נוספו 2,537 בתים,
05:28, 4 במאי 2012 == 5 ==
נראה קודם כי הפונקציה f קעורה לפי התנאי לעיל (אני לא בטוח שהחלק הזה הכרחי, אבל למה לא?).
f קעורה <math>\Leftarrow </math> עבור כל שתי נקודות בקטע, הישר המחבר בין הנקודות נמצא תחת גרף הפונקציה.
'''הוכחה (טענה)'''
יהיו <math>x_{1},x_{2}\in [0,2]</math>, ונניח בה"כ <math>x_{1}<x_{2}</math>.
משוואות הישר העובר בין שתי הנקודות היא: <math>g(x)=\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}(x-x_{1})+f(x_{1})</math>
תהי <math>y\in [x_{1},x_{2}]</math>, נקודה בקטע בין שתי הנקודות, נרצה להראות כי <math>f(y)\geq g(y)</math> (וזה אומר שהישר מתחת לגרף הפונקציה).
קיים <math>t\in [0,1]</math> שעבורו: <math>y=tx_{1}+(1-t)x_{2}</math>, כעת נציב את <math>y</math> במשוואת הישר g.
<math>g(y)=g(tx_{1}+(1-t)x_{2})=\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}(tx_{1}+(1-t)x_{2}-x_{1})+f(x_{1})=</math>
<math>\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}(1-t)(x_{2}-x_{1})+f(x_{1})=(1-t)(f(x_{2})-f(x_{1}))+f(x_{1})=tf(x_{1})+(1-t)f(x_{2})</math>
ולפי הנתון שנתון לנו, נקבל כי:
<math>f(y)=f(tx_{1}+(1-t)x_{2})\geq tf(x_{1})+(1-t)f(x_{2})=g(y)</math>.
מה שרצינו להוכיח.
'''בחזרה לתרגיל'''
ואם נחזור להוכחה המקורית, אז הפונקציה f נמצאת מעל הישר שמחבר את הנק': <math>x_{1}=0, x_{2}=1</math> בקטע <math>[0,1]</math>.
וכן הפונקציה f נמצאת מעל הישר שמחבר את הנק': <math>x_{2}=1, x_{3}=2</math> בקטע <math>[1,2]</math>.
כל הישרים המחברים את הנקודות <math>(0, f(0)), (1,1)</math> נמצאים מעל הישר <math>y=x</math> בקטע <math>[0,1]</math>
כל הישרים המחברים את הנקודות <math>(1,1), (2,f(2))</math> נמצאים מעל הישר <math>y=2-x</math> בקטע <math>[1,2]</math>
(תוכיחו את זה אם בא לכם, זה באמת לא קשה)
ובסה"כ מתקיים: <math>f(x)\geq h(x)=\begin{cases}
x & \text{ if } x\in[0,1] \\
2-x & \text{ if } x\in [1,2]
\end{cases}</math>
ומכיוון ששתי הפונקציות אי שליליות, אז לפי משפט: <math>\int_{0}^{2}f(x)dx\geq \int_{0}^{2}h(x)dx</math>
אבל את האינטגרל של <math>h(x)</math> קל לחשב ומתקבל: <math>\int_{0}^{2}h(x)dx=1</math>
ולכן סיימנו (:.