הבדלים בין גרסאות בדף "חקירת פונקציות"

גרסה מ־15:12, 2 במרץ 2014

נושא חקירת פונקציות בקורס חשבון אינפיניטיסימלי כוללת מחקר סט תכונות מוסכם (פחות או יותר):

תחום הגדרה (קביעה באילו נקודות הפונקציה מוגדרת)
זוגיות (קביעה האם הפונקציה זוגית, אי-זוגית או לא)
תחומי מונוטוניות ומציאת נקודות קיצון
תחומי קמירות ומציאת נקודות פיתול
אסימפטוטות מאונכות
נקודות חיתוך עם הצירים
אסימפטוטות משופעות ומציאת התנהגות באינסוף
תרפיה בתרשים- ציור גרף הפונקציה

הסברים ותרגילים על חקירת פונקציות

תוכן עניינים

1 תרגילים

תרגילים

דוגמא מספר 1 - $f(x)=x^{2}-6x+5$

תחום הגדרה

הגדרה: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): תהא f(x)

פונקציה. תחום ההגדרה של $f(x)$ היא A- אוסף כל הנקודות בהם $f(x)$ מוגדרת

דוגמא: תחום ההגדרה של $f(x)$ הוא כל הישר $\mathbb{R}$

זוגיות/אי זוגיות

הגדרה: $f(x)$ תקרא זוגית אם $f(x)=f(-x)$ הגדרה: $f(x)$ תקרא אי זוגית אם $f(x)=-f(-x)$

דוגמא: $f(-x)=x^{2}+6x+5\not=\,\pm\, f(x)$ ולכן $f(x)$ אינה זוגית ואינה אי זוגית

חיתוך עם הצירים

החיתוך עם ציר x הן הנקודות $(1,0).(5.0)$

החיתוך עם ציר y היא הנקודה $(0,5)$

נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה

הגדרה: תהא $f(x)$ פונקציה. נאמר ש $f(x)$ עולה (יורדת) בתחום $U$ אם $\forall x<y\in U:\, f(x)\leq f(y)$ ( $\forall x<y\in U:\, f(x)\geq f(y)$ )

הגדרה: תהא $f(x)$ פונקציה. $x_{0}$ תקרא נקודת קיצון- מקס' (או מינ') אם קיימת לה סביבה $U$ כך ש $\forall x\in U:f(x)\leq f(x_{0})$ (או $\forall x\in U:f(x)\geq f(x_{0})$ )

משפט: אם $f(x)$ גזירה בנקודת קיצון $x_{0}$ אזי $f'(x_{0})=0$

מסקנה: בשביל למצוא נקודות קיצון של $f(x)$ מספיק לבדוק מתי $f'(x)=0$ או מתי הנגזרת אינה קיימת כלל.

דוגמא - נמצא את הנקודות האפשריות לנקודות קיצון ל $f(x)$ :

$f'(x)=2x-6$ ולכן הנקודה החשודה היחידה היא $x_{0}=3$

מקס' או מיני'

איך יודעים אם מדובר בנקודות קיצון ואם מדובר בקיצון מקס' או בקיצון מיני'?

בדיקת הפונצקיה עצמה- הנקודות החשודות מחלקות את הישר לקטעים. נציב בכל קטע נקודה ונבדוק מה מתקבל:למשל נציב $f(0)=5\,,f(3)=-4,f(6)=5$

ולכן 3 נקודת מיני הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הפונצקיה היתה מחליפה מיקום )ביחס לנקודות החשודות( איפה שהוא אזי היתה נוצרת נקו' קיצון ואז היינו מגלים אותה בשלב הקודם.

בדיקת ערכי הנגזרת- נבדוק את סימן הנגזרת מימין ומשמאל לנקודות (

מסתמך על העובדה כי : אם $f'(x)\leq0$ בקטע I אזי הפונקציה יורדת שם. אם $f'(x)\geq0$ אז הפונקציה עולה שם): $f'(0)<0\,,f'(4)>0$ ולכן משמאל ל 3 הפונקציה יורדת ומימין ל 3 היא עולה ולכן 3 נקודות מיני'הערה: בשלב זה מצב כי תחום העליה של $f$ הוא $[3.\infty)$ ותחום הירידה $(-\infty,3]$

הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הנגזרת היתה מחליפה איפה שהוא את סימנה אזי היתה נוצרת נקו' קיצון ואז היינו מגלים אותה בשלב הקודם.

