קבוצה פורשת

קבוצה B של וקטורים במרחב וקטורי V מעל שדה F פורשת את המרחב, אם כל וקטור ב-v הוא צירוף לינארי (עם מקדמים מ-F) של וקטורי B.

כל קבוצה B פורשת את הקבוצה הנפרשת על-ידיה.

המקרה הסופי. נניח ש-[math]\displaystyle{ \ B = \{v_1,\dots,v_n\} }[/math] היא קבוצה סופית. אז B פורשת את V אם לכל [math]\displaystyle{ \ v\in V }[/math] קיימים [math]\displaystyle{ \ a_1,\dots,a_n \in F }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ \ v = a_1v_1 + \cdots + a_n v_n }[/math].

המקרה הכללי. כאשר B אינה סופית נדרשת הגדרה מעט יותר מורכבת: B פורשת את V אם לכל [math]\displaystyle{ \ v\in V }[/math] קיימים [math]\displaystyle{ \ b_1,\dots,b_n \in B }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \ a_1,\dots,a_n \in F }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ \ v = a_1v_1 + \cdots + a_n v_n }[/math] (אפשר להשתמש, כביכול, בוקטורים שונים מ-B לכל וקטור v).

דוגמאות

וקטורי היחידה [math]\displaystyle{ \ e_1,\dots,e_n }[/math] פורשים את מרחב הוקטורים [math]\displaystyle{ \ F^n }[/math]. הקבוצה [math]\displaystyle{ \ \{1,x,x^2,\dots\} }[/math] פורשת את מרחב הפולינומים [math]\displaystyle{ \ F[x] }[/math].

הקשר לבסיסים

קבוצה פורשת ובלתי תלויה היא בסיס. כל קבוצה פורשת של V מכילה בסיס. כל קבוצה המכילה בסיס היא פורשת.