \frac{1}{a_n} }[/math]לא חסומה או לא מוגדרת ובכל מקרה אינה שואפת לאפס ולכן הטור [math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{a_n} }[/math] מתבדר.
ד
הפרכה:
[math]\displaystyle{ a_n=(-1)^n\frac{1}{\sqrt{n}} }[/math] מתכנס לפי לייבניץ, אבל [math]\displaystyle{ a_n^2=\frac{1}{n} }[/math] מתבדר
3
א
ב
[math]\displaystyle{ 2^n+(-1)^n2^n\leq 2\cdot 2^n }[/math]
ולכן סה"כ הטור קטן מהטור ההנדסי המתכנס
[math]\displaystyle{ 2\sum (\frac{2}{3})^n }[/math]
ולכן מתכנס
ג