מבחן הנגזרת השניה- אם $f'(x_{0})=0$

ומתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x_{0})>0

(או עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x)<0

אז $x_{0}$ נקודות מיני' (או מקס'):

אצלנו עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x)=2

ולכן עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(2)>0

תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול

תהא $f(x)$ גזירה בנקודה $x_{0}$ אזי נאמר שהפונצקיה קעורה כלפי מעלה (כלפי מטה) ב $x_{0}$ אם קיימת סביבה $U$ של $x_{0}$ כך שלכל $x\in U$ מתקיים:

$f(x)\geq f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})$

( $f(x)\leq f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})$ )

נאמר ש $x_{0}$ נקודת פיתול אם קיימת סביבה $U$ ימנית בה $f(x)\geq f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})$ וסביבה שמאלית $V$ בה $f(x)\leq f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})$

 או להיפך.

משפט: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x_{0})>0

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): (f"(x_{0})<0)

אז $f(x)$ קעורה כלפי מעלה (כלפי מטה) ב- $x_{0}$

משפט: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x)

אינה קיימת או ש עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x)=0

דוגמא: f"(x)=2 ולכן אין נקודות פיתול והפונקציה קעורה כלפי מעלה בכל הישר.

אסימטוטות

הגדרה: אסימטוטה אנכית ל $f(x)$ היא קו מהצורה $x=a$ כך שמתקיים $lim_{x\to a}|f(x)|=\infty$ אצלנו אין אסימטוטה אנכית.

הגדרה: אסימטוטה אופקית היא ישר $l(x)=ax+b$ המקיים $lim_{x\to\infty}|f(x)-l(x)|=0$ או $lim_{x\to-\infty}|f(x)-l(x)|=0$

איך מוצאים ? מתקיים

$a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}$

ואז $b=lim_{x\to\infty}(f(x)-ax)$

דוגמא- אצלנו:

עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \inft לא מוכרת): a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}-6x+5}{x}=\inft y ולכן אין אסימטוטה אופקית

התנהגות הפונצקיה באינסוף

עבור הדוגמא שלנו $lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\infty$

ציור הפונקציה

דוגמא 2: $f(x)=\frac{\ln(x)}{x}$

תחום הגדרה

$x>0$ כי $\ln(x)$ לא מוגדרת עבור $x$ -ים שליליים.

זוגיות/אי זוגיות

לא שייך בגלל תחום ההגדרה.

חיתוך עם הצירים

החיתוך עם ציר $x$ הוא $(1,0)$

החיתוך עם ציר y לא קיים בגלל תחום ההגדרה

נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה

$f'(x)=\frac{1-\ln(x)}{x^{2}}$ לכן יש לה נקודה חשודה ב $x=e$

הסימן של עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"

נקבע ע"י  $-x-2x(1-\ln(x))=-x(3-2\ln(x))$

$f(e)<0$ ולכן זוהי נקודת מקס'

תחומי העלייה של הפונקציה $\left(0,e\right)$

תחומי ירידה $\left(e,\infty\right)$

תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול

הסימן של עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"

נקבע ע"י $-x(3-2\ln(x))$ ולכן נקודות חשודות לפיתול הם $e^{3/2}$

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(e)<0,f"(e^{4})>0

ולכן $e^{3/2}\approx10$ נקודת פיתול

הפונקציה קעורה כלפי מטה ב $\left(0,e^{3/2}\right)$

הפונצקיה קעורה כלפי מעלה ב $\left(e^{3/2},\infty\right)$

אסימטוטות

אסימטוטה אנכית ב $x=0$ כיוון ש $\lim_{x\to0^{+}}f(x)=-\infty$

אסימטוטה אופקית: $a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x^{2}}=lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x}}{2x}=0$

