הבדלים בין גרסאות בדף "חקירת פונקציות"

גרסה מ־07:47, 3 במרץ 2014

נושא חקירת פונקציות בקורס חשבון אינפיניטיסימלי כוללת מחקר סט תכונות מוסכם (פחות או יותר):

תחום הגדרה (קביעה באילו נקודות הפונקציה מוגדרת)
זוגיות (קביעה האם הפונקציה זוגית, אי-זוגית או לא)
תחומי מונוטוניות ומציאת נקודות קיצון
תחומי קמירות ומציאת נקודות פיתול
אסימפטוטות מאונכות
נקודות חיתוך עם הצירים
אסימפטוטות משופעות ומציאת התנהגות באינסוף
תרפיה בתרשים- ציור גרף הפונקציה

הסברים ותרגילים על חקירת פונקציות

תוכן עניינים

1 תרגילים

תרגילים

דוגמא מספר 1 - $f(x)=x^{2}-6x+5$

תחום הגדרה

הגדרה: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): תהא f(x)

פונקציה. תחום ההגדרה של $f(x)$ היא A- אוסף כל הנקודות בהם $f(x)$ מוגדרת

דוגמא: תחום ההגדרה של $f(x)$ הוא כל הישר $\mathbb{R}$

זוגיות/אי זוגיות

הגדרה: $f(x)$ תקרא זוגית אם $f(x)=f(-x)$ הגדרה: $f(x)$ תקרא אי זוגית אם $f(x)=-f(-x)$

דוגמא: $f(-x)=x^{2}+6x+5\not=\,\pm\, f(x)$ ולכן $f(x)$ אינה זוגית ואינה אי זוגית

חיתוך עם הצירים

החיתוך עם ציר x הן הנקודות $(1,0).(5.0)$

החיתוך עם ציר y היא הנקודה $(0,5)$

נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה

הגדרה: תהא $f(x)$ פונקציה. נאמר ש $f(x)$ עולה (יורדת) בתחום $U$ אם $\forall x<y\in U:\, f(x)\leq f(y)$ ( $\forall x<y\in U:\, f(x)\geq f(y)$ )

הגדרה: תהא $f(x)$ פונקציה. $x_{0}$ תקרא נקודת קיצון- מקס' (או מינ') אם קיימת לה סביבה $U$ כך ש $\forall x\in U:f(x)\leq f(x_{0})$ (או $\forall x\in U:f(x)\geq f(x_{0})$ )

משפט: אם $f(x)$ גזירה בנקודת קיצון $x_{0}$ אזי $f'(x_{0})=0$

מסקנה: בשביל למצוא נקודות קיצון של $f(x)$ מספיק לבדוק מתי $f'(x)=0$ או מתי הנגזרת אינה קיימת כלל.

דוגמא - נמצא את הנקודות האפשריות לנקודות קיצון ל $f(x)$ :

$f'(x)=2x-6$ ולכן הנקודה החשודה היחידה היא $x_{0}=3$

מקס' או מיני'

איך יודעים אם מדובר בנקודות קיצון ואם מדובר בקיצון מקס' או בקיצון מיני'?

בדיקת הפונצקיה עצמה- הנקודות החשודות מחלקות את הישר לקטעים. נציב בכל קטע נקודה ונבדוק מה מתקבל:למשל נציב $f(0)=5\,,f(3)=-4,f(6)=5$

ולכן 3 נקודת מיני הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הפונצקיה היתה מחליפה מיקום )ביחס לנקודות החשודות( איפה שהוא אזי היתה נוצרת נקו' קיצון ואז היינו מגלים אותה בשלב הקודם.

בדיקת ערכי הנגזרת- נבדוק את סימן הנגזרת מימין ומשמאל לנקודות (

מסתמך על העובדה כי : אם $f'(x)\leq0$ בקטע I אזי הפונקציה יורדת שם. אם $f'(x)\geq0$ אז הפונקציה עולה שם): $f'(0)<0\,,f'(4)>0$ ולכן משמאל ל 3 הפונקציה יורדת ומימין ל 3 היא עולה ולכן 3 נקודות מיני'הערה: בשלב זה מצב כי תחום העליה של $f$ הוא $[3.\infty)$ ותחום הירידה $(-\infty,3]$

הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הנגזרת היתה מחליפה איפה שהוא את סימנה אזי היתה נוצרת נקו' קיצון ואז היינו מגלים אותה בשלב הקודם.

