88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/4

נבצע את מבחן ההשוואה הראשון עם הטור ההרמוני [math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{n} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sqrt[n]{n}-1\gt \frac{1}{n} }[/math]

אם"ם

[math]\displaystyle{ \sqrt[n]{n}\gt 1+\frac{1}{n} }[/math]

אם"ם

[math]\displaystyle{ n\gt \Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n }[/math]

אבל כיוון ש [math]\displaystyle{ \Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n }[/math] שואף למספר e מלמטה מתקיים כי

[math]\displaystyle{ \Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n\lt e }[/math]

ולכן, סה"כ, החל מ [math]\displaystyle{ n\gt 3 }[/math] מתקיים

[math]\displaystyle{ n\gt 3\gt e\gt \Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n }[/math]

ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון הטור מתבדר.