הבדלים בין גרסאות בדף "חקירת פונקציות"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
 
(5 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 15: שורה 15:
 
[[מדיה : infi2FuncInvestigationAddional1.pdf | הסברים ותרגילים על חקירת פונקציות]]
 
[[מדיה : infi2FuncInvestigationAddional1.pdf | הסברים ותרגילים על חקירת פונקציות]]
  
−
== תרגילים ==
+
==תרגילים==
−
===דוגמא מספר 1 - f(x)=x^{2}-6x+5 ===
+
===דוגמא 1: <math>f(x)=x^2-6x+5</math>===
−
 
+
====תחום הגדרה====
 +
הגדרה: תהי <math>f(x)</math> פונקציה. תחום הגדרתה היא <math>A</math> - אוסף כל הנקודות בהם <math>f(x)</math> מוגדרת.
  
−
תחום הגדרה
+
דוגמא: תחום ההגדרה של <math>f(x)</math> הוא כל הישר <math>\R</math> .
  
−
הגדרה: <math>תהא f(x)</math>
+
====זוגיות/אי-זוגיות====
−
פונקציה. תחום ההגדרה של <math>f(x)</math>
+
הגדרה: <math>f(x)</math> תקרא '''זוגית''' אם <math>f(-x)=f(x)</math> .
−
היא A- אוסף כל הנקודות בהם <math>f(x)</math> מוגדרת
+
  
−
דוגמא: תחום ההגדרה של <math>f(x)</math> הוא כל הישר <math>\mathbb{R}</math>
+
הגדרה: <math>f(x)</math> תקרא אי-זוגית אם <math>f(-x)=-f(x)</math> .
−
+
−
====זוגיות/אי זוגיות====
+
  
−
הגדרה: <math>f(x)</math> תקרא '''זוגית''' אם <math>f(x)=f(-x)</math>
+
דוגמא: <math>f(-x)=x^2+6x+5\not=\ \pm\ f(x)</math> ולכן <math>f(x)</math> אינה זוגית ואינה אי-זוגית.
−
הגדרה: <math>f(x)</math> תקרא אי זוגית אם <math>f(x)=-f(-x)</math>
+
−
+
−
 
+
−
דוגמא: <math>f(-x)=x^{2}+6x+5\not=\,\pm\, f(x)</math> ולכן <math>f(x)</math>
+
−
אינה זוגית ואינה אי זוגית
+
  
 
====חיתוך עם הצירים====
 
====חיתוך עם הצירים====
−
 
+
החיתוך עם ציר <math>x</math> הן הנקודות <math>(1,0)\ ,\ (5,0)</math>
−
החיתוך עם ציר x הן הנקודות <math>(1,0).(5.0)</math>
+
 
   
 
   
−
החיתוך עם ציר y היא הנקודה <math>(0,5)</math>
+
החיתוך עם ציר <math>y</math> היא הנקודה <math>(0,5)</math> .
 
   
 
   
 
====נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה====
 
====נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה====
 +
הגדרה: תהא <math>f(x)</math> פונקציה. נאמר כי <math>f(x)</math> עולה (יורדת) בתחום <math>U</math> אם
 +
 +
<math>\forall x<y\in U:\ f(x)\le f(y)</math> או <math>\forall x<y\in U:\ f(x)\ge f(y)</math> .
  
−
הגדרה: תהא <math>f(x)</math>פונקציה. נאמר ש <math>f(x)</math> עולה (יורדת) בתחום <math>U</math>
+
הגדרה: תהי <math>f(x)</math> פונקציה. <math>x_0</math> תקרא נקודת קיצון - מקס' (או מינ') אם קיימת לה סביבה <math>U</math> כך ש-
−
אם <math>\forall x<y\in U:\, f(x)\leq f(y)</math>
+
−
(<math>\forall x<y\in U:\, f(x)\geq f(y)</math>)
+
  
−
הגדרה: תהא <math>f(x)</math>
+
<math>\forall x\in U:f(x)\le f(x_0)</math> או <math>\forall x\in U:f(x)\ge f(x_0)</math> .
−
פונקציה. <math>x_{0}</math>
+
−
תקרא נקודת קיצון- מקס' (או מינ') אם קיימת לה סביבה <math>U</math>
+
−
כך ש <math>\forall x\in U:f(x)\leq f(x_{0})</math>
+
−
(או <math>\forall x\in U:f(x)\geq f(x_{0})</math> )
+
  
−
משפט: אם <math>f(x)</math>
+
משפט: אם <math>f(x)</math> גזירה בנקודת קיצון <math>x_0</math> אזי <math>f'(x_0)=0</math> .
−
גזירה בנקודת קיצון <math>x_{0}</math>
+
−
אזי <math>f'(x_{0})=0</math>
+
 
    
 
    
 +
מסקנה: כדי למצוא נקודות קיצון של <math>f(x)</math> מספיק לבדוק מתי <math>f'(x)=0</math> או מתי הנגזרת אינה קיימת כלל.
  
−
מסקנה: בשביל למצוא נקודות קיצון של <math>f(x)</math>
+
דוגמא - נמצא את הנקודות האפשריות לנקודות קיצון ל- <math>f(x)</math> :
−
מספיק לבדוק מתי <math>f'(x)=0</math>
+
−
או מתי הנגזרת אינה קיימת כלל.
+
  
−
דוגמא - נמצא את הנקודות האפשריות לנקודות קיצון ל <math>f(x)</math>:
+
<math>f'(x)=2x-6</math> ולכן הנקודה החשודה היחידה היא <math>x_0=3</math> .
−
 
+
−
<math>f'(x)=2x-6</math> ולכן הנקודה החשודה היחידה היא <math>x_{0}=3</math>
+
 
    
 
    
 
====מקס' או מיני'====
 
====מקס' או מיני'====
−
 
 
איך יודעים אם מדובר בנקודות קיצון ואם מדובר בקיצון מקס' או בקיצון מיני'?
 