$b=lim_{x\to\infty}(f(x)-ax)=lim_{x\to}\frac{\ln(x)}{x}=0$

ולכן $l(x)=0$ אסימטוטה אופקית

התנהגות הפונצקיה באינסוף

עבור הדוגמא שלנו $lim_{x\to\infty}f(x)=0$

ציור הפונקציה

דוגמא 3: $f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}}$

תחום הגדרה

תחום ההגדרה של הוא $x\not=\pm\sqrt{12}$

זוגיות/אי זוגיות

$f(-x)=\frac{-x^{3}}{12-x^{2}}=-f(x)$ ולכן $f(x)$ אי זוגית

נקודות קיצון

$f'(x)=\frac{3x^{2}(12-x^{2})+2x^{4}}{(12-x^{2})^{2}}=\frac{x^{2}(36-x^{2})}{(12-x^{2})^{2}}$ ולכן הנקודות החשודות הן $x_{0}=0,\pm6,\pm\sqrt{12}$ (נשים לב שהנקודות $\pm\sqrt{12}=\pm3.464$ ) אינן נקודות קיצון כי אינן בתחום ההגדרה.

מקס' או מיני'

הסימן של הנגזרת השניה בנקודה x נקבע ע"י

$(72x-4x^{3})(12-x^{2})^{2}+4x(12-x^{2})x^{2}(36-x^{2}) = x(12-x^{2})[(72-4x^{2})(12-x^{2})+4x^{2}(36-x^{2})] = x(12-x^{2})[72\cdot12+24x^{2}] = 24x(12-x^{2})[36+x^{2}]$

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(6)<0,f"(-6)>0

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(0)=0

 ולכן לא ניתן לדעת לפי בדיקה זאת!

תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול

דוגמא: f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}}

 אזי f'(x)=\frac{3x^{2}(12-x^{2})+2x^{4}}{(12-x^{2})^{2}}=\frac{x^{2}(36-x^{2})}{(12-x^{2})^{2}}
 ו f"(x)=\frac{24x(12-x^{2})[36+x^{2}]}{(12-x^{2})^{4}}

הנקודות החשודות לפיתלול הם 0,\pm\sqrt{12}

 הסימן של f"(x)
 נקבע לפי החלק x(12-x^{2})

נבדוק f"(-4)>0,f"(-1)<0,f(0)=0,f(1)>0,f(4)<0

. ומכאן מסיקים כי

בקטע (-\infty,-\sqrt{12})

 הפונצקיה קעורה כלפי מעלה

בקטע (-\sqrt{12},0)

 הפונצקיה קעורה כלפי מטה

בקטע (0,\sqrt{12})

 הפונצקיה קעורה כלפי מעלה

בקטע (\sqrt{12},\infty)

 הפונצקיה קעורה כלפי מטה

ובנקודה 0

 יש נקודות פיתול )כי הנגזרת השניה שלילית עד אליה וחיובית ממנה(

אסימטוטות

הגדרה: אסימטוטה אנכית ל f(x)

 היא קו מהצורה x=a
 כך שמתקיים lim_{x\to a}|f(x)|=\infty
.

דוגמא f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}}

 יש 2 אסימטוטות אנכיות ב x=\pm\sqrt{12}

כי lim_{x\to-\sqrt{12}^{+}}f(x)=lim_{x\to\sqrt{12}^{+}}f(x)=-\infty

lim_{x\to-\sqrt{12}^{-}}f(x)=lim_{x\to\sqrt{12}^{-}}f(x)=\infty

הגדרה: אסימטוטה אופקית היא ישר l(x)=ax+b

 המקיים lim_{x\to\infty}|f(x)-l(x)|=0
 או lim_{x\to-\infty}|f(x)-l(x)|=0

מתקיים a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}

 ואז b=lim_{x\to\infty}(f(x)-ax)

דוגמא: f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}}

 נמצא אסימטוטות:

a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}}{x(12-x^{2})}=-1

b=lim_{x\to\infty}(\frac{x^{3}}{12-x^{2}}+x)=lim_{x\to\infty}(\frac{12x}{12-x^{2}})=0

באותו אופן גם אסימטוטה לכיוון x\to-\infty

 תצא אותו דבר.

