אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

[math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow\infty}f_n }[/math]

הוראות

כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על [עריכה] (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:

== כותרת לשאלה ==

לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על שמירה למטה מימין

ארכיון

ארכיון 1 - תרגיל 1 ו2

ארכיון 2 - תרגיל 3

ארכיון 3 - תרגיל 3

ארכיון 4 - תרגיל 4

ארכיון 5 - תרגיל 4,5

ארכיון 6 - תרגיל 6

ארכיון 7 - (מי עוקב)

ארכיון 8

ארכיון 9 - לקראת הבוחן

ארכיון 10 - פוסט בוחן

ארכיון 11 - תרגיל 9

ארכיון 12 - תרגיל 9

שאלות

תומר - הסמסטר הולך ומסתיים לו . מי שרוצה לקבוע איתי פגישה ("שעת קבלה " ) - מוזמן לעשות זאת ועדיף לא לדחות עד סוף הסמסטר ממש ובסמוך למבחן ! שילחו לי מייל לתיאום : yaniv_to@netvision.net.il

תגידו, לא שאני רוצה- אבל יהיה תרגיל 10 השבוע או שקיבלנו שבוע חופש מתרגיל?

יהיה תרגיל, עוד לא החלטנו לגבי תאריך ההגשה.

יש לי בקשה מכם - והיא בשם הרבה מאיתנו - בשבוע הקרוב יש בגרות בלשון (שבניגוד לתקופה שלכם, ארז ותומר, חלקו אותה לשני חלקים, וההבעה מהווה מחצית ממנה, כולל חיבור, כלומר כבר לא כל אחד יכול להוציא 100 בלי להתאמץ, וכרגע מי שמוציא מעל 90 נחשב לגאון), ו-4 ימים אח"כ יש בגרות בהיסטוריה (...) אין לי בעיה להגיש אפילו 3 תרגילים ביחד, אבל אפשר שהכל יקרה אחרי הבגרות בהיסטוריה, כלומר אחרי ה-21 בחודש? (ורצוי שלא ביום שאחריה...) תודה רבה!

ראיתי שהוספתם תרגיל 10 אתמול בלילה (חמישי-שישי). למתי צריך להגיש אותו?

שאלה

אם טור פונקציות מתכנס במ"ש בקטע I, למה זה אומר שהסס"ח שלו חסומה במשותף? :)

(לא ארז/תומר) מה זה חסומה במשותף?

הכוונה היא שקיים M כך שלכל X בקטע ולכל K טבעי מתקיים: הערך המוחלט של Fk(x) קטן שווה מM.

בוא ניקח את הטור שהאיבר הראשון שלו הוא הפונקציה [math]\displaystyle{ \frac{1}{x} }[/math] ושאר איבריו הם אפס, בקטע הפתוח (0,1). הטור כמובן מתכנס במ"ש שכן הפרש בין הפונקציה הגבולית לסדרת הסכומים החלקיים הוא תמיד אפס קבוע. אבל סדרת הסכומים החלקיים היא קבועה על הפונקציה [math]\displaystyle{ \frac{1}{x} }[/math] שאינה חסומה.

אז הטענה בעצם אינה נכונה? השתמשנו בזה בהוכחת משפט אבל. (רגע, למה ההפרש בין הפונק' הגבולית לסס"ח הוא 0 קבוע? הפונק' הגבולית שווה ל0 והסס"ח הוא 1/x. הערך המוחלט של ההפרש ביניהם הוא גם 1/x

אני מקווה שאני לא טועה, אתה יכול לנסח איך בדיוק השתמשתם בזה בהוכחה? בכל אופן הפונקציה הגבולית של הטור הינה [math]\displaystyle{ \frac{1}{x} }[/math] ולא אפס. מה פתאום אפס? הרי זה סכום הפונקציות ויש כאן פונקציה אחת בלבד. באופן כללי אם [math]\displaystyle{ u_1=f(x),u_2=u_3=...=0 }[/math] אזי הטור [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^{\infty}u_i=f(x) }[/math] כי [math]\displaystyle{ \forall n : S_n(x)=f(x)+0+0+...+0=f(x) }[/math]

כן, צודק לגבי ה1/x (בטעות השאפתי בראש את x לאינסוף במקום את n). במשפט אבל אמרנו שהטור bk(x) qq מתכנס במ"ש בI ומכאן שהסס"ח שלו חסומה במשותף שם..

בטוח שסדרת הסכומים החלקיים ולא הסדרה עצמה? גם עבור הסדרה רק החל מ-n מסויים.

שאלה

מה נסגר עם הבחנים? תודה, נזכה לראותם?

תומר - כרגע התכנון הוא לעשות לכם פתיחת מבחנים , מועד ב למי שזכאי , ושיעור השלמה - כולם באותו יום כדי להיות יעילים . מועד על כך יפורסם בהקדם .

שאלה

בפתרון לשאלת האתגר, למה הפונקציה מוגדרת על הקטע [a,b]? לא יתכן מצב בו היא לא מוגדרת למשל בנק' אחת בקטע הסגור? (נניח אי רציפות סליקה)..? לא צריך לדרוש מראש שהפונק' תהיה מוגדרת בקצוות?(אחרת, אי אפשר לדעת שהפונק' חסומה)

תשובה

הנתון הוא שהפונקציה מוגדרת. אחרת המשפט לא בהכרח נכון (קח לדוגמא פונקציה שלא מוגדרת על כל האי רציונליים, וברציונליים היא הזהות).

שאלה

תרגיל 10 שאלה 2 אם f לא רציפה בהכרח, איך יתכן שיש התכנסות במידה שווה?

תשובה

כי אז גם הפונקציות f_n לא יהיו רציפות...

שאלה

מה שאומר התנאי זה בעצם שאם fn רציפות וההתכנסות במידה שווה, זה גורר שf רציפה?

תשובה

כן.

יכול להיות שf_n רציפות וf רציפה אבל ההתכנסות אינה במ"ש.

יכול להיות שf_n אינן רציפות וההתכנסות היא במ"ש אבל f רציפה.

יכול להיות שf_n אינן רציפות וההתכנסות היא במ"ש אבל f כן רציפה.

וכו'.

שאלה 1 סעיף ג

באיזה קטע מדובר?

תומר - הכוונה OTHER - לכל X ממשי .

שאלה

מתי מגישים את תרגיל 10?

תשובה

במפגש הבא שלנו. נודיע על התאריך כשנדע אותו

שאלה

בתרגיל 4, סעיף ד': מה הכוונה על הישר? על כל הממשיים?

תומר טקסט מודגש - שיניתי למספרים החיוביים - נוסח חדש יפורסם בקרוב. ( הכוונה היא בתחום ההגדרה אך למען הסדר הטוב שיניתי זאת למספרים הממשיים החיוביים ) .

כלומר בתחום (0,infinity)?

כן, ראה תרגיל מעודכן

שאלה

בשאלה 1 בסעיף ג', מותר לומר שהפונק' מתכנסת נקודתית בטוח כי היא מקבלת רק שני ערכים קבועים? וכשn שואף לאינסוף זה לא ישנה אותם? (בעצם פונק' הגבול תהיה 0 תמיד.. כי X הוא מס' ממשי)

תשובה

מה הקשר בין מספר הערכים שפונקציה מקבלת לבין קיום גבול?

קצת הסתבכתי עם ההוכחה הפורמלית ממש לפי הגדרת הגבול..

אז תתאמץ עוד קצת. חשוב שתבין כיצד מחשבים גבול נקודתי. זה לא מסובך, פשוט מניחים שx הוא קבוע (כמו פרמטר).

שאלה

ב1 הכוונה היא לבדוק אם הפונקציה מתכנסת נקודתית או במ"ש בקטעים הנתונים, כן?

תשובה

כן, או בכלל לא אם זה המצב

שאלה

האם תרגיל 10 הוא התרגיל האחרון?תודה!

נראה

שאלה על תרגיל 10 שאלה 5

האם בשאלה זו f היא בהכרח פונקציה רציפה?

לא.

שאלה

יש לי שאלה שיכולה להיות אולי משפט נחמד - נניח שיש לי סדרת פונקציות *רציפות* לפי n בקטע כלשהו (גם אם הוא פתוח), שהן חסומות, וערך הקיצון שלהן (בערך מוחלט) שואף לאפס כאשר n שואף לאינסוף, וכך גם הגבולות של הקצוות, האם ניתן לומר שסדרת הפונקציות הזו מתכנסת ל-0?

תשובה

כן, זה אומר שהחל מ-n מסוים הפונקציה בערך מוחלט קטנה מאפסילון בכל נקודה (כאשר ערך הקיצון והקצוות שלה קטנים ממנו) כלומר [math]\displaystyle{ \forall n\gt n_0,\forall x:|f_n(x)-0|\lt \epsilon }[/math]. לכן הסדרה מתכנסת במ"ש לאפס.

שאלה - גבול של סדרת פונקציות

מותר לי לומר שסדרת פונקציות מתכנסת לשתי פונקציות גבול (כתלות בתחום, שתלוי ב-n)? אם שני התחומים הללו מכסים את כל הישר, האם מותר לי לומר עקב כך שתחום ההתכנסות הוא כל הישר?

תשובה

תחום בוודאי לא תלוי בn.

התכנסות הינה נקודתית, ולכן התכנסות בקטע אומרת התכנסות בכל נקודה של הקטע. אם הסדרה מתכנסת על כמה קטעים, אז היא מתכנסת בכל נקודה מכל אחד מהקטעים ולכן היא מתכנסת על איחוד הקטעים.

התכנסות במ"ש זו שאלה אחרת קצת, יש לכם שאלה דומה בתרגיל הבית.

פונקציה הופכית של פונקציה מונוטונית

איך ניתן להראות שאם [math]\displaystyle{ f: [a,b] \rightarrow [c,d] }[/math] מונוטונית בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] אזי גם הפונקציה ההפוכה שלה, לאמור [math]\displaystyle{ f^{-1}: [c,d] \rightarrow [a,b] }[/math] מונוטונית בקטע [math]\displaystyle{ [c,d] }[/math]

תשובה

אם a<b אזי [math]\displaystyle{ f(a)\lt f(b) }[/math]. נובע מכך שאם [math]\displaystyle{ f(b)\lt f(a) \in [c,d] }[/math] אזי b<a כלומר [math]\displaystyle{ f^{-1}(f(b))\lt f^{-1}(f(a)) }[/math]

כמובן שצריך לשים קטן/גדול שווה במקומות המתאימים.

תודה רבה!

שאלה

האם בשאלה 4 עם הטורים,מותר להיעזר במבחני דיריכלה ואבל?

תשובה

ניתן להשתמש בכל משפט שלמדנו

תומר - אוסיף עוד שבשיעור ההשלמה נעבור גם על מבחנים אלו ועל טורי חזקות

שאלות

1. האם כל ה-"מבחנים", כגון - משפט דיני, ומבחני התכנסות למינהם, תקפים גם כאשר הקטע הינו אינסופי? למשל ב- [math]\displaystyle{ [0,+\infty] }[/math]

2. בשאלה 3 מה הכוונה בכל קטע סופי על הישר? מה התרומה בכך??

תשובה חלקית

לגבי דיני, תחשוב על הטור [math]\displaystyle{ \sum \frac{1}{(1-\frac{1}{x})^n} }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ [1,\infty] }[/math]

תחשוב על זה מול ההוכחה של דיני

מה זה משפט דיני? האם הקבוצה של שיין למדה אותו?

לא יודע. מבחן דיני אומר שאם יש לך טור של פונקציות רציפות אי שליליות ופונקצית גבול הטור הינה רציפה אזי הטור מתכנס במ"ש. נובע מכך שטור של פונקציות רציפות אי שליליות מתכנס במ"ש אם"ם סכום הטור הינו פונקציה רציפה. (המשפט נכון, כאמור, על קטע סופי [a,b].)

תיקון קל לתרגיל

בשאלה 4 א' הטור צריך להתחיל מ-n=2, מפני שהמכנה בשבר בתוך ה-ln לא מוגדר עבור n=1.

נכון תודה

שאלה

יש לי שאלה אני פשוט מבולבל בתאריכים מתי יש שיעור עם רוני? למתי צריך להגיש את תרגיל 10? ומתי יש שיעור חזרה/השלמה לקבוצה של תומר? תודה ברה ושיהיה שבוע טוב לכולם!

מחר אין שיעור עם רוני. ביום שני יש שיעור עם רוני מ4 עד 8..וב6.7 יש תרגיל עם תומר,לא יודע שעות. אני חושב שבאותו יום יש גם פתיחת מחברות וומועד ב' של הבוחן. תרגיל 10 כדאי כמה שיותר מוקדם אם אתה רוצה אותו חזרה,אבל לפי מה שהבנתי אפשר להגיש אותו גם בתרגיל שיהיה ב6.7. שבוע טוב.

שאלה

בשאלה 4 ד', איך אפשר להוכיח / להפריך התכנסות במ"ש? כל המבחנים שלמדנו לא עובדים, בין היתר כי אי אפשר למצוא את פונקציית הסכום...

   תומר  - נסה להשתמש באחד הקריטריונים השקולים להתכנסות במידה שווה...

שאלה למתרגלים

מהי רמת הקושי של התרגילים בתרגיל 10? האם הם קלים? קשים? האם ייתכנו תרגילים ברמת קושי כזו במבחן? אני שואל כדי שנוכל להעריך את רמת הידיעות שלנו לקראת המבחן. תומר - הממ , רמה בינונית ! ולא לשכוח שעדיין לא כוסו בתרגיל זה מבחני דיני , אבל ודיריכלה . בנוסף - יינתן תרגיל נוסף , ללא הגשה אך כן עם חובה לדעת פתרונותיו - עבור מבחנים אלו וטורי חזקות - שזהו חומר חשוב מאוד ורק בגלל אילוצי החגים והבגרויות שלכם לא ייבדקו .

שאלה

נינתנה לנו הודעה מהאוניברסיטה להתעדכן לגבי שיעור השלמה לתירגול. בדקתי במייל ובדקתי פה ולא מצאתי שום איזכור לדבר. האם יתקיים שיעור תירגול נוסף? אם כן, מתי יתקיים? האם נצטרך להגיש את תרגיל 10 שם?

תגישו את 10 אכן ביום הזה, התאריך נדמה לי 6.7 אנחנו נודיע במסודר מה התכנון בקרוב. ביום הזה גם יהיה בוחן למי שצריך ופתיחת מחברות ושיעור השלמה כאמור.

שאלה 4

בשאלה 3, הכוונה לכל קטע פתוח/חצי פתוח/סגור, נכון? לא רק לקטעים הסגורים.. הדרך היחידה שנראית לי הגיונית להוכיח את הבמ"ש היא לפי הגדרה, אבל זה מסובך מדי.. יש מצב שיהיה שימוש באיזה 'טריק' שקשור לאחד המשפטים שלמדנו?

תשובה

אם זה נכון לכל קטע מסוג מסוים אז זה נכון לכל קטע (הרי קטע חצי פתוח מוכל בתוך קטע סגור ובתוך קטע פתוח גדול יותר).

יש מצב

אז אפשר בעצם להוכיח לפי דיני?

אפשר להוכיח בכל דרך שהיא אכן מוכיחה

שאלה

ב4 ב'. אם בחרתי להוכיח לפי סכום של סדרה הנדסית שה|q| שלה קטן מ1.. יש מצב שיש טעות בתרגיל והכוונה היא לx שייך לקטע הפתוח (0,infinity)? כי עבור x=0, המנה יוצאת 1..

[math]\displaystyle{ 0^2=0 }[/math]

שאלה

האם זה נכון שסדרת פונקציות, [math]\displaystyle{ (f_n(x))_{n=1}^{\infty} }[/math], מתכנסת בקטע [math]\displaystyle{ [a,\infty] }[/math] במ"ש אם"ם מתקיים:

[math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty}\lim_{x \rightarrow \infty} (f(x)-f_n(x)) = 0 }[/math]

כאשר, [math]\displaystyle{ f }[/math] זו הפונקציה הגבולית.

פשוט זה יכול לעזור לי בקביעה באם ההתכנסות היא במ"ש...

לא. מה אם חוסר ההתכנסות במ"ש קורה בצד הסופי? [math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{x^n} }[/math] ועבור x=1 הטור מוגדר להיות אפס.

הבנתי... אבל אפשר להשאיר מהמשפט רק את הכיוון של אם ההתכנסות במ"ש אז... כי אם ההתכנסות במ"ש אזי ש-

[math]\displaystyle{ f_n(x)-f(x) \leq \sup_{[a,\infty]}|f_n(x)-f(x)| := A_n }[/math], ולכן,

[math]\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow \infty}(f_n(x)-f(x)) \leq A_n }[/math], אבל צריך להתקיים, כיוון שההתכנסות במ"ש, ש- [math]\displaystyle{ A_n \rightarrow 0 }[/math]

ולפיכך, נקבל ש- [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} \lim_{x \rightarrow \infty} (f_n(x)-f(x)) = 0 }[/math]

האם הטענה הזו נכונה? ואז ניתן לפחות לשלול התכנסות במ"ש אם היא אינה מתקיימת....

מי מבטיח שהגבול באיקס בכלל קיים?

אבל בהנחה שהגבול קיים, נראה לי שאפשר להוכיח גם את הצד השני -

אם נניח ש- [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} \lim_{x \rightarrow \infty}[f(x)-f_n(x)]=0 }[/math],

אזי שקיים [math]\displaystyle{ n_0 \in \N }[/math], כך שלכל [math]\displaystyle{ n\gt n_0 }[/math] מתקיים כי -

[math]\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow \infty} [f(x)-f_n(x)] \leq \epsilon }[/math], ומכך נוכל למצוא סביבה, [math]\displaystyle{ N_{\delta}:=[\delta,\infty] }[/math], כך שבסביבה הזו יתקיים -

[math]\displaystyle{ [f(x)-f_n(x)] \leq \epsilon }[/math], וזאת נכון לכל [math]\displaystyle{ x \in N_{\delta} }[/math]. ולכן, אם בנוסף סדרת הפונקציות מתכנסת במ"ש בכל קטע סגור, מהצורה [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math], אזי נוכל להסיק שסדרת הפונקציות

מתכנסת במ"ש ב-[math]\displaystyle{ [a,\infty] }[/math].

אז האם ניתן, תחת כל ההנחות באמצע, להיעזר ב-"מבחן" הזה.? או שיש לי איזושהי טעות בדרך...?

ו-נ.ב., עדיין לא ממש הבנתי איך טור הפונקציות [math]\displaystyle{ u(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{x^n} }[/math], המוגדר כך ש- [math]\displaystyle{ u(1)=0 }[/math], מפריך את הטענה?

שאלה 1 סעיף ב'

אני לא מצליח לקבוע באם סדרת הפונקציות הנתונה, [math]\displaystyle{ f_n(x)=x \cdot \arctan(nx) }[/math] מתכנסת במ"ש או לא ב-[math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math]

אפשר איזשהו רמז..?? רמזון??? משהו..??

איך הפונקציות האלה מתנהגות באינסוף?

הן שואפות לפונקציה הגבולית - [math]\displaystyle{ f(x)= \frac{\pi}{2} \cdot x }[/math], ומה עושים מכאן?

