88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/פתרון מועד א

1

שאלת הוכחה מההרצאה

2

חשבו את האינטגרלים הבאים:

א

[math]\displaystyle{ \int\frac{dx}{sin(x)} }[/math]

פתרון:

נבצע הצבה אוניברסאלית [math]\displaystyle{ t=tan(\frac{x}{2}) }[/math] לקבל

[math]\displaystyle{ \int\frac{1+t^2}{2t}\frac{2}{1+t^2}dt=ln|t|+c }[/math]

ב

[math]\displaystyle{ \int\frac{xdx}{cos^2(x)} }[/math]

נבצע אינטגרציה בחלקים לקבל

[math]\displaystyle{ \int\frac{xdx}{cos^2(x)}=xtan(x)-\int tan(x) = xtan(x)-ln|cos(x)|+c }[/math]

ג

[math]\displaystyle{ \int\frac{t^7}{1+2t^4+t^8}dt }[/math]

ניתן לבצע את האלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית

או ההצבה [math]\displaystyle{ x=t^4 }[/math] באופן הבא:

[math]\displaystyle{ \int \frac{t^7}{1+2t^4+t^8}dt=\int\frac{x}{4(1+2x+x^2)}dx=\frac{1}{8}\int\frac{2x+2-2}{(1+x)^2}dx=\frac{1}{8}ln[(1+x)^2]+\frac{1}{4}\frac{1}{1+x}+c }[/math]