ולכן l(x)=-x

 אסימטוטה אנכית

התנהגות הפונצקיה באינסוף

עבור הדוגמא שלנו lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}}{12-x^{2}}=-\infty,lim_{x\to-\infty}\frac{x^{3}}{12-x^{2}}=\infty

ציור הפונקציה

משפטים לסיכום

.1 אם f(x)

 גזירה בנקודת קיצון x_{0}
 אזי f'(x_{0})=0

.2 מבחן הנגזרת השניה- אם f'(x_{0})=0

 ומתקיים f"(x_{0})>0
 )או f"(x)<0
( אז x_{0}
 נקודות מיני' )או מקס'(

.3 אם f'(x)\leq0

 בקטע I
 אזי הפונקציה יורדת שם. אם f'(x)\geq0
 אז הפונקציה עולה שם

.4 אם f"(x_{0})>0

 )f"(x_{0})<0
 ( אז f(x)
 קעורה כלפי מעלה )כלפי מטה( ב-x_{0}
.מסקנה: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם f"(x)
 אינה קיימת או ש f"(x)=0

הבדלים בין גרסאות בדף "חקירת פונקציות"

גרסה מ־15:12, 2 במרץ 2014

תוכן עניינים

תרגילים

דוגמא מספר 1 - $f(x)=x^{2}-6x+5$

זוגיות/אי זוגיות

חיתוך עם הצירים

נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה

מקס' או מיני'

תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול

אסימטוטות

התנהגות הפונצקיה באינסוף

דוגמא 2: $f(x)=\frac{\ln(x)}{x}$

תחום הגדרה

זוגיות/אי זוגיות

חיתוך עם הצירים

נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה

תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול

אסימטוטות

התנהגות הפונצקיה באינסוף

דוגמא 3: $f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}}$

תחום הגדרה

זוגיות/אי זוגיות

נקודות קיצון

מקס' או מיני'

