שינויים
יצירת דף עם התוכן "{{הערה|את דוגמה 4 לא סיימנו בהרצאה הקודמת ולכן השלמנו אותה ב-31.5.11. [[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/29.5..."
{{הערה|את דוגמה 4 לא סיימנו בהרצאה הקודמת ולכן השלמנו אותה ב-31.5.11. [[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/29.5.11#continue|חלק זה]] מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף הנוכחי.}}
=טורי חזקות {{הערה|(המשך)}}=
'''תזכורת:''' בהרצאה הקודמת הוכחנו ש-<math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}</math> לכל <math>x\in(-1,1)</math> והערנו שאם ניתן להציב <math>x=1</math> נקבל את המשוואה היפה <math>\frac\pi4=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2n+1}</math>. כמו כן אמרנו ש-<math>\ln(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{(x-1)^{n+1}}{n+1}</math> עבור <math>x\in(0,2)</math> ושאם מותר להציב <math>x=2</math> אזי <math>\ln(2)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n+1}</math>.
==משפט 5 {{הערה|(משפט אבל)}}==
נניח ש-<math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n</math> בקטע <math>(-1,1)</math> ו-<math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math> מתכנס ל-<math>S\in\mathbb R</math>, אזי <math>\lim_{x\to1^-}f(x)</math> קיים ושווה ל-S.
===הוכחה===
נעזר בסכימה בחלקים: נסמן <math>S_N=\sum_{n=0}^N a_n</math> ולכן <math>\forall N\in\mathbb N:\ \sum_{n=0}^Na_nx^n=\sum_{n=0}^{N-1}S_n\left(x^n-x^{n+1}\right)+S_Nx^N</math> כאשר <math>-1<x<1</math>. לפי הנתון <math>S=\lim_{N\to\infty}S_N</math>, ולכן אם <math>0<x<1</math> אז <math>\lim_{N\to\infty}S_Nx^N=0</math> ועבור <math>0\le x\le 1</math> מתקיים <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=\sum_{n=0}^\infty S_n\left(x^n-x^{n+1}\right)=(1-x)\sum_{n=0}^\infty S_nx^n</math>. כמו כן, <math>\forall x\in[0,1):\ 1=(1-x)\sum){n=0}^\infty=\sum_{n=0}Y\infty x^n=1</math> (כי <math>\frac1{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n</math>). לכן <math>S=(1-x)\sum_{n=1}^\infty Sx^n</math> ומכאן שעבור <math>x\in[0,1)</math> מתקיים <math>f(x)-S=(1-x)\sum_{n=0}^\infty(S_n-S)x^n</math>. נרצה להוכיח ש-<math>\lim_{x\to1^-}f(x)-S=0</math>: יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון ומכיוון ש-<math>\lim_{n\to\infty}S_n=S</math> קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> יתקיים <math>|S_n-S|<\frac\varepsilon2</math>. נסמן <math>I_1=(1-x)\sum_{n=0}^{n_0}(S_n-S)x^n</math> וכן <math>I_2=(1-x)\sum_{n=n_0+1}^\infty(S_n-S)x^n</math>, לכן <math>f(x)-S=I_1+I_2</math>. עתה <math>|I_2|\le(1-x)\sum_{n=n_0+1}^\infty|S_n-S|x^n<\frac\varepsilon2(1-x)\sum_{n=n_0+1}^\infty x^n\le\frac\varepsilon2(1-x)\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac\varepsilon2</math>. לגבי <math>I_1</math> נגדיר <math>M=\sum_{n=0}^{n_0}|S_n-S|</math> ולכן <math>|I_1|\le(1-x)\sum_{n=0}^{n_0}|S_n-S|</math>. עתה <math>x\to1^-</math> ולכן <math>0<1-x<\frac\varepsilon{2M}</math>, לכן <math>|I_1|\le\frac\varepsilon{2M}M=\frac\varepsilon2</math>. לסיכום הוכחנו שאם <math>1-\frac\varepsilon{2M}<x<1</math> אזי <math>|f(x)-S|<|I_1|+|I_2|<\varepsilon</math> ולכן <math>\lim_{x\to1^-}f(x)-S=0</math>. {{משל}}
===מסקנה===
לגבי טור חזקות כללי <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> בעל רדיוס התכנסות R:
# אם <math>\sum_{n=0}^\infty a_nR^n</math> מתכנס ל-S אזי <math>\lim_{x\to x_0+R^-}f(x)</math> קיים ושווה ל-S.
# אם <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(-R)^n</math> מתכנס ל-T אזי <math>\lim_{x\to x_0-R^+}f(x)</math> קיים ושווה ל-T.
====הוכחה====
# נציב <math>y=\frac{x-x_0}R</math> ולכן <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty \left(a_nR^n\right)y^n</math> עבור <math>|x-x_0|<R</math>, כלומר עבור <math>|y|<1</math>. נגדיר <math>g(y)=f(x)</math> ולכן מתקיימים תנאי משפט אבל ומתקיים <math>\lim_{y\to1^-}g(y)=S</math>, לכן <math>\lim_{x\to x_0+R^-}f(x)=S</math>. {{משל}}
# נציב <math>y=\frac{x-x_0}{-R}</math> ונוכיח כמו בסעיף 1. {{משל}}
==משפט 6 {{הערה|(משפט דיני)}}==
נניח שלכל n <math>f_n</math> רציפה ב-<math>[a,b]</math> ונניח שסדרת הפונקציות מונוטונית, כלומר לכל <math>x\in[a,b]</math> הסדרה <math>\{f_n(x)\}_{n=1}^\infty</math> עולה או לכל <math>x\in[a,b]</math> הסדרה <math>\{f_n(x)\}_{n=1}^\infty</math> יורדת. כמו כן ידוע כי <math>f_n\to f</math> ו-f רציפה ב-<math>[a,b]</math>, אזי ההתכנסות במ"ש.
===הסבר===
לפני ההוכחה נסביר למה צריך את כל הנתונים:
* אם הקטע פתוח במקום סגור, נבחר את הקטע <math>(0,1)</math> ואת סדרת הפונקציות <math>f_n(x)=x^n</math>. ברור כי כל הפונקציות רציפות בקטע וסדרת הפונקציות מונוטונית, וכן הפונקציה הגבולית היא הפונקציה הרציפה <math>f(x)=0</math>, אבל כבר הוכחנו בעבר שההתכנסות אינה במ"ש.
* בקטע סגור <math>[0,1]</math> נבחר באותה סדרת פונקציות. הפונקציה הגבולית היא <math>f(x)=\begin{cases}0&0\le x<1\\1&x=1\end{cases}</math> שאינה רציפה, ואכן ההתכנסות אינה במ"ש.
* [[קובץ:פונקציה בין 0 ל-1.png|ממוזער|300px|ימין]]נגדיר סדרת פונקציות לפי הגרף שמשמאל. כל <math>f_n</math> רציפה ב-<math>[0,1]</math> והן מתכנסות לפונקציה הרציפה 0, אבל סדרת הפונקציות לא מונוטונית, ואכן ההתכנסות אינה במ"ש.
* נגדיר <math>f_n(x)=\begin{cases}x^n&0\le x<1\\0&x=1\end{cases}</math> ולכן סדרת הפונקציות מונוטונית אבל הפונקציות אינן רציפות, ואכן, למרות שהפונקציה הגבולית 0 רציפה, ההתכנסות אינה במ"ש.