איך יודעים אם מדובר בנקודות קיצון ואם מדובר בקיצון מקס' או בקיצון מיני'?
  
−
*בדיקת הפונצקיה עצמה- הנקודות החשודות מחלקות את הישר לקטעים. נציב בכל קטע נקודה ונבדוק מה מתקבל:למשל נציב <math>f(0)=5\,,f(3)=-4,f(6)=5</math>
+
*בדיקת הפונקציה עצמה - הנקודות החשודות מחלקות את הישר לקטעים. נציב בכל קטע נקודה ונבדוק מה מתקבל: למשל נציב <math>f(0)=5\ ,\ f(3)=-4\ ,\ f(6)=5</math> ולכן 3 נקודות מיני'.
−
ולכן 3 נקודת מיני הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הפונצקיה היתה מחליפה מיקום )ביחס לנקודות החשודות( איפה שהוא אזי היתה נוצרת נקו' קיצון ואז היינו מגלים אותה בשלב הקודם.
+
−
 
+
−
*בדיקת ערכי הנגזרת- נבדוק את סימן הנגזרת מימין ומשמאל לנקודות (
+
−
מסתמך על העובדה כי : אם <math>f'(x)\leq0</math> בקטע I
+
−
אזי הפונקציה יורדת שם. אם <math>f'(x)\geq0</math> אז הפונקציה עולה שם):
+
−
<math>f'(0)<0\,,f'(4)>0</math>
+
−
ולכן משמאל ל 3
+
−
הפונקציה יורדת ומימין ל 3
+
−
היא עולה ולכן 3
+
−
נקודות מיני'הערה: בשלב זה מצב כי תחום העליה של <math>f</math>
+
−
הוא <math>[3.\infty)</math>
+
−
ותחום הירידה <math>(-\infty,3]</math>
+
−
+
  
−
הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הנגזרת היתה מחליפה איפה שהוא את סימנה אזי היתה נוצרת נקו' קיצון ואז היינו מגלים אותה בשלב הקודם.
+
הערה: אכן מספיק לבדוק נקודות אלו - כי אם הפונקציה היתה מחליפה מיקום (ביחס לנקודות החשודות) היכן שהוא אזי היתה נוצרת נקודת קיצון והיינו מגלים אותה בשלב הקודם.
  
−
*מבחן הנגזרת השניה- אם <math>f'(x_{0})=0</math>
+
*בדיקת ערכי הנגזרת - נבדוק את סימן הנגזרת מימין ומשמאל לנקודות (מסתמך על העובדה כי: אם <math>f'(x)\le0</math> בקטע <math>I</math> אזי הפונקציה יורדת שם. אם <math>f'(x)\ge0</math> אז הפונקציה עולה שם): <math>f'(0)<0\ ,\ f'(4)>0</math> ולכן משמאל ל-3 הפונקציה יורדת ומימין ל-3 היא עולה, כלומר <math>x=3</math> נקודת מיני'.
−
ומתקיים <math>f"(x_{0})>0</math>
+
−
(או <math>f"(x)<0</math> )
+
−
אז <math>x_{0}</math> נקודות מיני' (או מקס'):
+
  
−
אצלנו <math>f"(x)=2</math> ולכן <math>f"(2)>0</math>
+
הערה: בשלב זה מצב כי תחום העליה של <math>f</math> הוא <math>[3,\infty)</math> ותחום הירידה <math>(-\infty,3]</math> .
 
   
 
   
 +
הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הנגזרת היתה מחליפה היכן שהוא את סימנה אזי היתה נוצרת נקודת קיצון והיינו מגלים אותה בשלב הקודם.
  
−
====תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול====
+
*מבחן הנגזרת השניה - אם <math>f'(x_0)=0</math> ומתקיים <math>f''(x_0)>0</math> (או <math>f''(x)<0</math>) אז <math>x_0</math> נקודות מיני' (או מקס'):
  
−
תהא <math>f(x)</math> גזירה בנקודה <math>x_{0}</math>
+
אצלנו <math>f''(x)=2</math> ולכן <math>f''(2)>0</math> .
−
אזי נאמר שהפונצקיה קעורה כלפי מעלה (כלפי מטה) ב <math>x_{0}</math>
+
−
אם קיימת סביבה <math>U</math>של <math>x_{0}</math>
+
−
כך שלכל <math>x\in U</math> מתקיים:
+
  
−
<math>f(x)\geq f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})</math>
+
====תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול====
 +
תהא <math>f(x)</math> גזירה בנקודה <math>x_0</math> אזי נאמר שהפונקציה קעורה כלפי מעלה/מטה ב- <math>x_0</math> אם קיימת סביבה <math>U</math> של <math>x_0</math> כך שלכל <math>x\in U</math> מתקיים:
  
−
(<math>f(x)\leq f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})</math>)
+
<math>f(x)\ge f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)</math> או <math>f(x)\le f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)</math> .
  
 +
נאמר כי <math>x_0</math> נקודת פיתול אם קיימת סביבה <math>U</math> ימנית בה <math>f(x)\ge f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)</math> וסביבה שמאלית <math>V</math> בה <math>f(x)\le f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)</math> או להפך.
  
−
נאמר ש <math>x_{0}</math> נקודת פיתול אם קיימת סביבה <math>U</math>
+
משפט: <math>f''(x_0)>0</math> או <math>f''(x_0)<0</math> אז <math>f(x)</math> קעורה כלפי מעלה/מטה ב- <math>x_0</math> .
−
ימנית בה <math>f(x)\geq f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})</math>
+
−
וסביבה שמאלית <math>V</math>
+
−
בה <math>f(x)\leq f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})</math>
+
−
  או להיפך.
+
  
−
משפט: <math>f"(x_{0})>0</math>
+
משפט: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם <math>f''(x)</math> אינה קיימת או ש- <math>f''(x)=0</math> .
−
<math>(f"(x_{0})<0)</math>
+
−
אז <math>f(x)</math>
+
−
קעורה כלפי מעלה (כלפי מטה) ב-<math>x_{0}</math>
+
−
.
+
  
−
משפט: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם <math>f"(x)</math>
+
דוגמא: <math>f''(x)=2</math> ולכן אין נקודות פיתול והפונקציה קעורה כלפי מעלה בכל הישר.
−
אינה קיימת או ש <math>f"(x)=0</math>
+
−
+
  
−
דוגמא: f"(x)=2
+
====אסימפטוטות====
−
  ולכן אין נקודות פיתול והפונקציה קעורה כלפי מעלה בכל הישר.
+
הגדרה: אסימפטוטה אנכית ל- <math>f(x)</math> היא קו מהצורה <math>x=a</math> כך שמתקיים <math>\lim\limits_{x\to a}|f(x)|=\infty</math> . אצלנו אין אסימפטוטה אנכית.
  
−
אסימטוטות
+
הגדרה: אסימפטוטה אופקית היא ישר <math>l(x)=ax+b</math> המקיים <math>\lim\limits_{x\to\infty}\Big|f(x)-l(x)\Big|=0</math> או <math>\lim\limits_{x\to-\infty}\Big|f(x)-l(x)\Big|=0</math> .
  
−
הגדרה: אסימטוטה אנכית ל f(x)
+
איך מוצאים? מתקיים <math>a=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}</math> ואז <math>b=\lim\limits_{x\to\infty}\big[f(x)-ax\big]</math> .
−
  היא קו מהצורה x=a
+
−
  כך שמתקיים lim_{x\to a}|f(x)|=\infty
+
−
.
+
  
−
אצלנו אין אסימטוטה אנכית.
+
דוגמא - אצלנו:
  
−
הגדרה: אסימטוטה אופקית היא ישר l(x)=ax+b
+
<math>\displaystyle a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-6x+5}{x}=\infty</math>
−
  המקיים lim_{x\to\infty}|f(x)-l(x)|=0
+
−
  או lim_{x\to-\infty}|f(x)-l(x)|=0
+
−
+
  
−
איך מוצאים ? מתקיים
+
ולכן אין אסימפטוטה אופקית.
  
−
a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}
+
====התנהגות הפונקציה באינסוף====
−
  ואז
+
עבור הדוגמא שלנו <math>\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\infty</math>
  
−
b=lim_{x\to\infty}(f(x)-ax)
+
ציור הפונקציה [[קובץ:Example1CStirgul2.gif]]
−
+
  
−
דוגמא- אצלנו:
+
===דוגמא 2: <math>f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}</math>===
−
 
+
====תחום הגדרה====
−
a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}-6x+5}{x}=\infty
+
<math>x>0</math> כי <math>\ln(x)</math> לא-מוגדרת עבור <math>x</math>-ים שליליים.
−
  ולכן אין אסימטוטה אופקית
+
−
 
+
−
התנהגות הפונצקיה באינסוף
+
−
 
+
−
עבור הדוגמא שלנו lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\infty
+
−
+
−
 
+
−
ציור הפונקציה
+
−
 
+
−
 
+
−
 
+
−
דוגמא 2: f(x)=\frac{\ln(x)}{x}
+
−
+
−
 
+
−
תחום הגדרה
+
−
 
+
−
x>0
+
−
  כי \ln(x)
+
−
  לא מוגדרת עבור x
+
−
-ים שליליים.
+
−
 
+
−
זוגיות/אי זוגיות
+
  
 +
====זוגיות/אי-זוגיות====
 
לא שייך בגלל תחום ההגדרה.
 
לא שייך בגלל תחום ההגדרה.
  
−
חיתוך עם הצירים
+
====חיתוך עם הצירים====
 +
החיתוך עם ציר <math>x</math> הוא <math>(1,0)</math> .
  
−
החיתוך עם ציר x
+
החיתוך עם ציר <math>y</math> לא קיים בגלל תחום ההגדרה.
−
  הוא (1,0)
+
−
+
  
−
החיתוך עם ציר y
+
====נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה====
−
  לא קיים בגלל תחום ההגדרה
+
<math>f'(x)=\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}</math> לכן יש לה נקודה חשודה ב- <math>x=e</math>
  
−
נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה
+
הסימן של <math>f''</math> נקבע ע"י <math>-x-2x\big(1-\ln(x)\big)=-x\big(3-2\ln(x)\big)</math> .
  
−
f'(x)=\frac{1-\ln(x)}{x^{2}}
+
<math>f(e)<0</math> ולכן זוהי נקודת מקס'.
−
  ולכן יש לה נקודה חשודה ב x=e
+
−
.
+
  
−
הסימן של f"
+
תחומי העליה של הפונקציה <math>(0,e)</math> .
−
  נקבע ע"י -x-2x(1-\ln(x))=-x(3-2\ln(x))
+
−
 
+
  
−
,f(e)<0
+
תחומי הירידה <math>(e,\infty)</math> .
−
  ולכן זוהי נקודת מקס'
+
  
−
תחומי העלייה של הפונקציה \left(0,e\right)
+
====תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול====
−
+
הסימן של <math>f''</math> נקבע ע"י <math>-x\big(3-2\ln(x)\big)</math> ולכן נקודות חשודות לפיתול הם <math>e\sqrt{e}</math> .
  
−
תחומי ירידה \left(e,\infty\right)
+
<math>f''(e)<0\ ,\ f''(e^4)>0</math> ולכן <math>e\sqrt{e}\approx 10</math> נקודת פיתול.
−
+
  
−
תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול
+
הפונקציה קעורה כלפי מטה ב- <math>(0,e\sqrt{e})</math> .
  
−
הסימן של f"
+
הפונקציה קעורה כלפי מעלה ב- <math>(e\sqrt{e},\infty)</math> .
−
  נקבע ע"י -x(3-2\ln(x))
+
−
  ולכן נקודות חשודות לפיתול הם e^{3/2}
+
−
+
  
−
f"(e)<0,f"(e^{4})>0
+
====אסימפטוטות====
−
  ולכן e^{3/2}\approx10
+
אסימפטוטה אנכית ב- <math>x=0</math> כיון ש- <math>\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty</math> .
−
  נקודת פיתול
+
  
−
הפונקציה קעורה כלפי מטה ב \left(0,e^{3/2}\right)
+
אסימפטוטה אופקית:
−
+
  
−
הפונצקיה קעורה כלפי מעלה ב \left(e^{3/2},\infty\right)
+
<math>\begin{align}\displaystyle a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x^2}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac1x}{2x}=0\\b=\lim_{x\to\infty}\big[f(x)-ax\big]=\lim_{x\to}\frac{\ln(x)}{x}=0\end{align}</math>
−
+
  
−
אסימטוטות
+
ולכן <math>l(x)=0</math> אסימטוטה אופקית.
  
−
אסימטוטה אנכית ב x=0
+
====התנהגות הפונקציה באינסוף====
−
  כיוון ש \lim_{x\to0^{+}}f(x)=-\infty
+
עבור הדוגמא שלנו <math>\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=0</math>
−
+
  
−
אסימטוטה אופקית:  
+
ציור הפונקציה [[קובץ:Example2CStirgul2.gif]]
  
−
a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x^{2}}=lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x}}{2x}=0
+
===דוגמא 3: <math>f(x)=\dfrac{x^3}{12-x^2}</math>===
−
+
====תחום הגדרה====
 +
<math>x\ne\pm2\sqrt3</math>
  
−
b=lim_{x\to\infty}(f(x)-ax)=lim_{x\to}\frac{\ln(x)}{x}=0
+
====זוגיות/אי-זוגיות====
−
+
<math>f(-x)=\dfrac{-x^3}{12-x^2}=-f(x)</math> ולכן <math>f(x)</math> אי-זוגית.
  
−
ולכן l(x)=0
+
===נקודות קיצון===
−
  אסימטוטה אופקית
+
<math>f'(x)=\dfrac{3x^2(12-x^2)+2x^4}{(12-x^2)^2}=\dfrac{x^2(36-x^2)}{(12-x^2)^{2}}</math> ולכן הנקודות החשודות הן <math>x_0=0,\pm6,\pm2\sqrt3</math>
  
−
התנהגות הפונצקיה באינסוף
+
(נשים לב שהנקודות <math>\pm2\sqrt3</math> אינן נקודות קיצון כי אינן בתחום ההגדרה).
  
−
עבור הדוגמא שלנו lim_{x\to\infty}f(x)=0
+
=====מקס' או מיני'=====
−
+
נשים לב שסימן הנגזרת נקבע לפי החלק של <math>36-x^2</math> :
  
−
ציור הפונקציה
+
<math>\begin{align}f'(-7)<0\\f'(-6)=0\\f'(-4)>0\\f'(-1)>0\\f'(0)=0\\f'(4)>0\\f'(6)=0\\f'(7)<0\end{align}</math>
  
 +
ולכן משמאל ל-'''6-''' הפונקציה יורדת ומימין ל-'''6-''' היא עולה, כלומר '''6-''' נקודות מיני'.
  
 +
6 נקודת מקס'.
  
−
דוגמא 3: f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}}
+
0 אינה נקודת קיצון כי הפונקציה עולה גם מימין לה וגם משמאל.
−
+
  
−
תחום הגדרה
+
====תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול====
 +
דוגמא:
  
−
תחום ההגדרה של הוא x\not=\pm\sqrt{12}
+
<math>\begin{align}f(x)&=\dfrac{x^3}{12-x^2}\\f'(x)&=\dfrac{3x^2(12-x^2)+2x^4}{(12-x^2)^2}=\dfrac{x^2(36-x^2)}{(12-x^2)^2}\\f''(x)&=\dfrac{24x(12-x^2)(36+x^2)}{(12-x^2)^4}\end{align}</math>
−
+
  
−
זוגיות/אי זוגיות
+
הנקודות החשודות לפיתול הן <math>0,\pm2\sqrt3</math> . הסימן של <math>f''(x)</math> נקבע לפי החלק <math>x(12-x^2)</math> .
  
−
f(-x)=\frac{-x^{3}}{12-x^{2}}=-f(x)
+
נבדוק:
−
  ולכן f(x)
+
−
  אי זוגית
+
  
−
נקודות קיצון
+
<math>\begin{align}f''(-4)>0\\f''(-1)<0\\f(0)=0\\f(1)>0\\f(4)<0\end{align}</math>
  
−
f'(x)=\frac{3x^{2}(12-x^{2})+2x^{4}}{(12-x^{2})^{2}}=\frac{x^{2}(36-x^{2})}{(12-x^{2})^{2}}
+
ומכאן מסיקים כי -
−
  ולכן הנקודות החשודות הן x_{0}=0,\pm6,\pm\sqrt{12}
+
−
  )נשים לב שהנקודות \pm\sqrt{12}=\pm3.464
+
−
  אינן נקודות קיצון כי אינן בתחום ההגדרה(.
+
  
