אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

[math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow\infty}f_n }[/math]

הוראות

כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על [עריכה] (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:

== כותרת לשאלה ==

לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על שמירה למטה מימין

ארכיון

ארכיון 1 - תרגיל 1 ו2

ארכיון 2 - תרגיל 3

ארכיון 3 - תרגיל 3

ארכיון 4 - תרגיל 4

ארכיון 5 - תרגיל 4,5

ארכיון 6 - תרגיל 6

ארכיון 7 - (מי עוקב)

ארכיון 8

ארכיון 9 - לקראת הבוחן

ארכיון 10 - פוסט בוחן

שאלות

שאלה

בתרגיל 2 סעיף a, צריך בכלל את העובדה שf יורדת? אי אפשר להניח בשלילה שהגבול הוא לא 0 ולכן קיים אפסילון כך שלכל x0 קיים x>x0 שעבורו מתקיים ש|fx| גדול שווה לאפסילון וכך להמשיך ולהגיע לסתירה?

עוד שאלה. מותר לי להשתמש בכל המשפטים על אינטגרלים רגילים, כמו למשל שאי שיוויון ברמת האינטגרל גורר אי שיוויון ברמת הפונקציה או שהאינטגרל בין a לX של 1*dx הוא X-a, גם באינטגרלים לא אמיתיים?

תשובה

ראינו בשיעור דוגמא לכך שהאינטגרל הלא אמיתי מתכנס אבל הפונקציה לא שואפת לאפס ואף לא חסומה (!) לכן בוודאי לא נצליח להוכיח את זה לפונקציה כללית.

אי שיוויון ברמת האינטגרל לא גורר אי שיוויון ברמת הפונקציה אלא להפך. אפשר להשתמש במשפטים רק כאשר הם נכונים. יש לזכור שהאינטגרל הלא אמיתי מוגדר כגבול של אינטרגלים אמיתיים. (לכן למשל אי שיווין ברמת הפונקציה יגרור אי שיוויון של כל האינטגרלים האמיתיים ולכן יגרור אי שיוויון חלש באינטגרל האינסופי).

אוקי. ואם יש לנו אינטגרל של 1 מa עד x. זה בעצם אינסוף, לא? לפי הגדרה זה שווה לאורך הקטע, ומכיוון שאורך הקטע הוא אינסופי - כך גם האינטגרל..

ומה לא בסדר עם ההוכחה שלי? איזה שלב לא נכון? הנחתי בשלילה שהגבול הוא לא 0 ואז קיים אפסילון כך שלכל x0 קיים x>x0 שעבורו |fx|>=E. (בתפקיד האפסילון - E). עכשיו, נפעיל אינטגרל על שני הצדדים ונשאיף אותו לאינסוף. נקבל שהאינטגרל הלא אמיתי של f(x) שואף גם הוא לאינסוף..

מa עד x זה אורך הקטע. מa עד אינסוף האינטגרל של 1 הוא אכן אינסוף (השטח של מלבן ברוחב 1 ואורך אינסופי הוא אינסוף

הבעייה עם "ההוכחה" היא שהיא לא הוכחה בכלל. הראת שיש אינסוף נקודות בהן הפונקציה גדולה מאפסילון. אז מה? לפונקציה יש "גבעות" (או בדוגמא שהראנו משולשים) שהגובה שלהם קבוע, אבל הרוחב הולך וקטן ולכן השטח הולך וקטן. הסכום האינסופי של השטחים האלה מתכנס.

עכשיו ראיתי עוד טעות שעשית. בעקבות אי השיויון במספר מסויים של נקודות הנחת שיש אי שיוויון ברמת האינטגרל, אבל זה אסור כמובן. צריך להראות שהפונקציה גדולה בגל מקום מאפסילון (וזה לא נכון)

תודה רבה :)

שאלה

בתרגיל 5, למה צריך את נוסחת בונה? אי אפשר פשוט לפצל את האינטגרל לאינטגרל ל"א מסוג 1 ול"א מסוג 2 ואז להוכיח עבור כל אחד בנפרד? (לפי מבחן ההשוואה+דיריכלה)

תשובה

אפשר, אבל הרעיון הוא להשתמש בנוסחאת בונה

פתרון לשאלת אתגר

נכון מאד

(קל יותר לומר שהפונקציה מוגדרת בקטע, ולכן חסומה על ידי הקצוות)

שאלה

איך הקבוצה של רוני יכולה לפתור את התרגיל עד יום שלישי?יש שם כמה דברים שלא למדנו.....

תשובה

אין שם דברים שלא למדתם, אם אני טועה אני אשמח לשמוע איזה תרגילים כוללים חומר שלא נלמד.

הדבר היחיד שלא תרגלתם הוא מבחן האינטגרל, שאין מה ללמוד אותו לצורך התרגיל, אני אצטט אותו:

תהי f פונקציה חיובית יורדת עבור [math]\displaystyle{ x \geq 1 }[/math] אזי

[math]\displaystyle{ \int_1^{\infty}f }[/math] מתכנס אם"ם הטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty}f(k) }[/math]

בטח שצריך! זה מוכיח את 2.ב. לא?

לא אמרתי שלא צריך להשתמש בו (להפך, לכן ציטטתי אותו) אמרתי שאין מה ללמוד בזה, פשוט להשתמש במשפט.

אהה....תודה...

