אינטגרל מסויים

הגדרה

תהי f פונקציה ממשית המוגדרת וחסומה בקטע [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math]. אזי ישנן שתי הגדרות שקולות לאינטגרל המסויים של f בקטע:

• הגדרה לפי דרבו: אם גבול סכומי דרבו התחתונים קיים ושווה לגבול סכומי דרבו העליונים אזי הפונקציה f אינטגרבילית בקטע והאינטגרל המסויים בקטע שווה לגבול סכומי הדרבו
• הגדרה לפי רימן: אם גבול סכומי רימן קיים אזי f אינטגרבילית בקטע והאינטגרל המסויים בקטע שווה לגבול סכומי הרימן

דוגמאות

פונקצית דיריכלה

הוכח כי הפונקציה הבאה אינה אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math]:

[math]\displaystyle{ D(x)=\begin{cases} 1&x\in\mathbb{Q}\\0&x\notin\mathbb{Q}\end{cases} }[/math]

הוכחה. כיוון שבכל חלוקה ובכל קטע קיימות גם נקודה רציונאלית וגם נקודה אי רציונאלית, מתקיים לכל קטע:

[math]\displaystyle{ m_k=\inf\{D(x)|x_{k-1}\leq x\leq x_k\}=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ M_k=\sup\{D(x)|x_{k-1}\leq x\leq x_k\}=1 }[/math]

ולכן כל סכום דרבו תחתון שווה

[math]\displaystyle{ \sum_k0\cdot\Delta_k =0 }[/math]

וכמו כן כל סכום דרבו עליון שווה

[math]\displaystyle{ \sum_k1\cdot\Delta_k=\sum_k\Delta_k=|[0,1]|=1-0=1 }[/math]

שכן סכום אורכי כל תתי הקטעים של החלוקה, שווה לאורך הקטע כולו.

אם כך, גבול סכומי דרבו התחתונים הינו אפס והוא שונה מגבול סכומי דרבו העליונים שהוא 1, ולכן הפונקציה אינה אינטגרבילית בקטע.

פונקצית רימן

הוכח כי הפונקציה הבאה אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math], וכי מתקיים [math]\displaystyle{ \int_0^1R(x)dx=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ R(x)=\begin{cases} \frac{1}{q}&x=\frac{p}{q}\\0&x\notin\mathbb{Q}\end{cases} }[/math]

כאשר [math]\displaystyle{ \frac{p}{q} }[/math] הוא השבר המצומצם של x.

הוכחה. באופן דומה לתרגיל על פונקציה דיריכלה, קל לראות כי גבול סכומי הדרבו התחתונים הוא אפס. לכן ניתן להוכיח כי גבול סכומי דרבו העליונים הוא אפס גם כן.

יהי אפסילון גדול מאפס. צריך למצוא דלתא גדול מאפס כך שלכל חלוקה עם פרמטר חלוקה קטן מדלתא, מתקיים שמרחק סכום הדרבו העליון שלה מאפס קטן מאפסילון.

כיוון שמדובר בפונקציה חיובית, והגבול הינו אפס, צריך להוכיח שלכל חלוקה סכום הדרבו העליון קטן מאפסילון.

כעת נראה כי לכל מספר טבעי [math]\displaystyle{ q }[/math] מספר הנקודות בקטע בהן [math]\displaystyle{ R(x)\geq\frac{1}{q} }[/math] הוא סופי, ונסמן מספר זה ב-[math]\displaystyle{ n_q }[/math]

אכן, הנקודות היחידות המקיימות תנאי זה הן [math]\displaystyle{ 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{4},\frac{2}{4},\frac{3}{4},...,\frac{1}{q},...,\frac{q-1}{q} }[/math] (שימו לב שייתכן שחלק מהשברים הללו אינם מצומצמים ולכן יש אפילו פחות נקודות מאשר ברשימה הזו).

כעת, בהנתן חלוקה P כלשהי, לכל היותר [math]\displaystyle{ n_q }[/math] קטעים מכילים נקודות בהן [math]\displaystyle{ R\geq\frac{1}{q} }[/math], ולכן שטח הפונקציה במלבנים המתאימים לחלקים אלה הוא לכל היותר 1 כפול אורך הקטע.

בשאר הקטעים, גובה הפונקציה חסום על ידי [math]\displaystyle{ \frac{1}{q} }[/math].

לכן סכום הדרבו העליון הוא לכל היותר סכום הקטעים משני הסוגים האלו, ויתרה על כך:

[math]\displaystyle{ \overline{S}(R,P)\leq \frac{1}{q}\cdot |[0,1]| + n_q\cdot\lambda(P) }[/math]

כאשר [math]\displaystyle{ \lambda(P) }[/math] הוא אורך הקטע הכי ארוך בחלוקה. בוודאי אורכי הקטעים המכילים את הנקודות הגבוהות קטנים או שווים לו.

בסה"כ, נבחר q כך ש:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{q}\lt \frac{\epsilon}{2} }[/math]

ולאחר מכן נבחר דלתא כך ש:

[math]\displaystyle{ n_q\delta \lt \frac{\epsilon}{2} }[/math]

וכך קיבלנו את המשל.