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים

@@ שורה 16: / שורה 16: @@
 == תרגילים ==
-===דוגמא מספר 1 - f(x)=x^{2}-6x+5 ===
+===דוגמא מספר 1 - <math>f(x)=x^{2}-6x+5</math> ===
@@ שורה 123: / שורה 123: @@
 אינה קיימת או ש <math>f"(x)=0</math>
 דוגמא: f"(x)=2
-  ולכן אין נקודות פיתול והפונקציה קעורה כלפי מעלה בכל הישר.
+ולכן אין נקודות פיתול והפונקציה קעורה כלפי מעלה בכל הישר.
-אסימטוטות
+====אסימטוטות ====
-הגדרה: אסימטוטה אנכית ל f(x)
-  היא קו מהצורה x=a
-  כך שמתקיים lim_{x\to a}|f(x)|=\infty
- .
+הגדרה: אסימטוטה אנכית ל <math>f(x)</math>
+היא קו מהצורה <math>x=a</math>
+כך שמתקיים <math>lim_{x\to a}|f(x)|=\infty</math>
 אצלנו אין אסימטוטה אנכית.
-הגדרה: אסימטוטה אופקית היא ישר l(x)=ax+b
+הגדרה: אסימטוטה אופקית היא ישר <math>l(x)=ax+b</math>
-  המקיים lim_{x\to\infty}|f(x)-l(x)|=0
+המקיים <math>lim_{x\to\infty}|f(x)-l(x)|=0</math>
-  או lim_{x\to-\infty}|f(x)-l(x)|=0
+או <math>lim_{x\to-\infty}|f(x)-l(x)|=0</math>
 איך מוצאים ? מתקיים
-a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}
+<math>a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}</math>
-  ואז
-b=lim_{x\to\infty}(f(x)-ax)
+ואז
+<math>b=lim_{x\to\infty}(f(x)-ax)</math>
 דוגמא- אצלנו:
-a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}-6x+5}{x}=\infty
+<math>a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}-6x+5}{x}=\inft</math>y
-  ולכן אין אסימטוטה אופקית
+ולכן אין אסימטוטה אופקית
-התנהגות הפונצקיה באינסוף
+====התנהגות הפונצקיה באינסוף====
-עבור הדוגמא שלנו lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\infty
+עבור הדוגמא שלנו <math>lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\infty</math>
 ציור הפונקציה
+[[קובץ:Example1CStirgul2.gif]]
-דוגמא 2: f(x)=\frac{\ln(x)}{x}
+===דוגמא 2: <math>f(x)=\frac{\ln(x)}{x}</math>===
-תחום הגדרה
+====תחום הגדרה====
-x>0
+<math>x>0</math>כי <math>\ln(x)</math>
-  כי \ln(x)
+לא מוגדרת עבור <math>x</math>-ים שליליים.
-  לא מוגדרת עבור x
- -ים שליליים.
-זוגיות/אי זוגיות
+====זוגיות/אי זוגיות====
 לא שייך בגלל תחום ההגדרה.
-חיתוך עם הצירים
+====חיתוך עם הצירים====
-החיתוך עם ציר x
+החיתוך עם ציר <math>x</math>
-  הוא (1,0)
+הוא <math>(1,0)</math>
-החיתוך עם ציר y
+החיתוך עם ציר y לא קיים בגלל תחום ההגדרה
-  לא קיים בגלל תחום ההגדרה
-נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה
+====נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה====
-f'(x)=\frac{1-\ln(x)}{x^{2}}
+<math>f'(x)=\frac{1-\ln(x)}{x^{2}}</math>
-  ולכן יש לה נקודה חשודה ב x=e
+לכן יש לה נקודה חשודה ב <math>x=e</math>
   .
-הסימן של f"
+הסימן של <math>f"</math> נקבע ע"י <math>-x-2x(1-\ln(x))=-x(3-2\ln(x))</math>
-  נקבע ע"י -x-2x(1-\ln(x))=-x(3-2\ln(x))
+<math>f(e)<0</math>
+ולכן זוהי נקודת מקס'
-,f(e)<0
+תחומי העלייה של הפונקציה <math>\left(0,e\right)</math>
-  ולכן זוהי נקודת מקס'
-תחומי העלייה של הפונקציה \left(0,e\right)
-תחומי ירידה \left(e,\infty\right)
+תחומי ירידה <math>\left(e,\infty\right)</math>
-תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול
+====תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול====
-הסימן של f"
+הסימן של <math>f"</math>
-  נקבע ע"י -x(3-2\ln(x))
+נקבע ע"י <math>-x(3-2\ln(x))</math>
-  ולכן נקודות חשודות לפיתול הם e^{3/2}
+ולכן נקודות חשודות לפיתול הם <math>e^{3/2}</math>
-f"(e)<0,f"(e^{4})>0
+<math>f"(e)<0,f"(e^{4})>0</math>
-  ולכן e^{3/2}\approx10
+ולכן <math>e^{3/2}\approx10</math>
-  נקודת פיתול
+נקודת פיתול
-הפונקציה קעורה כלפי מטה ב \left(0,e^{3/2}\right)
+הפונקציה קעורה כלפי מטה ב <math>\left(0,e^{3/2}\right)</math>
-הפונצקיה קעורה כלפי מעלה ב \left(e^{3/2},\infty\right)
