88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/פתרון מועד א

1

שאלת הוכחה מההרצאה

2

חשבו את האינטגרלים הבאים:

א

[math]\displaystyle{ \int\frac{dx}{sin(x)} }[/math]

פתרון:

נבצע הצבה אוניברסאלית [math]\displaystyle{ t=tan(\frac{x}{2}) }[/math] לקבל

[math]\displaystyle{ \int\frac{1+t^2}{2t}\frac{2}{1+t^2}dt=ln|t|+c }[/math]

ב

[math]\displaystyle{ \int\frac{xdx}{cos^2(x)} }[/math]

נבצע אינטגרציה בחלקים לקבל

[math]\displaystyle{ \int\frac{xdx}{cos^2(x)}=xtan(x)-\int tan(x) = xtan(x)+ln|cos(x)|+c }[/math]

ג

[math]\displaystyle{ \int\frac{t^7}{1+2t^4+t^8}dt }[/math]

ניתן לבצע את האלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית

או ההצבה [math]\displaystyle{ x=t^4 }[/math] באופן הבא:

[math]\displaystyle{ \int \frac{t^7}{1+2t^4+t^8}dt=\int\frac{x}{4(1+2x+x^2)}dx=\frac{1}{8}\int\frac{2x+2-2}{(1+x)^2}dx=\frac{1}{8}ln[(1+x)^2]+\frac{1}{4}\frac{1}{1+x}+c }[/math]

3

א

קבעו האם האינטגרל הבא מתכנס או מתבדר:

[math]\displaystyle{ \int_0^\infty\frac{arctan(x)}{x}dx }[/math]

פתרון: כיוון ש[math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\frac{arctanx}{x}}{\frac{1}{x}}=\frac{\pi}{2} }[/math]

וכיוון ש[math]\displaystyle{ \int_1^\infty\frac{1}{x}dx }[/math] מתבדר

שני האינטגרלים חברים ומתבדרים יחדיו.

ב

הוכיחו שאם [math]\displaystyle{ p(x) }[/math] פולינום שאינו שווה זהותית לאפס, אזי האינטגרל [math]\displaystyle{ \int_1^\infty p(x)dx }[/math] מתבדר.

פתרון:

אם הפולינום אינו זהותית אפס, האינטגרל הלא מסויים שלו [math]\displaystyle{ q(x)=\int p(x)dx }[/math] בעל מעלה גדולה או שווה לאחד. ולכן

[math]\displaystyle{ \int_1^\infty p(x)dx=\lim_{b\rightarrow\infty}\int_1^b p(x)dx=\lim_{b\rightarrow\infty}[q(b)-q(1)]=\infty }[/math]

האחרון מתבדר כיוון שהמעלה של q גדולה או שווה לאחד.

4

מצאו את טור מקלורין של הפונקציה [math]\displaystyle{ f(x)=cos^2(x) }[/math] וקבעו את רדיוס ההתכנסות של הטור.

פתרון:

ראשית, נשים לב כי [math]\displaystyle{ cos^2(x)= \frac{cos(2x)-1}{2} }[/math].

שנית, נזכר או נפתח את הטור [math]\displaystyle{ \cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} }[/math]

וביחד נקבל

[math]\displaystyle{ cos^2(x)=\frac{1}{2}[\sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} (2x)^{2n} - 1]= \frac{1}{2}[\sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n 4^n}{(2n)!} x^{2n} - 1] }[/math]

קל לחשב רדיוס התכנסות של טור זה ולהראות שהוא אינסוף.

5

נגדיר סדרת פונקציות [math]\displaystyle{ f_n(x)=\frac{x^n}{1+x^n} }[/math]

א

קבעו אם הסדרה מתכנסת במ"ש בקטע [math]\displaystyle{ [0,\frac{1}{2}] }[/math]

פתרון:

קל לראות שבקטע זה גבול הסדרה הוא הפונקציה ששווה זהותית אפס, ולכן יש לחשב את הגבול:

[math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow\infty}\Big[\sup_{x\in [0,\frac{1}{2}]}|\frac{x^n}{1+x^n}|\Big] }[/math]

נגזור על מנת למצוא את המקסימום:

[math]\displaystyle{ \Big(\frac{x^n}{1+x^n}\Big)' = \frac{nx^{n-1}(1+x^n) - nx^{n-1}\cdot x^n}{(1+x^n)^2}=\frac{nx^{n-1}}{(1+x^n)^2} }[/math]

הנגזרת מתאפסת באפס, לכן המקסימום הוא בקצוות

[math]\displaystyle{ f_n(0)=0 }[/math],

[math]\displaystyle{ f_n(\frac{1}{2})=\frac{1}{2^n+1} }[/math]

ולכן

[math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow\infty}\Big[\sup_{x\in [0,\frac{1}{2}]}|\frac{x^n}{1+x^n}|\Big]= \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2^n+1}=0 }[/math]

ולכן הסדרה מתכנסת במ"ש.

ב

קבעו אם הסדרה מתכנסת במ"ש בקטע [math]\displaystyle{ [\frac{1}{2},\frac{3}{2}] }[/math]

פתרון:

קל לראות כי פונקצית הגבול בנקודה 1 היא חצי, לכל נקודה גדולה מ1 היא 1 ולכל נקודה קטנה מאחד היא אפס. לכן פונקצית הגבול אינה רציפה, ולכן ההתכנסות אינה במ"ש (שכן התכנסות במ"ש של פונקציות רציפות היא רציפה).

6

הוכח כי הפונקציה [math]\displaystyle{ F(\alpha)=\int_1^\infty x^\alpha e^{-x}dx }[/math] רציפה בכל הממשיים

פתרון: