שינויים
יצירת דף עם התוכן "==משפט 10== ===הוכחה=== לכל N מתקיים <math>\sum_{n=1}^N a_nb_n=\sum_{n=1}^{N-1} S_n(b_n-b_{n-1})+S_Nb_N</math>. נשאיף <math>N\to\infty</math>..."
==משפט 10==
===הוכחה===
לכל N מתקיים <math>\sum_{n=1}^N a_nb_n=\sum_{n=1}^{N-1} S_n(b_n-b_{n-1})+S_Nb_N</math>. נשאיף <math>N\to\infty</math> אזי <math>\lim_{N\to\infty} \underbrace{S_N}_\text{bounded}\underbrace{b_N}_{\to0}=0</math>. נותר להוכיח ש-<math>\lim_{n=1}^\infty s_n(b_n-b_{n-1})</math> מתכנס, ונעשה זאת ע"י כך שנראה שהוא מתכנס בהחלט. נסמן c כ-1 אם <math>\{b_n\}/math> יורדת ו-<math>-1</math> אחרת: <math>\sum_{n=1}^\infty |S_n||b_n-b_{n+1}|\le\sum_{n=1}^\infty M(b_n-b_{n+1})|c|=|\pm1|M\sum_{n=1}^\infty (b_n-b_{n+1})=M(b_1-\lim_{n\to\infty}b_n})=Mb_1\in\mathbb R</math> כלומר הסכום מתכנס. {{משל}}
===הערות ודוגמאות===
* משפט לייבניץ הוא מקרה פרטי של משפט דיריכלה: נגדיר <math>a_n=(-1)^{n+1}</math> (ולכן הסכומים החלקיים חסומים) ולכן עבור <math>b_n</math> מונוטונית יורדת שואפת לאפס מתקיים <math>\sum_{n=1^\infty a_n b_n</math>, שהוא טור לייבניץ, הטור מתכנס.
* נניח ש-<math>\{b_n\}</math> יורדת לאפס ונראה שהטור <math>\sum_{n=1}^\infty\cos(n)b_n</math> מתכנס. נגדיר <math>a_n=\cos(n)</math> ולכן מספיק להראות שהסכומים החלקיים <math>\sum_{n=1}^N a_n</math> חסומים. נסתמך על זהות טריגונומטרית האומרת ש-<math>\cos(\alpha)\sin(\beta)=\frac12\sin(\alpha+\beta)-\frac12\sin(\alpha-\beta)</math>. לפי זה לכל n מתקיים <math>\cos(n)\sin\left(\frac12\right)=\frac12\sin(n+1/2)-\frac12\sin(n-1/2)</math>. לכן <math>\sum_{n=1}^\infty\cos(n)=\frac1{\sin(1/2)}\sum_{n=1}^\infty\frac12(\sin(n+1/2)-\sin(n-1/2))=\frac12\frac{\sin(N+1/2)}{\sin(1/2)}-\frac12\le\frac12\frac1{\sin(1/2)}+\frac12</math>.
----
'''תזכורת:''' עד כאן דיברנו רק על אינטגרלים מהסוג <math>\int\limits_a^\infty f</math>. כמובן שיש מקבילית גמורה לאינטגרלים האלה: <math>\int\limits_{-\infty}^b f</math>. כאשר f אינטגרבילית מקומית ב-<math>(-\infty,b]</math> מגדירים <math>\int\limits_{-\infty}^b f=\lim_{R\to\infty}\int\limits_{-R}^b f</math> ואפשר לתרגם את כל המשפטים שלנו למקרה זה.
'''הגדרה:''' תהי f מוגדרת בכל <math>\mathbb R</math>. נאמר שהיא אינטגרבילית מקומית אם היא אינטגרבילית בכל קטע סופי <math>[a,b]</math>. למשל אם f רציפה למקוטעין ב-<math>\mathbb R</math> אז היא אינטגרבילית מקומית.
'''הגדרה:''' תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב-<math>\mathbb R</math>. נגדיר <math>\int\limits_{-\infty}^\infty f</math> להיות <math>\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^\infty f</math> בתנאי ששני האינטגרלים התכנסים. אם אפילו אחד מהם מתבדר נאמר ש-<math>\int\limits_{-\infty}\infty f</math> מתבדר. נבדוק שההגדרה בלתי תלוייה ב-a. ובכן בה"כ נבחר <math>b>a</math> ונבדוק:
# שני האינטגרלים <math>\int\limits_{-\infty}^a f,\int\limits_a^\infty f</math> מתכנסים אם"ם שני האינטגרלים <math>\int\limits_{-\infty}^b f,\int\limits_b^\infty f</math> מתכנסים. אבל עפ"י משפט 2 <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס אם"ם <math>\int\limits_b^\infty f</math> מתכנס. באותו אופן <math>\int\limits_{-\infty}^b f</math> מתכנס אם"ם <math>\int\limits_{-\infty}^a f</math> מתכנס, לכן הטענה מתקיימת.
