88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מדמח/פתרון בוחן 2

בוחן 2 לתלמידי מדעי המחשב

1

תנאי הכרחי להתכנסות הטור [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math]הוא התכנסות הסדרה לאפס [math]\displaystyle{ a_n\rightarrow 0 }[/math]. תנאי זה הכרחי אבל אינו מספיק.

טור מתכנס בתנאי הינו טור המתכנס, אבל אינו מתכנס בהחלט.

2

א

ברור כי [math]\displaystyle{ max\{a_n,b_n\}\geq a_n }[/math] ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים הטור מתבדר.

ב

כיוון שהטור [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math] מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת לאפס. לכן

[math]\displaystyle{ \frac{|a_nb_n|}{|b_n|}=|a_n|\rightarrow 0 }[/math]

ולכן לפי מבחן ההשוואה השני לטורים חיוביים, הטור [math]\displaystyle{ \sum |a_nb_n| }[/math] מתכנס, כלומר הטור [math]\displaystyle{ \sum a_nb_n }[/math] מתכנס בהחלט.

ג

הוכחה:

כיוון שהטור [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math] מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת לאפס. לכן הסדרה [math]\displaystyle{ \frac{1}{a_n} }[/math]לא חסומה או לא מוגדרת ובכל מקרה אינה שואפת לאפס ולכן הטור [math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{a_n} }[/math] מתבדר.

ד

הפרכה:

[math]\displaystyle{ a_n=(-1)^n\frac{1}{\sqrt{n}} }[/math] מתכנס לפי לייבניץ, אבל [math]\displaystyle{ a_n^2=\frac{1}{n} }[/math] מתבדר

3

א

פתרון

ב

[math]\displaystyle{ 2^n+(-1)^n2^n\leq 2\cdot 2^n }[/math]

ולכן סה"כ הטור קטן מהטור ההנדסי המתכנס

[math]\displaystyle{ 2\sum (\frac{2}{3})^n }[/math]

ולכן מתכנס

ג

פתרון

ד

פתרון

ה

נפעיל את מבחן המנה:

[math]\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}{\sqrt{2-\sqrt{2+...}}} }[/math]

נכפיל בצמוד של המונה למעלה ולמטה לקבל:

[math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}{\sqrt{2-\sqrt{2+...}}}=\frac{4-2-\sqrt{2+...}}{\sqrt{2-\sqrt{2+...}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}= }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{2-\sqrt{2+...}}{\sqrt{2-\sqrt{2+...}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}= }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{2-\sqrt{2+...}}}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}\leq \frac{\sqrt{2-\sqrt{2+...}}}{\sqrt{2}} \lt 1 }[/math]

ולכן הטור מתכנס.

4

א

מתכונות פונקציות הקוסינוס ניתן לראות שאנו מקבלים סכום של טורים בעלי סדרה השואפת מונוטונית לאפס עם סימנים מתחלפים ולכן מתכנס לפי לייבניץ.

ידוע שהטור אינו מתכנס בהחלט, ולכן סה"כ הטור מתכנס בתנאי

ב

הטור מתבדר שכן סכום איבריו השליליים מתכנס בעוד סכום איבריו החיוביים מתבדר.

ג

הטור מתכנס בהחלט לפי מבחן ההשוואה הראשון עם הטור [math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{n^2} }[/math]