+הפונצקיה קעורה כלפי מעלה ב <math>\left(e^{3/2},\infty\right)</math>
-אסימטוטות
+====אסימטוטות ====
-אסימטוטה אנכית ב x=0
+אסימטוטה אנכית ב <math>x=0</math>
-  כיוון ש \lim_{x\to0^{+}}f(x)=-\infty
+כיוון ש <math>\lim_{x\to0^{+}}f(x)=-\infty</math>
 אסימטוטה אופקית:
+<math>
 a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x^{2}}=lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x}}{2x}=0
+</math>
-b=lim_{x\to\infty}(f(x)-ax)=lim_{x\to}\frac{\ln(x)}{x}=0
+<math>b=lim_{x\to\infty}(f(x)-ax)=lim_{x\to}\frac{\ln(x)}{x}=0</math>
-ולכן l(x)=0
+ולכן <math>l(x)=0</math>
-  אסימטוטה אופקית
+אסימטוטה אופקית
-התנהגות הפונצקיה באינסוף
+====התנהגות הפונצקיה באינסוף====
-עבור הדוגמא שלנו lim_{x\to\infty}f(x)=0
+עבור הדוגמא שלנו <math>lim_{x\to\infty}f(x)=0</math>
 ציור הפונקציה
+[[קובץ:Example2CStirgul2.gif]]
-דוגמא 3: f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}}
+===דוגמא 3: <math>f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}}</math>===
-תחום הגדרה
+====תחום הגדרה====
-תחום ההגדרה של הוא x\not=\pm\sqrt{12}
+תחום ההגדרה של הוא <math>x\not=\pm\sqrt{12}</math>
-זוגיות/אי זוגיות
+====זוגיות/אי זוגיות====
-f(-x)=\frac{-x^{3}}{12-x^{2}}=-f(x)
+<math>f(-x)=\frac{-x^{3}}{12-x^{2}}=-f(x)</math>
-  ולכן f(x)
+ולכן <math>f(x)</math> אי זוגית
-  אי זוגית
-נקודות קיצון
+===נקודות קיצון===
-f'(x)=\frac{3x^{2}(12-x^{2})+2x^{4}}{(12-x^{2})^{2}}=\frac{x^{2}(36-x^{2})}{(12-x^{2})^{2}}
+<math>f'(x)=\frac{3x^{2}(12-x^{2})+2x^{4}}{(12-x^{2})^{2}}=\frac{x^{2}(36-x^{2})}{(12-x^{2})^{2}}</math>
-  ולכן הנקודות החשודות הן x_{0}=0,\pm6,\pm\sqrt{12}
+ולכן הנקודות החשודות הן <math>x_{0}=0,\pm6,\pm\sqrt{12}</math>
-  )נשים לב שהנקודות \pm\sqrt{12}=\pm3.464
+(נשים לב שהנקודות <math>\pm\sqrt{12}=\pm3.464</math>)
-  אינן נקודות קיצון כי אינן בתחום ההגדרה(.
+אינן נקודות קיצון כי אינן בתחום ההגדרה.
-מקס' או מיני'
+=====מקס' או מיני'=====
-איך יודעים אם מדובר בנקודות קיצון ואם מדובר בקיצון מקס' או בקיצון מיני'?
+ הסימן של הנגזרת השניה בנקודה x נקבע ע"י
+<math>
+   (72x-4x^{3})(12-x^{2})^{2}+4x(12-x^{2})x^{2}(36-x^{2})	=	x(12-x^{2})[(72-4x^{2})(12-x^{2})+4x^{2}(36-x^{2})]
+	=	x(12-x^{2})[72\cdot12+24x^{2}]
+	=	24x(12-x^{2})[36+x^{2}]</math>
-.1 בדיקת הפונצקיה עצמה- הנקודות החשודות מחלקות את הישר לקטעים. נציב בכל קטע נקודה ונבדוק מה מתקבל:למשל נציב f(-7)=9.27,f(-6)=9,f(-4)=16,f(-1)=-0.09,f(0)=0,f(1)=0.09,f(4)=-16,f(6)=-9,f(7)=-9.27
+<math>f"(6)<0,f"(-6)>0</math>
-  ולכן 0
+<math>f"(0)=0</math>
-  אינה נקודת קיצון, -6
-  נקודת מיני ו 6
-  נקודות מקס'הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הפונצקיה היתה מחליפה מיקום )ביחס לנקודות החשודות( איפה שהוא אזי היתה נוצרת נקו' קיצון ואז היינו מגלים אותה בשלב הקודם.
-.2 בדיקת ערכי הנגזרת- נבדוק את סימן הנגזרת מימין ומשמאל לנקודות )מסתמך על העובדה כי : אם f'(x)\leq0
-  בקטע I
-  אזי הפונקציה יורדת שם. אם f'(x)\geq0
-  אז הפונצקיה עולה שם(: נשים לב שסימן הנגזרת נקבע לפי החלק של 36-x^{2}
- f'(-7)<0,f'(-6)=0,f'(-4)>0,f'(-1)>0,f'(0)=0,f'(1)>0,f'(4)>-,f'(6)=0,f'(7)<0
- ולכן מימין ל -6
-  הפונקציה יורדת ומימין ל -6
-  היא עולה ולכן -6
-  נקודות מיני' וכו'
-הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הנגזרת היתה מחליפה איפה שהוא את סימנה אזי היתה נוצרת נקו' קיצון ואז היינו מגלים אותה בשלב הקודם.
-.3 מבחן הנגזרת השניה- אם f'(x_{0})=0
-  ומתקיים f"(x_{0})>0
-  )או f"(x)<0
- ( אז x_{0}
-  נקודות מיני' )או מקס'(: הסימן של הנגזרת השניה בנקודה x
-  הוא (72x-4x^{3})(12-x^{2})^{2}+4x(12-x^{2})x^{2}(36-x^{2})	=	x(12-x^{2})[(72-4x^{2})(12-x^{2})+4x^{2}(36-x^{2})]
-	=	x(12-x^{2})[72\cdot12+24x^{2}]
-	=	24x(12-x^{2})[36+x^{2}]
- f"(6)<0,f"(-6)>0
- f"(0)=0
    ולכן לא ניתן לדעת לפי בדיקה זאת!