מבחן הנגזרת השניה- אם $f'(x_{0})=0$

ומתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x_{0})>0

(או עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x)<0

אז $x_{0}$ נקודות מיני' (או מקס'):

אצלנו עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x)=2

ולכן עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(2)>0

תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול

תהא $f(x)$ גזירה בנקודה $x_{0}$ אזי נאמר שהפונצקיה קעורה כלפי מעלה (כלפי מטה) ב $x_{0}$ אם קיימת סביבה $U$ של $x_{0}$ כך שלכל $x\in U$ מתקיים:

$f(x)\geq f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})$

( $f(x)\leq f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})$ )

נאמר ש $x_{0}$ נקודת פיתול אם קיימת סביבה $U$ ימנית בה $f(x)\geq f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})$ וסביבה שמאלית $V$ בה $f(x)\leq f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})$ או להיפך.

משפט: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x_{0})>0

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): (f"(x_{0})<0)

אז $f(x)$ קעורה כלפי מעלה (כלפי מטה) ב- $x_{0}$

משפט: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x)

אינה קיימת או ש עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x)=0

דוגמא: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x)=2

ולכן אין נקודות פיתול והפונקציה קעורה כלפי מעלה בכל הישר.

אסימטוטות

הגדרה: אסימטוטה אנכית ל $f(x)$ היא קו מהצורה $x=a$ כך שמתקיים $lim_{x\to a}|f(x)|=\infty$ אצלנו אין אסימטוטה אנכית.

הגדרה: אסימטוטה אופקית היא ישר $l(x)=ax+b$ המקיים $lim_{x\to\infty}|f(x)-l(x)|=0$ או $lim_{x\to-\infty}|f(x)-l(x)|=0$

איך מוצאים ? מתקיים

$a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}$

ואז $b=lim_{x\to\infty}(f(x)-ax)$

דוגמא- אצלנו:

$a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}-6x+5}{x}=\infty$ y ולכן אין אסימטוטה אופקית

התנהגות הפונצקיה באינסוף

עבור הדוגמא שלנו $lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\infty$

ציור הפונקציה

דוגמא 2: $f(x)=\frac{\ln(x)}{x}$

תחום הגדרה

$x>0$ כי $\ln(x)$ לא מוגדרת עבור $x$ -ים שליליים.

זוגיות/אי זוגיות

לא שייך בגלל תחום ההגדרה.

חיתוך עם הצירים

החיתוך עם ציר $x$ הוא $(1,0)$

החיתוך עם ציר y לא קיים בגלל תחום ההגדרה

נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה

$f'(x)=\frac{1-\ln(x)}{x^{2}}$ לכן יש לה נקודה חשודה ב $x=e$

הסימן של עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"

נקבע ע"י  $-x-2x(1-\ln(x))=-x(3-2\ln(x))$

$f(e)<0$ ולכן זוהי נקודת מקס'

תחומי העלייה של הפונקציה $\left(0,e\right)$

תחומי ירידה $\left(e,\infty\right)$

תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול

הסימן של עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"

נקבע ע"י $-x(3-2\ln(x))$ ולכן נקודות חשודות לפיתול הם $e^{3/2}$

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(e)<0,f"(e^{4})>0

ולכן $e^{3/2}\approx10$ נקודת פיתול

הפונקציה קעורה כלפי מטה ב $\left(0,e^{3/2}\right)$

הפונצקיה קעורה כלפי מעלה ב $\left(e^{3/2},\infty\right)$

אסימטוטות

אסימטוטה אנכית ב $x=0$ כיוון ש $\lim_{x\to0^{+}}f(x)=-\infty$

אסימטוטה אופקית: $a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x^{2}}=lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x}}{2x}=0$

$b=lim_{x\to\infty}(f(x)-ax)=lim_{x\to}\frac{\ln(x)}{x}=0$

ולכן $l(x)=0$ אסימטוטה אופקית

התנהגות הפונצקיה באינסוף

עבור הדוגמא שלנו $lim_{x\to\infty}f(x)=0$

ציור הפונקציה

דוגמא 3: $f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}}$

תחום הגדרה

תחום ההגדרה של הוא $x\not=\pm\sqrt{12}$

זוגיות/אי זוגיות

$f(-x)=\frac{-x^{3}}{12-x^{2}}=-f(x)$ ולכן $f(x)$ אי זוגית

נקודות קיצון

$f'(x)=\frac{3x^{2}(12-x^{2})+2x^{4}}{(12-x^{2})^{2}}=\frac{x^{2}(36-x^{2})}{(12-x^{2})^{2}}$ ולכן הנקודות החשודות הן $x_{0}=0,\pm6,\pm\sqrt{12}$ (נשים לב שהנקודות $\pm\sqrt{12}=\pm3.464$ ) אינן נקודות קיצון כי אינן בתחום ההגדרה.