−
מקס' או מיני'
+
בקטע <math>(-\infty,-2\sqrt3)</math> הפונקציה קעורה כלפי מעלה,
  
−
איך יודעים אם מדובר בנקודות קיצון ואם מדובר בקיצון מקס' או בקיצון מיני'?
+
בקטע <math>(-2\sqrt3,0)</math> הפונקציה קעורה כלפי מטה,
  
−
.1 בדיקת הפונצקיה עצמה- הנקודות החשודות מחלקות את הישר לקטעים. נציב בכל קטע נקודה ונבדוק מה מתקבל:למשל נציב f(-7)=9.27,f(-6)=9,f(-4)=16,f(-1)=-0.09,f(0)=0,f(1)=0.09,f(4)=-16,f(6)=-9,f(7)=-9.27
+
בקטע <math>(0,2\sqrt3)</math> הפונקציה קעורה כלפי מעלה,
−
  ולכן 0
+
−
  אינה נקודת קיצון, -6
+
−
  נקודת מיני ו 6
+
−
  נקודות מקס'הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הפונצקיה היתה מחליפה מיקום )ביחס לנקודות החשודות( איפה שהוא אזי היתה נוצרת נקו' קיצון ואז היינו מגלים אותה בשלב הקודם.
+
  
−
.2 בדיקת ערכי הנגזרת- נבדוק את סימן הנגזרת מימין ומשמאל לנקודות )מסתמך על העובדה כי : אם f'(x)\leq0
+
בקטע <math>(2\sqrt3,\infty)</math> הפונקציה קעורה כלפי מטה,
−
  בקטע I
+
−
  אזי הפונקציה יורדת שם. אם f'(x)\geq0
+
−
  אז הפונצקיה עולה שם(: נשים לב שסימן הנגזרת נקבע לפי החלק של 36-x^{2}
+
−
f'(-7)<0,f'(-6)=0,f'(-4)>0,f'(-1)>0,f'(0)=0,f'(1)>0,f'(4)>-,f'(6)=0,f'(7)<0
+
−
ולכן מימין ל -6
+
−
  הפונקציה יורדת ומימין ל -6
+
−
  היא עולה ולכן -6
+
−
  נקודות מיני' וכו'
+
  
−
הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הנגזרת היתה מחליפה איפה שהוא את סימנה אזי היתה נוצרת נקו' קיצון ואז היינו מגלים אותה בשלב הקודם.
+
ובנקודה 0 יש נקודות פיתול (כי הנגזרת השניה שלילית עד אליה וחיובית ממנה).
  
−
.3 מבחן הנגזרת השניה- אם f'(x_{0})=0
+
====אסימפטוטות====
−
  ומתקיים f"(x_{0})>0
+
ל- <math>f(x)=\frac{x^3}{12-x^2}</math> יש 2 אסימפטוטות אנכיות ב- <math>x=\pm2\sqrt3</math>
−
  )או f"(x)<0
+
−
( אז x_{0}
+
−
  נקודות מיני' )או מקס'(: הסימן של הנגזרת השניה בנקודה x
+
−
  הוא (72x-4x^{3})(12-x^{2})^{2}+4x(12-x^{2})x^{2}(36-x^{2}) = x(12-x^{2})[(72-4x^{2})(12-x^{2})+4x^{2}(36-x^{2})]
+
−
= x(12-x^{2})[72\cdot12+24x^{2}]
+
−
= 24x(12-x^{2})[36+x^{2}]
+
−
f"(6)<0,f"(-6)>0
+
−
f"(0)=0
+
−
  ולכן לא ניתן לדעת לפי בדיקה זאת!
+
  
−
תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול
+
כי <math>\lim\limits_{x\to{-2\sqrt3}^+}f(x)=\lim\limits_{x\to{2\sqrt3}^+}f(x)=-\infty</math>
  
−
דוגמא: f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}}
+
<math>\lim\limits_{x\to{-2\sqrt3}^-}f(x)=\lim\limits_{x\to{2\sqrt3}^-}f(x)=\infty</math>
−
  אזי f'(x)=\frac{3x^{2}(12-x^{2})+2x^{4}}{(12-x^{2})^{2}}=\frac{x^{2}(36-x^{2})}{(12-x^{2})^{2}}
+
−
  ו f"(x)=\frac{24x(12-x^{2})[36+x^{2}]}{(12-x^{2})^{4}}
+
−
+
  
−
הנקודות החשודות לפיתלול הם 0,\pm\sqrt{12}
+
אסימפטוטה אופקית:
−
  הסימן של f"(x)
+
−
  נקבע לפי החלק x(12-x^{2})
+
−
+
  
−
נבדוק f"(-4)>0,f"(-1)<0,f(0)=0,f(1)>0,f(4)<0
+
<math>\displaystyle\begin{align}a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^3}{x(12-x^2)}=-1\\b=\lim_{x\to\infty}\left[\frac{x^3}{12-x^2}+x\right]=\lim_{x\to\infty}\frac{12x}{12-x^2}=0\end{align}</math>
−
. ומכאן מסיקים כי
+
−
 
+
−
בקטע (-\infty,-\sqrt{12})
+
−
  הפונצקיה קעורה כלפי מעלה
+
−
 
+
−
בקטע (-\sqrt{12},0)
+
−
  הפונצקיה קעורה כלפי מטה
+
−
 
+
−
בקטע (0,\sqrt{12})
+
−
  הפונצקיה קעורה כלפי מעלה
+
−
 
+
−
בקטע (\sqrt{12},\infty)
+
−
  הפונצקיה קעורה כלפי מטה
+
−
 
+
−
ובנקודה 0
+
−
  יש נקודות פיתול )כי הנגזרת השניה שלילית עד אליה וחיובית ממנה(
+
−
 
