88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מדמח/פתרון בוחן 2
1
תנאי הכרחי להתכנסות הטור [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] הוא התכנסות הסדרה [math]\displaystyle{ a_n\to0 }[/math] . תנאי זה הכרחי אבל אינו מספיק.
טור מתכנס בתנאי הנו טור המתכנס, אבל אינו מתכנס בהחלט.
2
א
ברור כי [math]\displaystyle{ \max\{a_n,b_n\}\ge a_n }[/math] ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים הטור מתבדר.
ב
כיון שהטור [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת ל-0. לכן
[math]\displaystyle{ \dfrac{|a_n\cdot b_n|}{|b_n|}=|a_n|\to0 }[/math]
ולכן לפי מבחן ההשוואה השני לטורים חיוביים, הטור [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty|a_n\cdot b_n| }[/math] מתכנס, כלומר הטור [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\cdot b_n }[/math] מתכנס בהחלט.
ג
הוכחה:
כיון שהטור [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת לאפס. לכן הסדרה [math]\displaystyle{ \dfrac1{a_n} }[/math] לא חסומה או לא-מוגדרת ובכל מקרה אינה שואפת ל-0 ולכן הטור [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac1{a_n} }[/math] מתבדר.
ד
הפרכה:
[math]\displaystyle{ a_n=\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} }[/math] מתכנס לפי לייבניץ, אבל [math]\displaystyle{ a_n^2=\dfrac1n }[/math] מתבדר.
3
א
ב
[math]\displaystyle{ 2^n+(-1)^n2^n\le2\cdot2^n }[/math]
ולכן סה"כ הטור קטן מהטור ההנדסי המתכנס
[math]\displaystyle{ 2\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(\dfrac23\right)^n }[/math]
ולכן מתכנס.
ג
ד
ה
נפעיל את מבחן המנה:
[math]\displaystyle{ \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}} }[/math]
נכפיל בצמוד של המונה למעלה ולמטה לקבל:
[math]\displaystyle{ \begin{align} \frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}=\frac{4-2-\sqrt{2+\cdots}}{\sqrt{2\sqrt{2+\cdots}}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}=\frac{2-\sqrt{2+\cdots}}{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}=\\\\ \frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}\le \frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots}}}{\sqrt2}\lt 1 \end{align} }[/math]
ולכן הטור מתכנס.
4
א
מתכונות פונקציות הקוסינוס ניתן לראות שאנו מקבלים סכום של טורים בעלי סדרה השואפת מונוטונית ל-0 עם סימנים מתחלפים ולכן מתכנס לפי לייבניץ.
ידוע שהטור אינו מתכנס בהחלט, ולכן סה"כ הטור מתכנס בתנאי.
ב
הטור מתבדר שכן סכום אבריו השליליים מתכנס בעוד סכום אבריו החיוביים מתבדר.
ג
הטור מתכנס בהחלט לפי מבחן ההשוואה הראשון עם הטור [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac1{n^2} }[/math] .