שאלה

לעתים נתונים לנו אינטגרלים לא אמיתיים שהם "משני הסוגים", כלומר בקצה אחד הם לא חסומים והקצה השני הוא אינסוף. כדי לקבוע התכנסות או התבדרות של אינטגרלים כאלה, האם אפשר להפעיל פשוט את מבחן ההשוואה על הפונציה כולה? או שיש לפצל אותו לשני אינטגרלים ואז לגבי כל אינטגרל לקבוע התכנסות או התבדרות? למשל בשאלה 6 בתרגיל 9. האם עלי לפצל את האינטגרל לסכום של שני אינטגרלים ואז לבדוק עבור כל אינטגרל הנפרד את ערכי אלפא שעבורם האינטגרל מתכנס, ואז לבדוק את ערכי האלפא שגורמים לשני האינטגרלים להתכנס? או שאני יכול לעבוד על אינטגרל הזה בתור יחידה אחת?

תשובה

מבחן ההשוואה הרגיל לא קשור בצד הגבול, ואם תעשה אותו עם פונקציה שמתכנסת בשני הצדדים גם הפונקציה שלך תתכנס בשני הצדדים.

מבחן ההשוואה הגבולי הוא לקיחת גבול (אינסוף או a) ולכן בכל מקרה צריך להפעיל אותו פעמיים גם אם תיקח את אותה פונקציה.

בכל אופן התשובה היא שצריך לפרק, אין באמת כזה דבר לעבוד כיחידה אחת.

בקשת דחייה

היי ארז. האם נוכל להגיש את התרגיל ביום שלישי? להרבה מאיתנו יש בגרות בתנ"ך ביום ראשון.

תשובה

כן אפשר להגיש בשלישי לתרגול של תומר (אבל לא אחרי)

תרגיל 9 שאלה 2 סעיף ב

הצלחתי להוכיח שהסדרה n*f(n מתכנסת ל-0. האם אני בכיוון?

תחשוב קצת. ותשתמש ברמז

הבעיה זה שהכיוון שהרמז הולך אליו זה לסדרות וטורים, אבל קשה לעבור מהתכנסות של סידרה להתכנסות של פונקציה אלא אם כן יודעים בודאות שהפונקציה מתכנסת באינסוף..

יש קשר בין הטור ברמז לבין הפונקציה. זו לא סתם פונקציה יש עליה נתונים. תעבוד עוד קצת ותפתור את התרגיל

אני מדבר על סעיף ב'. איזה נתונים יש על [math]\displaystyle{ x*f(x) }[/math]?

יש נתונים על f

הצלחתי להוכיח את הרמז, אבל אני נתקע עוד פעם באותה בעיה: הוכחתי שקיימת סדרה [math]\displaystyle{ {an} }[/math] ששואפת לאינסוף כך שהסדרה [math]\displaystyle{ g(an) }[/math] שואפת לאפס. אבל זה עדיין לאמר אומר לי שהפונקציה [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] שואפת לאפס.. אפשר כיוון חשיבה לגבי איך חוזרים מהסדרות לפונקציה?

באופן כללי במתמטיקה שיטה טובה היא לנסות לסתור. תנסה למצוא f שתהיה דוגמא נגדית ותראה באיזו בעייה אתה נתקל. ככה אולי תבין למה הפונקציה שואפת לאפס ואיך להוכיח את זה.

ניתן לאמר לאחר הוכחת הרמז ש x*f(x או אינה מתכנסת באינסוף, או מתכנסת לאפס. האם עלי לשלול את האפשרות הראשונה?

אתה צריך להוכיח שהגבול הינו אפס.

תודה רבה.

ציוני הבוחן

מתי יהיו ציונים של הבוחן? ואתם תוכלו לפרסם אותם באתר לפי ת.ז.?

תשובה

הם יהיו כשנסיים לבדוק אותם, אני מקווה שבמהרה. תמיד אנחנו מפרסמים לפי ת.ז.

שאלה

בקשר להגדרה 'מוגדרת היטב' (בשאלה 8). יספיק לי להוכיח שהאינטגרל מתכנס כדי להראות שהיא מוגדרת היטב, נכון? למרות שזה לא תנאי הכרחי אלא מספיק..

(לא ארז/תומר) זהו תנאי הכרחי ומספיק. (אם האינטגרל מתבדר, מה יהיה ערך הפונקציה בנקודת ההתבדרות?)

לא, אבל יכול להיות שהגבול יהיה אינסוף. למשל הפונקציה 1/x, לא מוגדרת ב0 אבל היא עדיין מוגדרת היטב והכול.. לא?

לא...1/x מוגדרת רק עבור x שונה מאפס. פונקציה מחזירה ערך ממשי (לא אינסופי) בכל נקודה בה היא מוגדרת. לכן האינטגרל חייב להתכנס בנקודות בהן הפונקציה מוגדרת.

תשובה

נכון. פונקציה מוגדרת היטב אם בכל נקודה היא מוגדרת, והיא חד ערכית.

דוגמא לפונקציה שאינה מוגדרת היטב: הפונקציה ששולחת את x למספר שריבועו שווה x. עבור x>0 לפונקציה יש יותר מערך אחד, ועבור x<0 אין לפונקציה ערך בכלל. הפונקציה הזו מוגדרת היטב עבור 0 בלבד.

דוגמא נוספת: הפונקציה ששולחת מספר רציונאלי למונה שלו. הפונקציה יכולה לשלוח את חצי לכל מספר שלם k שכן k/2k הוא חצי. לעומת זאת, הפונקציה ששולחת מספר רציונאלי למונה של השבר המצומצם שלו הינה מוגדרת היטב.