בהגדרה של התכנסות נקודתית אנחנו אומרים שהתנאי מתקיים החל מקיי כלשהוא נכון? אם נתבונן בקטע מסויים ,שהפונקציה מתכנסת נקודתית בכל נקודה בו, ונבחר את המספר פי שהוא המקסימום של כל הקייים של כל הנקודות בקטע. ואז החל מהפי הזה הפונקציה מתכנסת בכל הקטע.וזוהי ההגדרה של התכנסות במ"ש. אז זה אומר שהתכנסות במ"ש והתכנסות נקודתית בכל הקטע זה אותו דבר? כנראה שלא, אז איפה הטעות? שהמקסימום יכול להיות אינסוף? אם הוא תמיד אינסוף-איך מוכיחים את זה? תודה.

(לא ארז/תומר) הבעיה היא שלקחת מקסימום של של קבוצה אינסופית(קבוצת ה-k-ים). אם הסופרימום של הקבוצה הוא מספר אז אכן ישנה התכנסות במ"ש. אבל אם הסופרימום הוא אינסוף- אז אין התכנסות במ"ש.

זה אומר שזה משפט חדש? אם קבוצת הקייים חסומה אז התכנסות רגילה גוררת התכנסות במ"ש?

הגדרנו התכנסות רגילה של טורי פונקציות?(לא במ"ש)

תשובה

התכנסות נקודתית היא ברורה, זה גבול סדרה. התכנסות במ"ש אומרת שלכל אפסילון יש n_0 מסוים שיתאים לכל הנקודות x בקטע. כלומר כאשר ניקח את הפונקציה f_n_0 המרחק שלה מפונקצית הגבול יהיה קטן מאפסילון בכל נקודה. יכול להיות כמו שאמרת שהמקסימום הזה הוא אכן אינסוף.

אולי קצת הטעתי ברמז. יש לנו תנאי מספיק והכרחי השקול להתכנסות במ"ש. צריך לנסות לפתור את התרגיל בעזרתו.

התכנסות רגילה של טור פונקציות היא התכנסות נקודתית כמובן.

רגע, אז כשאני אומר במ"ש(סדרת פונקציות) לפי ההגדרה אז האן אפס שהחל ממנו התנאי מתקיים הוא תלוי רק באפסילון??לא יכול להיות תלוי באיקס??

n_0 הוא אף פעם לא יחיד, אפשר להגדיר אותו תלוי במיליון דברים. אבל אם יש התכנסות במ"ש, יש n_0 שתלוי באפסילון בלבד ולא באיקס (תקרא את ההגדרה). זה המקסימום של כל הn_0-ים המינימליים.

תודה.

אם אמרו לי להגיד אם אישהוא טור מתכנס במ"ש,אן רץ מאחת עד אינסוף, הצלחתי להגיד את זה לגבי אן רץ מ2 עד אינסוף,זה בסדר? למה? תודה.

הגיע הזמן בסוף אינפי 2 לדעת שההתכנסות אינה יכול להשתנות על פי מספר קבוע כלשהו של איברים ראשונים. במקרה הכי גרוע זה יכול להזיז את n_0

זה נכון בהתכנסות של טורים רגילים. אבל בטורים של פונקציות-מי אמר שזה במ"ש זה מוסיף עוד חלק משמעותי לפונקציה,לא? בכל מקרה, אם אני אומר שהטור מתכנס במ"ש מאן שווה 2 אז זה בסדר? תודה!

מה זה במ"ש? שהטור או הסדרה מתכנסים בקצב שאינו קבוע באיקס (יש n_0 שתלוי באפסילון בלבד). שינוי של מספר קבוע של איברים ראשונים יכול לכל היותר להזיז את הn_0 הזה כמספר האיברים ששינית. אפילו אם אני אוסיף לטור איבר ראשון שהוא פונקציה בלתי חסומה, עדיין בכל נקודה הטור מתכנס באותו קצב, שכן בכל נקודה הוספתי לטור איבר אחד בגודל כלשהו.