שינויים
=אינטגרל לא אמיתי, סוג I {{הערה|(המשך)}}='''תזכורת:''' עד כאן דיברנו רק על אינטגרלים מהסוג <math>\int\limits_a^\infty f</math>. כמובן שיש מקבילית גמורה לאינטגרלים האלה: <math>\int\limits_{----\infty}^b f</math>. כמובן שאפשר לתרגם את כל המשפטים שלנו למקרה זה.
'''תזכורתהגדרה:''' עד כאן דיברנו רק על אינטגרלים מהסוג <math>\int\limits_a^\infty תהי f</math>. כמובן שיש מקבילית גמורה לאינטגרלים האלה: מוגדרת בכל <math>\int\limits_{-\infty}^b fmathbb R</math>. כאשר f נאמר שהיא אינטגרבילית מקומית ב-אם היא אינטגרבילית בכל קטע סופי <math>(-\infty[a,b]</math> מגדירים . למשל, אם f רציפה למקוטעין ב-<math>\int\limits_{-\infty}^b f=\lim_{mathbb R\to\infty}\int\limits_{-R}^b f</math> ואפשר לתרגם את כל המשפטים שלנו למקרה זהאז היא אינטגרבילית מקומית.
'''הגדרהתזכורת:''' תהי f מוגדרת בכל ואינטגרבילית מקומית. הגדרנו <math>\mathbb Rint\limits_{-\infty}^\infty f</math>להיות <math>\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^\infty f</math> בתנאי ששני האינטגרלים התכנסים. נאמר שהיא אינטגרבילית מקומית אם היא אינטגרבילית בכל קטע סופי אפילו אחד מהם מתבדר נאמר ש-<math>[\int\limits_{-\infty}^\infty f</math> מתבדר. נבדוק שההגדרה בלתי תלוייה ב-a. ובכן בה"כ נבחר <math>b>a</math> ונבדוק את שתי הטענות הבאות:* שני האינטגרלים <math>\int\limits_{-\infty}^a f,\int\limits_a^\infty f</math> מתכנסים אם"ם שני האינטגרלים <math>\int\limits_{-\infty}^b]f,\int\limits_b^\infty f</math>מתכנסים. למשל *: עפ"י משפט 2 <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס אם "ם <math>\int\limits_b^\infty f רציפה למקוטעין ב</math> מתכנס. באותו אופן <math>\int\limits_{-\infty}^b f</math> מתכנס אם"ם <math>\mathbb Rint\limits_{-\infty}^a f</math> מתכנס, לכן הטענה מתקיימת.* נוכיח שבמקרה שהאינטגרלים מתכנסים <math>\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^\infty f</math> אז היא אינטגרבילית מקומיתהם שווים ל-<math>\int\limits_{-\infty}^b f+\int\limits_{-\infty}^b f</math>.*: ובכן עפ"י משפט 2 <math>\int\limits_{-\infty}^b f=\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^b f</math> וגם <math>\int\limits_b^\infty f=\int\limits_a^\infty f-\int\limits_a^b f</math>. נחבר את התוצאות ונקבל את הטענה.
מדובר באינטגרל על קטע סגור של פונקציה לא חסומה.
'''הגדרה:''' תהי f מוגדרת בקטע <math>(a,b]</math>. נאמר ש-f אינטגרבילית מקומית בקטע זה אם לכל c כך ש-<math>a<c<b</math> f אינטגרבילית בקטע <math>[c,b]</math> (למשל , אם f רציפה למקוטעין ב-<math>(a,b]</math>). אז לכן נגדיר <math>\int\limits_a^b f=\lim_{R\to a^+}\int\limits_R^b f</math> אם הגבול קיים. אם כן אומרים שהאינטגרל <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס או ש-f אינטגרבילית בקטע <math>(a,b]</math>. אם אין גבול אומרים ש-<math>\int\limits_a^b f</math> מתבדר.
==דוגמאות==
# נקח <math>p>0</math> ונתבונן באינטגרל הלא אמיתי <math>\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}{x^p}</math>. עבור <math>p=1</math> נקבל <math>\lim_{R\to0^+}\int\limits_R^1\frac{\mathrm dx}x=\lim_{R\to0^+}[\ln|x|]_{x\to =R^+}^1=\lim_{R\to0^+}-\ln(R)=\infty</math> והאינטגרל מתבדר. עבור <math>p\ne1</math> נקבל <math>\lim_{R\to0^+}\int\limits_R^1\frac{\mathrm dx}{x^p}=\lim_{R\to0^+}\left[\frac{x^{-p+1}}{x^{-p+1}}\right]_{x\to =R^+}^1=\lim_{R\to0^+}\frac1{1-p}-\frac{R^{-p+1}}{-p+1}=\begin{cases}\frac1{1-p}&p<1\\\infty&\text{else}\end{cases}</math>.# <math>\int\limits_0^\frac12\frac{\mathrm dx}{x(\ln(x))^2}</math>. נציב <math>y=\ln(x)</math> וכן <math>\mathrm dy=\frac{\mathrm dx}x</math> לקבל <math>\lim_{R\to0^+}\int\limits_{\ln(R)}^\frac12\frac{\mathrm dy}{y^2}=\lim_{R\toto0^+}-\frac1{\ln(1/2)}+\frac1{\ln(R)}=-\frac1{\ln(1/2)}</math> כלומר מתכנס.
# דרך קצרה: <math>\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}\sqrt x=\int\limits_0^1 x^{-\frac12}\mathrm dx=\left[\frac{x^{1/2}}{1/2}\right]_0^1=2</math>.
אם f ו-g אינטגרביליות ב-<math>(a,b]</math> ואם c קבוע אז <math>f+cg</math> אינטגרבילית בקטע <math>(a,b]</math> ומתקיים <math>\int\limits_a^bf+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>.
==משפט 2==
עבור <math>a<c<b</math> f אינטגרבילית בקטע <math>(a,b]</math> אם"ם היא אינטגרבילית בקטע <math>(a,c]</math> ואם כן <math>\int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+c\int\limits_c^b f</math>.
==משפט 3==
תהי F f מוגדרת ומונוטונית בקטע <math>(a,b]</math> אזי <math>\lim_{x\to a^+} Ff(x)</math> קיים אם"ם F f חסומה בקטע <math>(a,b]</math>.
===מסקנה===
עבור <math>f(x)\ge0</math> האינטגרל <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_c^b f</math> חבומים חסומים כאשר <math>c\to a^+</math>.
==משפט 4 {{הערה|(מבחן ההשוואה)}}==
נניח שב-<math>(a,b]</math> מתקיים הפונקציות f,g אינטגרביליות מקומית וכן <math>0\le f(x)\le g(x)</math>.
* אם <math>\int\limits_a^b g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס.
* אם <math>\int\limits_a^b f</math> מתבדר אז <math>\int\limits_a^b g</math> מתבדר.