מקס' או מיני'

נשים לב שסימן הנגזרת נקבע לפי החלק של $36-x^{2}$ $f'(-7)<0,f'(-6)=0,f'(-4)>0,f'(-1)>0,f'(0)=0,f'(1)>0,f'(4)>-,f'(6)=0,f'(7)<0$ ולכן מימין ל $-6$ הפונקציה יורדת ומימין ל $-6$ היא עולה ולכן $-6$ נקודות מיני'

6 נקודת מקס

0 אינה נקודת קיצון כי הפונקציה עולה גם מימין ל-0 וגם משמאל

תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול

דוגמא: $f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}}$ אזי $f'(x)=\frac{3x^{2}(12-x^{2})+2x^{4}}{(12-x^{2})^{2}}=\frac{x^{2}(36-x^{2})}{(12-x^{2})^{2}}$

ו עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x)=\frac{24x(12-x^{2})[36+x^{2}]}{(12-x^{2})^{4}}

הנקודות החשודות לפיתלול הם $0,\pm\sqrt{12}$ הסימן של עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x)

נקבע לפי החלק $x(12-x^{2})$

נבדוק עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(-4)>0,f"(-1)<0,f(0)=0,f(1)>0,f(4)<0

ומכאן מסיקים כי

בקטע $(-\infty,-\sqrt{12})$ הפונצקיה קעורה כלפי מעלה

בקטע $(-\sqrt{12},0)$ הפונצקיה קעורה כלפי מטה

בקטע $(0,\sqrt{12})$ הפונצקיה קעורה כלפי מעלה

בקטע $(\sqrt{12},\infty)$ הפונצקיה קעורה כלפי מטה

ובנקודה 0 יש נקודות פיתול(כי הנגזרת השניה שלילית עד אליה וחיובית ממנה)

אסימטוטות

ל- $f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}}$ יש 2 אסימטוטות אנכיות ב $x=\pm\sqrt{12}$

כי $lim_{x\to-\sqrt{12}^{+}}f(x)=lim_{x\to\sqrt{12}^{+}}f(x)=-\infty$

$lim_{x\to-\sqrt{12}^{-}}f(x)=lim_{x\to\sqrt{12}^{-}}f(x)=\infty$

אסימטוטה אופקית:

$a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}}{x(12-x^{2})}=-1$

$b=lim_{x\to\infty}(\frac{x^{3}}{12-x^{2}}+x)=lim_{x\to\infty}(\frac{12x}{12-x^{2}})=0$

באותו אופן גם אסימטוטה לכיוון $x\to-\infty$ תצא אותו דבר.

ולכן $l(x)=-x$ אסימטוטה אופקית לשני הצדדים

התנהגות הפונצקיה באינסוף

עבור הדוגמא שלנו $lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}}{12-x^{2}}=\infty,lim_{x\to-\infty}\frac{x^{3}}{12-x^{2}}=-\infty$

ציור הפונקציה

משפטים לסיכום

$.1$ אם $f(x)$ גזירה בנקודת קיצון x_{0} אזי $f'(x_{0})=0$

$.2$ מבחן הנגזרת השניה- אם $f'(x_{0})=0$ ומתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x_{0})>0

אז $x_{0}$ נקודות מיני'

$.3$ אם $f'(x)\leq0$ בקטע $I$ אזי הפונקציה יורדת שם. אם $f'(x)\geq0$ אז הפונקציה עולה שם

$.4$ אם עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x_{0})>0

אז $f(x)$ קעורה כלפי מעלה ב- $x_{0}$ מסקנה: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x)

אינה קיימת או ש עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x)=0

@@ שורה 329: / שורה 329: @@
 עבור הדוגמא שלנו
-<math>lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}}{12-x^{2}}=-\infty,lim_{x\to-\infty}\frac{x^{3}}{12-x^{2}}=\infty</math>
+<math>lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}}{12-x^{2}}=\infty,lim_{x\to-\infty}\frac{x^{3}}{12-x^{2}}=-\infty</math>
 ====ציור הפונקציה====

הבדלים בין גרסאות בדף "חקירת פונקציות"

גרסה מ־07:47, 3 במרץ 2014

תוכן עניינים

תרגילים

דוגמא מספר 1 - $f(x)=x^{2}-6x+5$

זוגיות/אי זוגיות

חיתוך עם הצירים

נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה

מקס' או מיני'

תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול

אסימטוטות

התנהגות הפונצקיה באינסוף

דוגמא 2: $f(x)=\frac{\ln(x)}{x}$

תחום הגדרה

זוגיות/אי זוגיות

חיתוך עם הצירים

נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה

תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול

אסימטוטות

התנהגות הפונצקיה באינסוף

דוגמא 3: $f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}}$

תחום הגדרה

זוגיות/אי זוגיות

נקודות קיצון

מקס' או מיני'

תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול

אסימטוטות

התנהגות הפונצקיה באינסוף

ציור הפונקציה

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים