שינויים
דף חדש: ==תרגיל 1.8== יהיה <math>V</math> ממ"פ ממימד <math>n</math>. יהיו וקטורים <math>v_1,...v_n \in V</math>. נגדיר את מטריצת גרהם <math>A</math>…
==תרגיל 1.8==
יהיה <math>V</math> ממ"פ ממימד <math>n</math>. יהיו וקטורים <math>v_1,...v_n \in V</math>. נגדיר את מטריצת גרהם <math>A</math> ע"י <math>a_{ij}=<v_i,v_j></math>. הוכח:
<math>v_1,...v_n\iff |A|=0</math> ת"ל
==פתרון==
נסתכל על צירוף לינארי כללי של עמודות <math>A</math>:
<math>\sum_{j=1}^{n}\alpha_j C_j(A) =\sum_{j=1}^{n}\alpha_j \begin{bmatrix} <v_1,v_j> \\ \vdots \\ <v_n,v_j> \end{bmatrix}=
\begin{bmatrix} \sum_{j=1}^{n}\alpha_j<v_1,v_j> \\ \vdots \\ \sum_{j=1}^{n}\alpha_j<v_n,v_j> \end{bmatrix}=</math>
זה שווה עפ"י '''כמו לינאריות במשתנה שני''' ל
<math>=\begin{bmatrix} <v_1,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j> \\ \vdots \\ <v_n,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j> \end{bmatrix}</math>
זה שווה לאפס אם
<math>\forall i : <v_i,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j>=0</math>
טענת עזר (נוכיח אותה מיד): <math>\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j =0 \iff \forall i : <v_i,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j>=0</math>
לכן הגענו למסקנה ש
<math>\sum_{j=1}^{n}\alpha_j C_j(A)=0 \iff \sum_{i=1}^{n}\overline{\alpha_i} v_i=0</math>
לכן
יש צירוף לינארי לא טריוויאלי של עמודות המטריצה <math>A</math> אם"ם יש צירוף לינארי לא טריוויאלי של הוקטורים <math>v_1,...v_n</math>.
נובע מיידית ש <math>|A|=0</math> <math>\iff</math> עמודות <math>A</math> ת"ל <math>\iff</math> הוקטורים <math>v_1,...v_n</math> ת"ל
מ.ש.ל
===הוכחת טענת העזר===
'''<math>\Leftarrow</math>'''
נניח
<math>\forall i : <v_i,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j>=0</math>
אזי גם
<math>\forall i : \overline{\alpha_i}<v_i,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j>=0</math>
ולכן גם הסכום שלהם שווה אפס
<math>\sum_{i=1}^{n}\overline{\alpha_i}<v_i,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j>=0</math>
ולפי לינאריות במשתנה ראשון זה שווה
<math><\sum_{i=1}^{n}\overline{\alpha_i} v_i,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j>=0</math>
אבל הסכום בשני הצדדים הוא אותו סכום בדיוק! נסמן <math>u=\sum_{i=1}^{n}\overline{\alpha_i} v_i</math> ולכן <math><u,u>=0</math> וזה נכון רק אם <math>u=0</math> כלומר <math>\sum_{i=1}^{n}\overline{\alpha_i} v_i=0</math>
'''<math>\Rightarrow</math>'''
בכיוון ההפוך, נניח <math>u=\sum_{i=1}^{n}\overline{\alpha_i} v_i=0</math> לכן ברור ש<math><w,u>=<w,0>=0</math> לכל וקטור <math>w</math>, ולכן
<math>\forall i : <v_i,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j>=<v_i,u=0></math>
יהיה <math>V</math> ממ"פ ממימד <math>n</math>. יהיו וקטורים <math>v_1,...v_n \in V</math>. נגדיר את מטריצת גרהם <math>A</math> ע"י <math>a_{ij}=<v_i,v_j></math>. הוכח:
<math>v_1,...v_n\iff |A|=0</math> ת"ל
==פתרון==
נסתכל על צירוף לינארי כללי של עמודות <math>A</math>:
<math>\sum_{j=1}^{n}\alpha_j C_j(A) =\sum_{j=1}^{n}\alpha_j \begin{bmatrix} <v_1,v_j> \\ \vdots \\ <v_n,v_j> \end{bmatrix}=
\begin{bmatrix} \sum_{j=1}^{n}\alpha_j<v_1,v_j> \\ \vdots \\ \sum_{j=1}^{n}\alpha_j<v_n,v_j> \end{bmatrix}=</math>
זה שווה עפ"י '''כמו לינאריות במשתנה שני''' ל
<math>=\begin{bmatrix} <v_1,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j> \\ \vdots \\ <v_n,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j> \end{bmatrix}</math>
זה שווה לאפס אם
<math>\forall i : <v_i,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j>=0</math>
טענת עזר (נוכיח אותה מיד): <math>\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j =0 \iff \forall i : <v_i,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j>=0</math>
לכן הגענו למסקנה ש
<math>\sum_{j=1}^{n}\alpha_j C_j(A)=0 \iff \sum_{i=1}^{n}\overline{\alpha_i} v_i=0</math>
לכן
יש צירוף לינארי לא טריוויאלי של עמודות המטריצה <math>A</math> אם"ם יש צירוף לינארי לא טריוויאלי של הוקטורים <math>v_1,...v_n</math>.
נובע מיידית ש <math>|A|=0</math> <math>\iff</math> עמודות <math>A</math> ת"ל <math>\iff</math> הוקטורים <math>v_1,...v_n</math> ת"ל
מ.ש.ל
===הוכחת טענת העזר===
'''<math>\Leftarrow</math>'''
נניח
<math>\forall i : <v_i,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j>=0</math>
אזי גם
<math>\forall i : \overline{\alpha_i}<v_i,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j>=0</math>
ולכן גם הסכום שלהם שווה אפס
<math>\sum_{i=1}^{n}\overline{\alpha_i}<v_i,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j>=0</math>
ולפי לינאריות במשתנה ראשון זה שווה
<math><\sum_{i=1}^{n}\overline{\alpha_i} v_i,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j>=0</math>
אבל הסכום בשני הצדדים הוא אותו סכום בדיוק! נסמן <math>u=\sum_{i=1}^{n}\overline{\alpha_i} v_i</math> ולכן <math><u,u>=0</math> וזה נכון רק אם <math>u=0</math> כלומר <math>\sum_{i=1}^{n}\overline{\alpha_i} v_i=0</math>
'''<math>\Rightarrow</math>'''
בכיוון ההפוך, נניח <math>u=\sum_{i=1}^{n}\overline{\alpha_i} v_i=0</math> לכן ברור ש<math><w,u>=<w,0>=0</math> לכל וקטור <math>w</math>, ולכן
<math>\forall i : <v_i,\sum_{j=1}^{n}\overline{\alpha_j} v_j>=<v_i,u=0></math>