+
−
אסימטוטות
+
−
 
+
−
הגדרה: אסימטוטה אנכית ל f(x)
+
−
  היא קו מהצורה x=a
+
−
  כך שמתקיים lim_{x\to a}|f(x)|=\infty
+
−
.
+
−
 
+
−
דוגמא f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}}
+
−
  יש 2 אסימטוטות אנכיות ב x=\pm\sqrt{12}
+
−
+
−
 
+
−
כי lim_{x\to-\sqrt{12}^{+}}f(x)=lim_{x\to\sqrt{12}^{+}}f(x)=-\infty
+
−
+
−
 
+
−
lim_{x\to-\sqrt{12}^{-}}f(x)=lim_{x\to\sqrt{12}^{-}}f(x)=\infty
+
−
+
−
 
+
−
הגדרה: אסימטוטה אופקית היא ישר l(x)=ax+b
+
−
  המקיים lim_{x\to\infty}|f(x)-l(x)|=0
+
−
  או lim_{x\to-\infty}|f(x)-l(x)|=0
+
−
+
−
 
+
−
מתקיים a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}
+
−
  ואז b=lim_{x\to\infty}(f(x)-ax)
+
−
+
−
 
+
−
דוגמא: f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}}
+
−
  נמצא אסימטוטות:
+
−
 
+
−
a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}}{x(12-x^{2})}=-1
+
−
+
−
 
+
−
b=lim_{x\to\infty}(\frac{x^{3}}{12-x^{2}}+x)=lim_{x\to\infty}(\frac{12x}{12-x^{2}})=0
+
 
    
 
    
 +
באותו אופן גם אסימפטוטה לכיוון <math>x\to-\infty</math> תצא אותו דבר
  
−
באותו אופן גם אסימטוטה לכיוון x\to-\infty
+
ולכן <math>l(x)=-x</math> אסימפטוטה אופקית לשני הצדדים.
−
  תצא אותו דבר.
+
  
−
ולכן l(x)=-x
+
====התנהגות הפונקציה באינסוף====
−
  אסימטוטה אנכית
+
עבור הדוגמא שלנו <math>\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^3}{12-x^2}=\infty\ ,\ \lim_{x\to-\infty}\frac{x^3}{12-x^2}=-\infty</math>
  
−
התנהגות הפונצקיה באינסוף
+
====ציור הפונקציה====
 +
[[קובץ:Examp3e2CStirgul2.gif]]
  
−
עבור הדוגמא שלנו lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}}{12-x^{2}}=-\infty,lim_{x\to-\infty}\frac{x^{3}}{12-x^{2}}=\infty
+
משפטים לסיכום:
−
+
  
−
ציור הפונקציה
+
'''1)''' אם <math>f(x)</math> גזירה בנקודת קיצון <math>x_0</math> אזי <math>f'(x_0)=0</math> .
  
 +
'''2)''' מבחן הנגזרת השניה - אם <math>f'(x_0)=0</math> ומתקיים <math>f''(x_0)>0</math> אזי <math>x_0</math> נקודת מיני'.
  
 +
'''3)''' אם <math>f'(x)\le0</math> בקטע <math>I</math> אזי הפונקציה יורדת שם. אם <math>f'(x)\ge0</math> אזי הפונקציה עולה שם.
  
−
משפטים לסיכום
+
'''4)''' אם <math>f''(x_0)>0</math> אזי <math>f(x)</math> קעורה כלפי מעלה ב- <math>x_0</math> .
−
 
+
−
.1 אם f(x)
+
−
  גזירה בנקודת קיצון x_{0}
+
−
  אזי f'(x_{0})=0
+
−
 
+
−
 
+
−
.2 מבחן הנגזרת השניה- אם f'(x_{0})=0
+
−
  ומתקיים f"(x_{0})>0
+
−
  )או f"(x)<0
+
−
( אז x_{0}
+
−
  נקודות מיני' )או מקס'(
+
−
 
+
−
.3 אם f'(x)\leq0
+
−
  בקטע I
+
−
  אזי הפונקציה יורדת שם. אם f'(x)\geq0
+
−
  אז הפונקציה עולה שם
+
  
−
.4 אם f"(x_{0})>0
+
מסקנה: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם <math>f''(x)</math> אינה קיימת או ש- <math>f''(x)=0</math> .
−
  )f"(x_{0})<0
+
−
  ( אז f(x)
+
−
  קעורה כלפי מעלה )כלפי מטה( ב-x_{0}
+
−
.מסקנה: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם f"(x)
+
−
  אינה קיימת או ש f"(x)=0
+

גרסה אחרונה מ־01:10, 13 בפברואר 2017


נושא חקירת פונקציות בקורס חשבון אינפיניטיסימלי כוללת מחקר סט תכונות מוסכם (פחות או יותר):

  1. תחום הגדרה (קביעה באילו נקודות הפונקציה מוגדרת)
  2. זוגיות (קביעה האם הפונקציה זוגית, אי-זוגית או לא)
  3. תחומי מונוטוניות ומציאת נקודות קיצון
  4. תחומי קמירות ומציאת נקודות פיתול
  5. אסימפטוטות מאונכות
  6. נקודות חיתוך עם הצירים
  7. אסימפטוטות משופעות ומציאת התנהגות באינסוף
  8. תרפיה בתרשים- ציור גרף הפונקציה


הסברים ותרגילים על חקירת פונקציות

תרגילים

דוגמא 1: f(x)=x^2-6x+5

תחום הגדרה

הגדרה: תהי f(x) פונקציה. תחום הגדרתה היא A - אוסף כל הנקודות בהם f(x) מוגדרת.

דוגמא: תחום ההגדרה של f(x) הוא כל הישר \R .

זוגיות/אי-זוגיות

הגדרה: f(x) תקרא זוגית אם f(-x)=f(x) .

הגדרה: f(x) תקרא אי-זוגית אם f(-x)=-f(x) .

דוגמא: f(-x)=x^2+6x+5\not=\ \pm\ f(x) ולכן f(x) אינה זוגית ואינה אי-זוגית.

חיתוך עם הצירים

החיתוך עם ציר x הן הנקודות (1,0)\ ,\ (5,0)

החיתוך עם ציר y היא הנקודה (0,5) .

נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה

הגדרה: תהא f(x) פונקציה. נאמר כי f(x) עולה (יורדת) בתחום U אם

\forall x<y\in U:\ f(x)\le f(y) או \forall x<y\in U:\ f(x)\ge f(y) .

הגדרה: תהי f(x) פונקציה. x_0 תקרא נקודת קיצון - מקס' (או מינ') אם קיימת לה סביבה U כך ש-

\forall x\in U:f(x)\le f(x_0) או \forall x\in U:f(x)\ge f(x_0) .

משפט: אם f(x) גזירה בנקודת קיצון x_0 אזי f'(x_0)=0 .

מסקנה: כדי למצוא נקודות קיצון של f(x) מספיק לבדוק מתי f'(x)=0 או מתי הנגזרת אינה קיימת כלל.

דוגמא - נמצא את הנקודות האפשריות לנקודות קיצון ל- f(x) :

f'(x)=2x-6 ולכן הנקודה החשודה היחידה היא x_0=3 .

מקס' או מיני'

איך יודעים אם מדובר בנקודות קיצון ואם מדובר בקיצון מקס' או בקיצון מיני'?

  • בדיקת הפונקציה עצמה - הנקודות החשודות מחלקות את הישר לקטעים. נציב בכל קטע נקודה ונבדוק מה מתקבל: למשל נציב f(0)=5\ ,\ f(3)=-4\ ,\ f(6)=5 ולכן 3 נקודות מיני'.

הערה: אכן מספיק לבדוק נקודות אלו - כי אם הפונקציה היתה מחליפה מיקום (ביחס לנקודות החשודות) היכן שהוא אזי היתה נוצרת נקודת קיצון והיינו מגלים אותה בשלב הקודם.

  • בדיקת ערכי הנגזרת - נבדוק את סימן הנגזרת מימין ומשמאל לנקודות (מסתמך על העובדה כי: אם f'(x)\le0 בקטע I אזי הפונקציה יורדת שם. אם f'(x)\ge0 אז הפונקציה עולה שם): f'(0)<0\ ,\ f'(4)>0 ולכן משמאל ל-3 הפונקציה יורדת ומימין ל-3 היא עולה, כלומר x=3 נקודת מיני'.

הערה: בשלב זה מצב כי תחום העליה של f הוא [3,\infty) ותחום הירידה (-\infty,3] .

הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הנגזרת היתה מחליפה היכן שהוא את סימנה אזי היתה נוצרת נקודת קיצון והיינו מגלים אותה בשלב הקודם.

  • מבחן הנגזרת השניה - אם f'(x_0)=0 ומתקיים f''(x_0)>0 (או f''(x)<0) אז x_0 נקודות מיני' (או מקס'):

אצלנו f''(x)=2 ולכן f''(2)>0 .

תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול

תהא f(x) גזירה בנקודה x_0 אזי נאמר שהפונקציה קעורה כלפי מעלה/מטה ב- x_0 אם קיימת סביבה U של x_0 כך שלכל x\in U מתקיים:

f(x)\ge f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) או f(x)\le f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) .

נאמר כי x_0 נקודת פיתול אם קיימת סביבה U ימנית בה f(x)\ge f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) וסביבה שמאלית V בה f(x)\le f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) או להפך.

משפט: f''(x_0)>0 או f''(x_0)<0 אז f(x) קעורה כלפי מעלה/מטה ב- x_0 .

משפט: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם f''(x) אינה קיימת או ש- f''(x)=0 .

דוגמא: f''(x)=2 ולכן אין נקודות פיתול והפונקציה קעורה כלפי מעלה בכל הישר.

אסימפטוטות

הגדרה: אסימפטוטה אנכית ל- f(x) היא קו מהצורה x=a כך שמתקיים \lim\limits_{x\to a}|f(x)|=\infty . אצלנו אין אסימפטוטה אנכית.

הגדרה: אסימפטוטה אופקית היא ישר l(x)=ax+b המקיים \lim\limits_{x\to\infty}\Big|f(x)-l(x)\Big|=0 או \lim\limits_{x\to-\infty}\Big|f(x)-l(x)\Big|=0 .

איך מוצאים? מתקיים a=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x} ואז b=\lim\limits_{x\to\infty}\big[f(x)-ax\big] .

דוגמא - אצלנו:

\displaystyle a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-6x+5}{x}=\infty

ולכן אין אסימפטוטה אופקית.

התנהגות הפונקציה באינסוף

עבור הדוגמא שלנו \lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\infty

ציור הפונקציה Example1CStirgul2.gif

דוגמא 2: f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}

תחום הגדרה

x>0 כי \ln(x) לא-מוגדרת עבור x-ים שליליים.

זוגיות/אי-זוגיות

לא שייך בגלל תחום ההגדרה.

חיתוך עם הצירים

החיתוך עם ציר x הוא (1,0) .

החיתוך עם ציר y לא קיים בגלל תחום ההגדרה.

נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה

f'(x)=\dfrac{1-\ln(x)}{x^2} לכן יש לה נקודה חשודה ב- x=e

הסימן של f'' נקבע ע"י -x-2x\big(1-\ln(x)\big)=-x\big(3-2\ln(x)\big) .

f(e)<0 ולכן זוהי נקודת מקס'.

תחומי העליה של הפונקציה (0,e) .

תחומי הירידה (e,\infty) .

תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול

הסימן של f'' נקבע ע"י -x\big(3-2\ln(x)\big) ולכן נקודות חשודות לפיתול הם e\sqrt{e} .

f''(e)<0\ ,\ f''(e^4)>0 ולכן e\sqrt{e}\approx 10 נקודת פיתול.

הפונקציה קעורה כלפי מטה ב- (0,e\sqrt{e}) .

הפונקציה קעורה כלפי מעלה ב- (e\sqrt{e},\infty) .

אסימפטוטות

אסימפטוטה אנכית ב- x=0 כיון ש- \lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty .

אסימפטוטה אופקית:

\begin{align}\displaystyle a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x^2}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac1x}{2x}=0\\b=\lim_{x\to\infty}\big[f(x)-ax\big]=\lim_{x\to}\frac{\ln(x)}{x}=0\end{align}

ולכן l(x)=0 אסימטוטה אופקית.

התנהגות הפונקציה באינסוף

עבור הדוגמא שלנו \lim\limits_{x\to\infty}f(x)=0

ציור הפונקציה Example2CStirgul2.gif

דוגמא 3: f(x)=\dfrac{x^3}{12-x^2}

תחום הגדרה

x\ne\pm2\sqrt3

זוגיות/אי-זוגיות

f(-x)=\dfrac{-x^3}{12-x^2}=-f(x) ולכן f(x) אי-זוגית.

נקודות קיצון

f'(x)=\dfrac{3x^2(12-x^2)+2x^4}{(12-x^2)^2}=\dfrac{x^2(36-x^2)}{(12-x^2)^{2}} ולכן הנקודות החשודות הן x_0=0,\pm6,\pm2\sqrt3

(נשים לב שהנקודות \pm2\sqrt3 אינן נקודות קיצון כי אינן בתחום ההגדרה).

מקס' או מיני'

נשים לב שסימן הנגזרת נקבע לפי החלק של 36-x^2 :

\begin{align}f'(-7)<0\\f'(-6)=0\\f'(-4)>0\\f'(-1)>0\\f'(0)=0\\f'(4)>0\\f'(6)=0\\f'(7)<0\end{align}

ולכן משמאל ל-6- הפונקציה יורדת ומימין ל-6- היא עולה, כלומר 6- נקודות מיני'.

6 נקודת מקס'.

0 אינה נקודת קיצון כי הפונקציה עולה גם מימין לה וגם משמאל.

תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול

דוגמא:

\begin{align}f(x)&=\dfrac{x^3}{12-x^2}\\f'(x)&=\dfrac{3x^2(12-x^2)+2x^4}{(12-x^2)^2}=\dfrac{x^2(36-x^2)}{(12-x^2)^2}\\f''(x)&=\dfrac{24x(12-x^2)(36+x^2)}{(12-x^2)^4}\end{align}

הנקודות החשודות לפיתול הן 0,\pm2\sqrt3 . הסימן של f''(x) נקבע לפי החלק x(12-x^2) .

נבדוק:

\begin{align}f''(-4)>0\\f''(-1)<0\\f(0)=0\\f(1)>0\\f(4)<0\end{align}

ומכאן מסיקים כי -

בקטע (-\infty,-2\sqrt3) הפונקציה קעורה כלפי מעלה,

בקטע (-2\sqrt3,0) הפונקציה קעורה כלפי מטה,

בקטע (0,2\sqrt3) הפונקציה קעורה כלפי מעלה,

בקטע (2\sqrt3,\infty) הפונקציה קעורה כלפי מטה,

ובנקודה 0 יש נקודות פיתול (כי הנגזרת השניה שלילית עד אליה וחיובית ממנה).

אסימפטוטות

ל- f(x)=\frac{x^3}{12-x^2} יש 2 אסימפטוטות אנכיות ב- x=\pm2\sqrt3

כי \lim\limits_{x\to{-2\sqrt3}^+}f(x)=\lim\limits_{x\to{2\sqrt3}^+}f(x)=-\infty

\lim\limits_{x\to{-2\sqrt3}^-}f(x)=\lim\limits_{x\to{2\sqrt3}^-}f(x)=\infty

אסימפטוטה אופקית:

\displaystyle\begin{align}a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^3}{x(12-x^2)}=-1\\b=\lim_{x\to\infty}\left[\frac{x^3}{12-x^2}+x\right]=\lim_{x\to\infty}\frac{12x}{12-x^2}=0\end{align}

באותו אופן גם אסימפטוטה לכיוון x\to-\infty תצא אותו דבר

ולכן l(x)=-x אסימפטוטה אופקית לשני הצדדים.

התנהגות הפונקציה באינסוף

עבור הדוגמא שלנו \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^3}{12-x^2}=\infty\ ,\ \lim_{x\to-\infty}\frac{x^3}{12-x^2}=-\infty

ציור הפונקציה

Examp3e2CStirgul2.gif

משפטים לסיכום:

1) אם f(x) גזירה בנקודת קיצון x_0 אזי f'(x_0)=0 .

2) מבחן הנגזרת השניה - אם f'(x_0)=0 ומתקיים f''(x_0)>0 אזי x_0 נקודת מיני'.

3) אם f'(x)\le0 בקטע I אזי הפונקציה יורדת שם. אם f'(x)\ge0 אזי הפונקציה עולה שם.

4) אם f''(x_0)>0 אזי f(x) קעורה כלפי מעלה ב- x_0 .

מסקנה: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם f''(x) אינה קיימת או ש- f''(x)=0 .

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=חקירת_פונקציות&oldid=70519