משפט פרמה (אינפי)

הגדרת נקודת קיצון מקומית

תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] מוגדרת בסביבת הנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ x }[/math] בסביבה מתקיים:

[math]\displaystyle{ \forall x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon):f(x)\le f(x_0) }[/math] (נקודת מקסימום מקומי)

או

[math]\displaystyle{ \forall x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon):f(x)\geq f(x_0) }[/math] (נקודת מינימום מקומי)

אזי [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] הנה נקודת קיצון מקומית של [math]\displaystyle{ f }[/math] .

משפט פרמה

תהי [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] נקודת קיצון מקומית של פונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math]. אזי אם [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה ב[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] מתקיים:

[math]\displaystyle{ f'(x_0)=0 }[/math]

הוכחה

נניח כי [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה בנקודת מקסימום מקומי [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] (ההוכחה עבור מינימום דומה). אזי לפי הגדרת הנגזרת הגבול הבא קיים:

[math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=L }[/math]

לפי משפט, כיון שהגבול קיים, הגבולות החד צדדיים ושווים.

לפי הנתון, קיימת סביבה ימנית של [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] בה מתקיים [math]\displaystyle{ f(x)-f(x_0)\le 0 }[/math], וכיון שזו סביבה ימנית מתקיים בה גם [math]\displaystyle{ x-x_0\gt 0 }[/math].

לכן ביחד, מתקיים כי

[math]\displaystyle{ L=\lim_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\le 0 }[/math]

באופן דומה, קיימת סביבה שמאלית של [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] בה מתקיים [math]\displaystyle{ f(x)-f(x_0)\le 0 }[/math], וכיון שזו סביבה שמאלית מתקיים בה גם [math]\displaystyle{ x-x_0\lt 0 }[/math].

לכן ביחד, מתקיים כי

[math]\displaystyle{ L=\lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ge 0 }[/math]

סה"כ [math]\displaystyle{ L=0 }[/math] כפי שרצינו. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

ראו גם

• משפט רול
• משפט לגראנז'