88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מדמח/פתרון בוחן 2

1

תנאי הכרחי להתכנסות הטור [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math]הוא התכנסות הסדרה לאפס [math]\displaystyle{ a_n\rightarrow 0 }[/math]. תנאי זה הכרחי אבל אינו מספיק.

טור מתכנס בתנאי הינו טור המתכנס, אבל אינו מתכנס בהחלט.

2

א

ברור כי [math]\displaystyle{ max\{a_n,b_n\}\geq a_n }[/math] ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים הטור מתבדר.

ב

כיוון שהטור [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math] מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת לאפס. לכן

[math]\displaystyle{ \frac{|a_nb_n|}{|b_n|}=|a_n|\rightarrow 0 }[/math]

ולכן לפי מבחן ההשוואה השני לטורים חיוביים, הטור [math]\displaystyle{ \sum |a_nb_n| }[/math] מתכנס, כלומר הטור [math]\displaystyle{ \sum a_nb_n }[/math] מתכנס בהחלט.

ג

הוכחה:

כיוון שהטור [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math] מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת לאפס. לכן הסדרה [math]\displaystyle{ \frac{1}{a_n} }[/math]לא חסומה או לא מוגדרת ובכל מקרה אינה שואפת לאפס ולכן הטור [math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{a_n} }[/math] מתבדר.

ד

הפרכה:

[math]\displaystyle{ a_n=(-1)^n\frac{1}{\sqrt{n}} }[/math] מתכנס לפי לייבניץ, אבל [math]\displaystyle{ a_n^2=\frac{1}{n} }[/math] מתבדר

3

א

פתרון

ב

[math]\displaystyle{ 2^n+(-1)^n2^n\leq 2\cdot 2^n }[/math]

ולכן סה"כ הטור קטן מהטור ההנדסי המתכנס

[math]\displaystyle{ 2\sum (\frac{2}{3})^n }[/math]

ולכן מתכנס

ג

פתרון

ד

פתרון

ה

נפעיל את מבחן המנה:

[math]\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}{\sqrt{2-\sqrt{2+...}}} }[/math]

נכפיל בצמוד של המונה למעלה ולמטה לקבל:

[math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}{\sqrt{2-\sqrt{2+...}}}=\frac{4-2-\sqrt{2+...}}{\sqrt{2-\sqrt{2+...}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}= }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{2-\sqrt{2+...}}{\sqrt{2-\sqrt{2+...}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}=\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}\leq \frac{1}{\sqrt{2}} \lt 1 }[/math]

ולכן הטור מתכנס.