שינויים
יצירת דף עם התוכן "=העתקות לינאריות (ה"ל)= '''הגדרה:''' יהיו <math>V,W</math> שני מ"ו מעל ''אותו'' שדה <math>\mathbb{F}</math>. ה"ל הי..."
=העתקות לינאריות (ה"ל)=
'''הגדרה:''' יהיו <math>V,W</math> שני מ"ו מעל ''אותו'' שדה <math>\mathbb{F}</math>. ה"ל היא פונקציה <math>T:V\to W</math> אם
# <math>\forall v_1,v_2\in V : \; T(v_1+v_2)=T(v_1)+T(v_2)</math>
# <math>\forall \alpha\in \mathbb{F}, v\in V : \; T(\alpha v)=\alpha T(v)</math>
(או באופן שקול: אם לכל <math>v_{1},v_{2}\in V,\,\alpha\in\mathbb{F}</math> מתקיים <math>T(\alpha v_{1}+v_{2})=\alpha T(v_{1})+T(v_{2})</math>)
תכונות בסיסיות:
.1 <math>T(\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n})=\alpha_{1}T(v_{1})+\alpha_{2}T(v_{2})+\cdots+\alpha_{n}T(v_{n})</math>
.2 <math>T(0_{V})=0_{W}</math>
==דוגמאות ודוגמאות נגדיות ==
.1 יהיו <math>V=\mathbb{F}^{n},\,W=\mathbb{F}^{m}</math> שניהם מעל <math>\mathbb{F}</math>. תהא<math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math>
אזי העתקה <math>L_{A}:V\to W</math> המוגדרת <math>v\mapsto Av</math> היא ה"ל.
הוכחה: לכל <math>v_{1},v_{2}\in V,\,\alpha\in\mathbb{F}</math> מתקיים
<math>L_{A}(\alpha v_{1}+v_{2})=A(\alpha v_{1}+v_{2})=\alpha Av_{1}+Av_{2}=\alpha L_{A}(v_{1})+L_{A}(v_{2})</math>
.2 <math>V=\mathbb{F}^{n\times n},\,W=\mathbb{F}</math> שניהם מעל <math>\mathbb{F}</math>. אזי העתקה <math>trace:V\to W</math>
המגודרת <math>A\mapsto tr(A)</math> היא ה"ל.
הוכחה: לכל <math>\alpha \in \mathbb{F}, A,B\in \mathbb{F}^{n\times n}</math>
<math>tr(\alpha A+B)=\alpha tr(A)+tr(B) </math>
.3 V=\mathbb{R}_{n}[x],\,W=\mathbb{R}_{n-1}[x]
שניהם מעל \mathbb{R}
.אזי העתקה D:V\to W
המגודרת p(x)\mapsto\frac{d}{dx}p(x)=p'(x)
היא ה"ל. הוכחה
'''הגדרה:''' יהיו <math>V,W</math> שני מ"ו מעל ''אותו'' שדה <math>\mathbb{F}</math>. ה"ל היא פונקציה <math>T:V\to W</math> אם
# <math>\forall v_1,v_2\in V : \; T(v_1+v_2)=T(v_1)+T(v_2)</math>
# <math>\forall \alpha\in \mathbb{F}, v\in V : \; T(\alpha v)=\alpha T(v)</math>
(או באופן שקול: אם לכל <math>v_{1},v_{2}\in V,\,\alpha\in\mathbb{F}</math> מתקיים <math>T(\alpha v_{1}+v_{2})=\alpha T(v_{1})+T(v_{2})</math>)
תכונות בסיסיות:
.1 <math>T(\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n})=\alpha_{1}T(v_{1})+\alpha_{2}T(v_{2})+\cdots+\alpha_{n}T(v_{n})</math>
.2 <math>T(0_{V})=0_{W}</math>
==דוגמאות ודוגמאות נגדיות ==
.1 יהיו <math>V=\mathbb{F}^{n},\,W=\mathbb{F}^{m}</math> שניהם מעל <math>\mathbb{F}</math>. תהא<math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math>
אזי העתקה <math>L_{A}:V\to W</math> המוגדרת <math>v\mapsto Av</math> היא ה"ל.
הוכחה: לכל <math>v_{1},v_{2}\in V,\,\alpha\in\mathbb{F}</math> מתקיים
<math>L_{A}(\alpha v_{1}+v_{2})=A(\alpha v_{1}+v_{2})=\alpha Av_{1}+Av_{2}=\alpha L_{A}(v_{1})+L_{A}(v_{2})</math>
.2 <math>V=\mathbb{F}^{n\times n},\,W=\mathbb{F}</math> שניהם מעל <math>\mathbb{F}</math>. אזי העתקה <math>trace:V\to W</math>
המגודרת <math>A\mapsto tr(A)</math> היא ה"ל.
הוכחה: לכל <math>\alpha \in \mathbb{F}, A,B\in \mathbb{F}^{n\times n}</math>
<math>tr(\alpha A+B)=\alpha tr(A)+tr(B) </math>
.3 V=\mathbb{R}_{n}[x],\,W=\mathbb{R}_{n-1}[x]
שניהם מעל \mathbb{R}
.אזי העתקה D:V\to W
המגודרת p(x)\mapsto\frac{d}{dx}p(x)=p'(x)
היא ה"ל. הוכחה