# נוכיח שבמקרה שהאינטגרלים מתכנסים <math>\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^\infty f</math> אז הם שווים ל-<math>\int\limits_{-\infty}^b f+\int\limits_{-\infty}^b f</math>. ובכן עפ"י משפט 2 <math>\int\limits_{-\infty}^b f=\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^b f</math> וגם <math>\int\limits_b^\infty f=\int\limits_a^\infty f-\int\limits_a^b f</math>. נחבר את התוצאות ונקבל את הטענה.
=אינטגרל לא אמיתי מסוג שני=
מדובר באינטגרל על קטע סגור של פונקציה לא חסומה.
'''הגדרה:''' תהי f מוגדרת בקטע <math>(a,b]</math>. נאמר ש-f אינטגרבילית מקומית בקטע זה אם לכל c כך ש-<math>a<c<b</math> f אינטגרבילית בקטע <math>[c,b]</math> (למשל אם f רציפה למקוטעין ב-<math>(a,b]</math>).
אז נגדיר <math>\int\limits_a^b f=\lim_{R\to a^+}\int\limits_R^b f</math> אם הגבול קיים. אם כן אומרים שהאינטגרל <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס או ש-f אינטגרבילית בקטע <math>(a,b]</math>. אם אין גבול אומרים ש-<math>\int\limits_a^b f</math> מתבדר.
==דוגמאות==
# נקח <math>p>0</math> ונתבונן באינטגרל הלא אמיתי <math>\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}{x^p}</math>. עבור <math>p=1</math> נקבל <math>\lim_{R\to0^+}\int\limits_R^1\frac{\mathrm dx}x=\lim_{R\to0^+}[\ln|x|]_{x\to R^+}^1=\lim_{R\to0^+}-\ln(R)=\infty</math> והאינטגרל מתבדר. עבור <math>p\ne1</math> נקבל <math>\lim_{R\to0^+}\int\limits_R^1\frac{\mathrm dx}{x^p}=\lim_{R\to0^+}[\frac{x^{-p+1}}{x^{-p+1}}]_{x\to R^+}^1=\lim_{R\to0^+}\frac1{1-p}-\frac{R^{-p+1}}{-p+1}=\begin{cases}\frac1{1-p}&p<1\\\infty&\text{else}</math>.
# <math>\int\limits_0^\frac12\frac{\mathrm dx}{x(\ln(x))^2}</math>. נציב <math>y=\ln(x)</math> וכן <math>\mathrm dy=\frac{\mathrm dx}x</math> לקבל <math>\lim_{R\to0^+}\int\limits_{\ln(R)}^\frac12\frac{\mathrm dy}{y^2}=\lim_{R\to^+}-\frac1{\ln(1/2)}+\frac1{\ln(R)}=-\frac1{\ln(1/2)}</math> כלומר מתכנס.
# דרך קצרה: <math>\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}\sqrt x=\int\limits_0^1 x^{-\frac12}\mathrm dx=\left[\frac{x^{1/2}}{1/2}\right]_0^1=2</math>.
----
לגבי משפטי התכנסות יש אנלוגיות למשפטים שהוכחנו עבור אינטגרל לא אמיתי מסוג ראשון. נרשום אותם ללא הוכחה.
'''הנחה קבועה:''' נניח ש-f ו-g אינטגרביליות מקומית בקטע <math>(a,b]</math>.
==משפט 1==
אם f ו-g אינטגרביליות ב-<math>(a,b]</math> ואם c קבוע אז <math>f+cg</math> אינטגרבילית בקטע <math>(a,b]</math> ומתקיים <math>\int\limits_a^bf+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>.
==משפט 2==
עבור <math>a<c<b</math> f אינטגרבילית בקטע <math>(a,b]</math> אם"ם היא אינטגרבילית בקטע <math>(a,c]</math> ואם כן <math>\int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+c\int\limits_c^b f</math>.
==משפט 3==
תהי F מוגדרת ומונוטונית בקטע <math>(a,b]</math> אזי <math>\lim_{x\to a^+} F(x)</math> קיים אם"ם F חסומה בקטע <math>(a,b]</math>.
===מסקנה===
עבור <math>f(x)\ge0</math> האינטגרל <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_c^b f</math> חבומים כאשר <math>c\to a+</math>.
==משפט 4 {{הערה|(מבחן ההשוואה)}}==
נניח שב-<math>(a,b]</math> מתקיים <math>0\le f(x)\le g(x)</math>.
* אם <math>\int\limits_a^b g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס.
* אם <math>\int\limits_a^b f</math> מתבדר אז <math>\int\limits_a^b g</math> מתבדר.
===הוכחה===
לכל N מתקיים <math>\sum_{n=1}^N a_nb_n=\sum_{n=1}^{N-1} S_n(b_n-b_{n-1})+S_Nb_N</math>. נשאיף <math>N\to\infty</math> אזי <math>\lim_{N\to\infty} \underbrace{S_N}_\text{bounded}\underbrace{b_N}_{\to0}=0</math>. נותר להוכיח ש-<math>\lim_{n=1}^\infty s_n(b_n-b_{n-1})</math> מתכנס, ונעשה זאת ע"י כך שנראה שהוא מתכנס בהחלט. נסמן c כ-1 אם <math>\{b_n\}/math> יורדת ו-<math>-1</math> אחרת: <math>\sum_{n=1}^\infty |S_n||b_n-b_{n+1}|\le\sum_{n=1}^\infty M(b_n-b_{n+1})|c|=|\pm1|M\sum_{n=1}^\infty (b_n-b_{n+1})=M(b_1-\lim_{n\to\infty}b_n})=Mb_1\in\mathbb R</math> כלומר הסכום מתכנס. {{משל}}
===הערות ודוגמאות===
* משפט לייבניץ הוא מקרה פרטי של משפט דיריכלה: נגדיר <math>a_n=(-1)^{n+1}</math> (ולכן הסכומים החלקיים חסומים) ולכן עבור <math>b_n</math> מונוטונית יורדת שואפת לאפס מתקיים <math>\sum_{n=1^\infty a_n b_n</math>, שהוא טור לייבניץ, הטור מתכנס.
* נניח ש-<math>\{b_n\}</math> יורדת לאפס ונראה שהטור <math>\sum_{n=1}^\infty\cos(n)b_n</math> מתכנס. נגדיר <math>a_n=\cos(n)</math> ולכן מספיק להראות שהסכומים החלקיים <math>\sum_{n=1}^N a_n</math> חסומים. נסתמך על זהות טריגונומטרית האומרת ש-<math>\cos(\alpha)\sin(\beta)=\frac12\sin(\alpha+\beta)-\frac12\sin(\alpha-\beta)</math>. לפי זה לכל n מתקיים <math>\cos(n)\sin\left(\frac12\right)=\frac12\sin(n+1/2)-\frac12\sin(n-1/2)</math>. לכן <math>\sum_{n=1}^\infty\cos(n)=\frac1{\sin(1/2)}\sum_{n=1}^\infty\frac12(\sin(n+1/2)-\sin(n-1/2))=\frac12\frac{\sin(N+1/2)}{\sin(1/2)}-\frac12\le\frac12\frac1{\sin(1/2)}+\frac12</math>.
----
'''תזכורת:''' עד כאן דיברנו רק על אינטגרלים מהסוג <math>\int\limits_a^\infty f</math>. כמובן שיש מקבילית גמורה לאינטגרלים האלה: <math>\int\limits_{-\infty}^b f</math>. כאשר f אינטגרבילית מקומית ב-<math>(-\infty,b]</math> מגדירים <math>\int\limits_{-\infty}^b f=\lim_{R\to\infty}\int\limits_{-R}^b f</math> ואפשר לתרגם את כל המשפטים שלנו למקרה זה.
'''הגדרה:''' תהי f מוגדרת בכל <math>\mathbb R</math>. נאמר שהיא אינטגרבילית מקומית אם היא אינטגרבילית בכל קטע סופי <math>[a,b]</math>. למשל אם f רציפה למקוטעין ב-<math>\mathbb R</math> אז היא אינטגרבילית מקומית.
'''הגדרה:''' תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב-<math>\mathbb R</math>. נגדיר <math>\int\limits_{-\infty}^\infty f</math> להיות <math>\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^\infty f</math> בתנאי ששני האינטגרלים התכנסים. אם אפילו אחד מהם מתבדר נאמר ש-<math>\int\limits_{-\infty}\infty f</math> מתבדר. נבדוק שההגדרה בלתי תלוייה ב-a. ובכן בה"כ נבחר <math>b>a</math> ונבדוק:
# שני האינטגרלים <math>\int\limits_{-\infty}^a f,\int\limits_a^\infty f</math> מתכנסים אם"ם שני האינטגרלים <math>\int\limits_{-\infty}^b f,\int\limits_b^\infty f</math> מתכנסים. אבל עפ"י משפט 2 <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס אם"ם <math>\int\limits_b^\infty f</math> מתכנס. באותו אופן <math>\int\limits_{-\infty}^b f</math> מתכנס אם"ם <math>\int\limits_{-\infty}^a f</math> מתכנס, לכן הטענה מתקיימת.
# נוכיח שבמקרה שהאינטגרלים מתכנסים <math>\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^\infty f</math> אז הם שווים ל-<math>\int\limits_{-\infty}^b f+\int\limits_{-\infty}^b f</math>. ובכן עפ"י משפט 2 <math>\int\limits_{-\infty}^b f=\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^b f</math> וגם <math>\int\limits_b^\infty f=\int\limits_a^\infty f-\int\limits_a^b f</math>. נחבר את התוצאות ונקבל את הטענה.
=אינטגרל לא אמיתי מסוג שני=
מדובר באינטגרל על קטע סגור של פונקציה לא חסומה.
'''הגדרה:''' תהי f מוגדרת בקטע <math>(a,b]</math>. נאמר ש-f אינטגרבילית מקומית בקטע זה אם לכל c כך ש-<math>a<c<b</math> f אינטגרבילית בקטע <math>[c,b]</math> (למשל אם f רציפה למקוטעין ב-<math>(a,b]</math>).
אז נגדיר <math>\int\limits_a^b f=\lim_{R\to a^+}\int\limits_R^b f</math> אם הגבול קיים. אם כן אומרים שהאינטגרל <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס או ש-f אינטגרבילית בקטע <math>(a,b]</math>. אם אין גבול אומרים ש-<math>\int\limits_a^b f</math> מתבדר.
==דוגמאות==
# נקח <math>p>0</math> ונתבונן באינטגרל הלא אמיתי <math>\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}{x^p}</math>. עבור <math>p=1</math> נקבל <math>\lim_{R\to0^+}\int\limits_R^1\frac{\mathrm dx}x=\lim_{R\to0^+}[\ln|x|]_{x\to R^+}^1=\lim_{R\to0^+}-\ln(R)=\infty</math> והאינטגרל מתבדר. עבור <math>p\ne1</math> נקבל <math>\lim_{R\to0^+}\int\limits_R^1\frac{\mathrm dx}{x^p}=\lim_{R\to0^+}[\frac{x^{-p+1}}{x^{-p+1}}]_{x\to R^+}^1=\lim_{R\to0^+}\frac1{1-p}-\frac{R^{-p+1}}{-p+1}=\begin{cases}\frac1{1-p}&p<1\\\infty&\text{else}</math>.
# <math>\int\limits_0^\frac12\frac{\mathrm dx}{x(\ln(x))^2}</math>. נציב <math>y=\ln(x)</math> וכן <math>\mathrm dy=\frac{\mathrm dx}x</math> לקבל <math>\lim_{R\to0^+}\int\limits_{\ln(R)}^\frac12\frac{\mathrm dy}{y^2}=\lim_{R\to^+}-\frac1{\ln(1/2)}+\frac1{\ln(R)}=-\frac1{\ln(1/2)}</math> כלומר מתכנס.
# דרך קצרה: <math>\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}\sqrt x=\int\limits_0^1 x^{-\frac12}\mathrm dx=\left[\frac{x^{1/2}}{1/2}\right]_0^1=2</math>.
----
לגבי משפטי התכנסות יש אנלוגיות למשפטים שהוכחנו עבור אינטגרל לא אמיתי מסוג ראשון. נרשום אותם ללא הוכחה.
'''הנחה קבועה:''' נניח ש-f ו-g אינטגרביליות מקומית בקטע <math>(a,b]</math>.
==משפט 1==
אם f ו-g אינטגרביליות ב-<math>(a,b]</math> ואם c קבוע אז <math>f+cg</math> אינטגרבילית בקטע <math>(a,b]</math> ומתקיים <math>\int\limits_a^bf+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>.
==משפט 2==
עבור <math>a<c<b</math> f אינטגרבילית בקטע <math>(a,b]</math> אם"ם היא אינטגרבילית בקטע <math>(a,c]</math> ואם כן <math>\int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+c\int\limits_c^b f</math>.
==משפט 3==
תהי F מוגדרת ומונוטונית בקטע <math>(a,b]</math> אזי <math>\lim_{x\to a^+} F(x)</math> קיים אם"ם F חסומה בקטע <math>(a,b]</math>.
===מסקנה===
עבור <math>f(x)\ge0</math> האינטגרל <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_c^b f</math> חבומים כאשר <math>c\to a+</math>.
==משפט 4 {{הערה|(מבחן ההשוואה)}}==
נניח שב-<math>(a,b]</math> מתקיים <math>0\le f(x)\le g(x)</math>.
* אם <math>\int\limits_a^b g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס.
* אם <math>\int\limits_a^b f</math> מתבדר אז <math>\int\limits_a^b g</math> מתבדר.