===הוכחה===
במקרה הראשון נניח שסדרת הפונקציות יורדת מונוטונית. לכן <math>\{f_n-f\}</math> היא סדרת פונקציות יורדת מונוטונית השואפת ל-0 ב-<math>[a,b]</math>. נסמן <math>g_n=f_n-f</math> (ולכן <math>g_n</math> חיובית) ונניח בשלילה שההתכנסות <math>g_n\to0</math> אינה במ"ש בקטע. לפיכך קיים <math>\varepsilon>0</math> כל שלכל <math>n_0\in\mathbb N</math> קיימים <math>n>n_0</math> ו-<math>x\in[a,b]</math> עבורם <math>g_n(x)>\varepsilon</math>. בפרט, עבור <math>n_0=1</math> קיימים <math>n_1>n_0</math> ו-<math>x_1\in[a,b]</math> כך ש-<math>g_{n_1}(x_1)>\varepsilon</math>. עבור <math>n_0=n_1+1</math> קיימים <math>n_2>n_0</math> ו-<math>x_2\in[a,b]</math> כך ש-<math>g_{n_2}(x_2)>\varepsilon</math> וכן הלאה. בדרך זו בונים תת סדרה <math>\{g_{n_k}\}</math> של <math>\{g_n\}</math> וסדרה <math>\{x_k\}</math> ב-<math>[a,b]</math> כך ש-<math>\forall k:\ g_{n_k}(x_k)>\varepsilon</math>. <math>\{x_k\}</math> נמצאת ב-<math>[a,b]</math> ולכן היא חסומה, אזי לפי משפט בולצאנו וירשטראס יש תת סדרה <math>\{x_{k_l}\}</math> השואפת ל-<math>x_0\in[a,b]</math>. לפי הבניה הנ"ל מתקיים <math>\forall l:\ g_{n_{k_l}}(x_{k_l})>\varepsilon</math> ומכיוון ש-<math>\lim_{l\to\infty} g_{n_{k_l}}(x_0)=0</math> קיים <math>l_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>l>l_0</math> יתקיים <math>g_{n_{k_l}}(x_0)<\frac\varepsilon2</math>. <math>g_{n_{k_{l_0+1}}}</math> פונקציה רציפה שקטנה מ-<math>\frac\varepsilon2</math> ב-<math>x_0</math> ולכן יש סביבה S של <math>x_0</math> שבה <math>g_{n_{k_{l_0+1}}}</math> קטנה מ-<math>\varepsilon</math>. ה-<math>g_n</math> יורדות ולכן לכל <math>l>l_0</math> ולכל <math>x\in S</math> מתקיים <math>g_{n_{k_l}}(x)<\varepsilon</math>, אבל לפי הבנייה <math>x_{k_l}\to x_0</math> ולכן לכל l מספיק גדול מתקיים <math>g_{n_{k_l}}(x_{k_l})<\varepsilon</math>, בסתירה לכך שלכל l מתקיים <math>g_{n_{k_l}}(x_{k_l})>\varepsilon</math>. הסתירה מוכיחה את המשפט במקרה הזה.
במקרה השני נניח שסדרת הפונקציות עולה מונוטונית. נסמן <math>g_n=-f_n</math> ולכן <math>\{g_n\}</math> יורדת ומתקיימים שאר תנאי המשפט, ולכן <math>g_n\to -f</math> במ"ש. מכאן ש-<math>f_n\to f</math> במ"ש והוכחנו גם את המקרה השני. {{משל}}
==השתנות חסומה==
פונקציה בעלת השתנות חסומה היא פונקציה שהשינוי שלה בציר ה-y הוא סופי.
'''פורמלית:''' נתונה פונקציה <math>f:[a,b]\to\mathbb R</math> ותהי <math>P=\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math> חלוקה של <math>[a,b]</math> (<math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>). ההשתנות של f לפי P מוגדרת כ-<math>v(P)=\sum_{i=1}^n |f(x_i)-f(x_{i-1})|</math>. כמו כן נגדיר את <math>\overset b\underset aV f</math> (נקראת "ההשתנות הכללית של הפונקציה") בתור <math>\sup_P v(P)</math>. אם קבוצת כל ההשתנויות חסומה, כלומר ההשתנות הכללית סופית, נאמר של-f יש השתנות חסומה.
נעיר שאם f רציפה ו-P היא חלוקת הקטע שנקודותיה הן כל נקודות הקיצון של f, אזי <math>\overset b\underset aV f=v(P)</math>.
===דוגמאות===
* [[קובץ:Sin.gif|ימין|300px|ממוזער|<div style="text-align:center;"><math>\sin(x)</math></div>]] ההשתנות הכללית של <math>\sin</math> בקטע <math>\left[0,\tfrac32\pi\right]</math> היא 3 (ובפרט היא חסומה) כי הפונקציה עלתה 1 וירדה 2.
* על <math>[1,\infty)</math> ההשתנות של <math>\frac1x</math> היא 1 כי הפונקציה ירדה מ-1 ל-0.
* לפונקציה <math>\sin\left(\frac1x\right)</math> ב-<math>(0,1)</math> יש השתנות אינסופית כי היא עלתה וירדה בין <math>\pm1</math> אינסוף פעמים.
* [[קובץ:X sin(1 over x).png|ימין|300px|ממוזער|<div style="text-align:center;"><math>x\sin\left(\frac1x\right)</math></div>באדום: <math>y=\pm x</math>]]נגדיר <math>f(x)=x\sin\left(\frac1x\right)</math> בקטע <math>(0,1)</math>. האם יש לה השתנות חסומה? כאן יותר קשה לנחש מה ההשתנות כי מחד יש אינסוף עליות ומורדות, ומצד שני כאשר <math>x\to0^+</math> גם גדלי העליות והירידות שואפים ל-0. נוכיח שההשתנות אינה חסומה: לכל <math>n\in\mathbb N</math> הפונקציה מתאפסת ב-<math>\frac1{\pi n}</math>, וב-<math>\left[\frac1{\pi(n+1)},\frac1{\pi n}\right]</math> היא עולה או יורדת מהקו <math>y=\pm x</math> ל-<math>y=\mp x</math>, לכן ההשתנות שלה בקטע זה היא <math>\frac1{\pi(n+1)}+\frac1{\pi n}</math>, שגדול מ-<math>\frac2{\pi(n+1)}</math>. מכאן נובע שההשתנות הכוללת ב-<math>(0,1)</math> גדולה מ-<math>\sum_{n=1}^\infty \frac2{\pi(n+1)}=\infty</math>, ומכאן של-f אין השתנות חסומה ב-<math>(0,1)</math>. {{משל}}
=טורי חזקות {{הערה|(המשך)}}=
'''תזכורת:''' בהרצאה הקודמת הוכחנו ש-<math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}</math> לכל <math>x\in(-1,1)</math> והערנו שאם ניתן להציב <math>x=1</math> נקבל את המשוואה היפה <math>\frac\pi4=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2n+1}</math>. כמו כן אמרנו ש-<math>\ln(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{(x-1)^{n+1}}{n+1}</math> עבור <math>x\in(0,2)</math> ושאם מותר להציב <math>x=2</math> אזי <math>\ln(2)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n+1}</math>.
==משפט 5 {{הערה|(משפט אבל)}}==
נניח ש-<math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n</math> בקטע <math>(-1,1)</math> ו-<math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math> מתכנס ל-<math>S\in\mathbb R</math>, אזי <math>\lim_{x\to1^-}f(x)</math> קיים ושווה ל-S.
===הוכחה===
נעזר בסכימה בחלקים: נסמן <math>S_N=\sum_{n=0}^N a_n</math> ולכן <math>\forall N\in\mathbb N:\ \sum_{n=0}^Na_nx^n=\sum_{n=0}^{N-1}S_n\left(x^n-x^{n+1}\right)+S_Nx^N</math> כאשר <math>-1<x<1</math>. לפי הנתון <math>S=\lim_{N\to\infty}S_N</math>, ולכן אם <math>0<x<1</math> אז <math>\lim_{N\to\infty}S_Nx^N=0</math> ועבור <math>0\le x\le 1</math> מתקיים <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=\sum_{n=0}^\infty S_n\left(x^n-x^{n+1}\right)=(1-x)\sum_{n=0}^\infty S_nx^n</math>. כמו כן, <math>\forall x\in[0,1):\ 1=(1-x)\sum){n=0}^\infty=\sum_{n=0}Y\infty x^n=1</math> (כי <math>\frac1{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n</math>). לכן <math>S=(1-x)\sum_{n=1}^\infty Sx^n</math> ומכאן שעבור <math>x\in[0,1)</math> מתקיים <math>f(x)-S=(1-x)\sum_{n=0}^\infty(S_n-S)x^n</math>. נרצה להוכיח ש-<math>\lim_{x\to1^-}f(x)-S=0</math>: יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון ומכיוון ש-<math>\lim_{n\to\infty}S_n=S</math> קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> יתקיים <math>|S_n-S|<\frac\varepsilon2</math>. נסמן <math>I_1=(1-x)\sum_{n=0}^{n_0}(S_n-S)x^n</math> וכן <math>I_2=(1-x)\sum_{n=n_0+1}^\infty(S_n-S)x^n</math>, לכן <math>f(x)-S=I_1+I_2</math>. עתה <math>|I_2|\le(1-x)\sum_{n=n_0+1}^\infty|S_n-S|x^n<\frac\varepsilon2(1-x)\sum_{n=n_0+1}^\infty x^n\le\frac\varepsilon2(1-x)\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac\varepsilon2</math>. לגבי <math>I_1</math> נגדיר <math>M=\sum_{n=0}^{n_0}|S_n-S|</math> ולכן <math>|I_1|\le(1-x)\sum_{n=0}^{n_0}|S_n-S|</math>. עתה <math>x\to1^-</math> ולכן <math>0<1-x<\frac\varepsilon{2M}</math>, לכן <math>|I_1|\le\frac\varepsilon{2M}M=\frac\varepsilon2</math>. לסיכום הוכחנו שאם <math>1-\frac\varepsilon{2M}<x<1</math> אזי <math>|f(x)-S|<|I_1|+|I_2|<\varepsilon</math> ולכן <math>\lim_{x\to1^-}f(x)-S=0</math>. {{משל}}
===מסקנה===
לגבי טור חזקות כללי <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> בעל רדיוס התכנסות R:
# אם <math>\sum_{n=0}^\infty a_nR^n</math> מתכנס ל-S אזי <math>\lim_{x\to x_0+R^-}f(x)</math> קיים ושווה ל-S.
# אם <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(-R)^n</math> מתכנס ל-T אזי <math>\lim_{x\to x_0-R^+}f(x)</math> קיים ושווה ל-T.
====הוכחה====
# נציב <math>y=\frac{x-x_0}R</math> ולכן <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty \left(a_nR^n\right)y^n</math> עבור <math>|x-x_0|<R</math>, כלומר עבור <math>|y|<1</math>. נגדיר <math>g(y)=f(x)</math> ולכן מתקיימים תנאי משפט אבל ומתקיים <math>\lim_{y\to1^-}g(y)=S</math>, לכן <math>\lim_{x\to x_0+R^-}f(x)=S</math>. {{משל}}
# נציב <math>y=\frac{x-x_0}{-R}</math> ונוכיח כמו בסעיף 1. {{משל}}
==משפט 6 {{הערה|(משפט דיני)}}==
נניח שלכל n <math>f_n</math> רציפה ב-<math>[a,b]</math> ונניח שסדרת הפונקציות מונוטונית, כלומר לכל <math>x\in[a,b]</math> הסדרה <math>\{f_n(x)\}_{n=1}^\infty</math> עולה או לכל <math>x\in[a,b]</math> הסדרה <math>\{f_n(x)\}_{n=1}^\infty</math> יורדת. כמו כן ידוע כי <math>f_n\to f</math> ו-f רציפה ב-<math>[a,b]</math>, אזי ההתכנסות במ"ש.
===הסבר===
לפני ההוכחה נסביר למה צריך את כל הנתונים:
* אם הקטע פתוח במקום סגור, נבחר את הקטע <math>(0,1)</math> ואת סדרת הפונקציות <math>f_n(x)=x^n</math>. ברור כי כל הפונקציות רציפות בקטע וסדרת הפונקציות מונוטונית, וכן הפונקציה הגבולית היא הפונקציה הרציפה <math>f(x)=0</math>, אבל כבר הוכחנו בעבר שההתכנסות אינה במ"ש.
* בקטע סגור <math>[0,1]</math> נבחר באותה סדרת פונקציות. הפונקציה הגבולית היא <math>f(x)=\begin{cases}0&0\le x<1\\1&x=1\end{cases}</math> שאינה רציפה, ואכן ההתכנסות אינה במ"ש.
* [[קובץ:פונקציה בין 0 ל-1.png|ממוזער|300px|ימין]]נגדיר סדרת פונקציות לפי הגרף שמשמאל. כל <math>f_n</math> רציפה ב-<math>[0,1]</math> והן מתכנסות לפונקציה הרציפה 0, אבל סדרת הפונקציות לא מונוטונית, ואכן ההתכנסות אינה במ"ש.
* נגדיר <math>f_n(x)=\begin{cases}x^n&0\le x<1\\0&x=1\end{cases}</math> ולכן סדרת הפונקציות מונוטונית אבל הפונקציות אינן רציפות, ואכן, למרות שהפונקציה הגבולית 0 רציפה, ההתכנסות אינה במ"ש.
===הוכחה===
במקרה הראשון נניח שסדרת הפונקציות יורדת מונוטונית. לכן <math>\{f_n-f\}</math> היא סדרת פונקציות יורדת מונוטונית השואפת ל-0 ב-<math>[a,b]</math>. נסמן <math>g_n=f_n-f</math> (ולכן <math>g_n</math> חיובית) ונניח בשלילה שההתכנסות <math>g_n\to0</math> אינה במ"ש בקטע. לפיכך קיים <math>\varepsilon>0</math> כל שלכל <math>n_0\in\mathbb N</math> קיימים <math>n>n_0</math> ו-<math>x\in[a,b]</math> עבורם <math>g_n(x)>\varepsilon</math>. בפרט, עבור <math>n_0=1</math> קיימים <math>n_1>n_0</math> ו-<math>x_1\in[a,b]</math> כך ש-<math>g_{n_1}(x_1)>\varepsilon</math>. עבור <math>n_0=n_1+1</math> קיימים <math>n_2>n_0</math> ו-<math>x_2\in[a,b]</math> כך ש-<math>g_{n_2}(x_2)>\varepsilon</math> וכן הלאה. בדרך זו בונים תת סדרה <math>\{g_{n_k}\}</math> של <math>\{g_n\}</math> וסדרה <math>\{x_k\}</math> ב-<math>[a,b]</math> כך ש-<math>\forall k:\ g_{n_k}(x_k)>\varepsilon</math>. <math>\{x_k\}</math> נמצאת ב-<math>[a,b]</math> ולכן היא חסומה, אזי לפי משפט בולצאנו וירשטראס יש תת סדרה <math>\{x_{k_l}\}</math> השואפת ל-<math>x_0\in[a,b]</math>. לפי הבניה הנ"ל מתקיים <math>\forall l:\ g_{n_{k_l}}(x_{k_l})>\varepsilon</math> ומכיוון ש-<math>\lim_{l\to\infty} g_{n_{k_l}}(x_0)=0</math> קיים <math>l_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>l>l_0</math> יתקיים <math>g_{n_{k_l}}(x_0)<\frac\varepsilon2</math>. <math>g_{n_{k_{l_0+1}}}</math> פונקציה רציפה שקטנה מ-<math>\frac\varepsilon2</math> ב-<math>x_0</math> ולכן יש סביבה S של <math>x_0</math> שבה <math>g_{n_{k_{l_0+1}}}</math> קטנה מ-<math>\varepsilon</math>. ה-<math>g_n</math> יורדות ולכן לכל <math>l>l_0</math> ולכל <math>x\in S</math> מתקיים <math>g_{n_{k_l}}(x)<\varepsilon</math>, אבל לפי הבנייה <math>x_{k_l}\to x_0</math> ולכן לכל l מספיק גדול מתקיים <math>g_{n_{k_l}}(x_{k_l})<\varepsilon</math>, בסתירה לכך שלכל l מתקיים <math>g_{n_{k_l}}(x_{k_l})>\varepsilon</math>. הסתירה מוכיחה את המשפט במקרה הזה.
במקרה השני נניח שסדרת הפונקציות עולה מונוטונית. נסמן <math>g_n=-f_n</math> ולכן <math>\{g_n\}</math> יורדת ומתקיימים שאר תנאי המשפט, ולכן <math>g_n\to -f</math> במ"ש. מכאן ש-<math>f_n\to f</math> במ"ש והוכחנו גם את המקרה השני. {{משל}}
==השתנות חסומה==
פונקציה בעלת השתנות חסומה היא פונקציה שהשינוי שלה בציר ה-y הוא סופי.
'''פורמלית:''' נתונה פונקציה <math>f:[a,b]\to\mathbb R</math> ותהי <math>P=\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math> חלוקה של <math>[a,b]</math> (<math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>). ההשתנות של f לפי P מוגדרת כ-<math>v(P)=\sum_{i=1}^n |f(x_i)-f(x_{i-1})|</math>. כמו כן נגדיר את <math>\overset b\underset aV f</math> (נקראת "ההשתנות הכללית של הפונקציה") בתור <math>\sup_P v(P)</math>. אם קבוצת כל ההשתנויות חסומה, כלומר ההשתנות הכללית סופית, נאמר של-f יש השתנות חסומה.
נעיר שאם f רציפה ו-P היא חלוקת הקטע שנקודותיה הן כל נקודות הקיצון של f, אזי <math>\overset b\underset aV f=v(P)</math>.
===דוגמאות===
* [[קובץ:Sin.gif|ימין|300px|ממוזער|<div style="text-align:center;"><math>\sin(x)</math></div>]] ההשתנות הכללית של <math>\sin</math> בקטע <math>\left[0,\tfrac32\pi\right]</math> היא 3 (ובפרט היא חסומה) כי הפונקציה עלתה 1 וירדה 2.
* על <math>[1,\infty)</math> ההשתנות של <math>\frac1x</math> היא 1 כי הפונקציה ירדה מ-1 ל-0.
* לפונקציה <math>\sin\left(\frac1x\right)</math> ב-<math>(0,1)</math> יש השתנות אינסופית כי היא עלתה וירדה בין <math>\pm1</math> אינסוף פעמים.
* [[קובץ:X sin(1 over x).png|ימין|300px|ממוזער|<div style="text-align:center;"><math>x\sin\left(\frac1x\right)</math></div>באדום: <math>y=\pm x</math>]]נגדיר <math>f(x)=x\sin\left(\frac1x\right)</math> בקטע <math>(0,1)</math>. האם יש לה השתנות חסומה? כאן יותר קשה לנחש מה ההשתנות כי מחד יש אינסוף עליות ומורדות, ומצד שני כאשר <math>x\to0^+</math> גם גדלי העליות והירידות שואפים ל-0. נוכיח שההשתנות אינה חסומה: לכל <math>n\in\mathbb N</math> הפונקציה מתאפסת ב-<math>\frac1{\pi n}</math>, וב-<math>\left[\frac1{\pi(n+1)},\frac1{\pi n}\right]</math> היא עולה או יורדת מהקו <math>y=\pm x</math> ל-<math>y=\mp x</math>, לכן ההשתנות שלה בקטע זה היא <math>\frac1{\pi(n+1)}+\frac1{\pi n}</math>, שגדול מ-<math>\frac2{\pi(n+1)}</math>. מכאן נובע שההשתנות הכוללת ב-<math>(0,1)</math> גדולה מ-<math>\sum_{n=1}^\infty \frac2{\pi(n+1)}=\infty</math>, ומכאן של-f אין השתנות חסומה ב-<math>(0,1)</math>. {{משל}}
