שינויים
יצירת דף עם התוכן "... הכללה: אם <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math> ואם f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> אז <math>\int\limits_a^b f=\sum_{k=1}^n\int\limit..."
...
הכללה: אם <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math> ואם f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> אז <math>\int\limits_a^b f=\sum_{k=1}^n\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f</math>. הוכחה באינדוקציה.
מוסכמות:
# <math>\int\limits_a^a f=0</math>
# אם <math>a<b</math> ואם f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> נרשום <math>\int\limits_b^a f=-\int\limits_a^b f</math>
עם מוסכמות אלה יתקיים:
<math>\int\limits_a^c=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f</math>. באופן בלתי תלוי בסדר של המספרים a,b,c.
למשל: אם <math>c<a<b</math> אז לפי משפט 8 <math>\int\limits_a^c f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f</math>. נבדוק: <math>\int\limits_a^c f=-\int\limits_a^c f\ \and\ \int\limits_b^c f=-\int\limits_c^b f</math> ולכן <math>-\int\limits_b^c f=-\int\limits_a^c f+\int\limits_a^b f</math>, מה שנכון כי <math>\int\limits_a^c f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f</math>.
===משפט 9===
תהי <math>f(x)</math> מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. עוד נניח ש-f רציפה ב-<math>(a,b]</math>. אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.
====הוכחה====
יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. נגדיר <math>c=a+\frac\varepsilon{2\Omega}</math>
גרף (1). לפי הנתון f רציפה ב-<math>[c,b]</math>. לכן נוכל לבחור חלוקה P של <math>[c,b]</math> כך ש-<math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\frac\varepsilon2</math>. כעת גדיר חלוקה Q של <math>[a,b]</math> ע"י <math>Q=\{a\}\cup P</math>. עוד נגדיר <math>M'=\sup\{f(x):\ a\le x\le c\}</math> וכן <math>m'=\inf\{f(x):\ a\le x\le c\}</math>. נובע ש-<math>\overline S(f,P)-underline S(f,P)=(M'-m')(c-a)+\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\Omega(c-a)+\frac\varepsilon2<\Omega\cdot\frac\varepsilon{2\Omega}+\frac\varepsilon2=\varepsilon</math>. נובע ממשפט 4 ש-f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. {{משל}}
===מסקנה 1===
המשפט נכון אם f חסומה ורציפה ב-<math>(a,b)</math>.
===מסקנה 2===
נניח ש-f חסומה ב-<math>[a,b]</math> ורציפה שם פרט למספר סופי של נקודות <math>x_0,x_1,\dots,x_n</math> כך ש-<math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math> אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.
====הוכחה====
עבור כל k, f חסומה ב-<math>[x_{k-1},x_k]</math> ורציפה ב-<math>(x_{k-1},x_k)</math>. לפי מסקנה 1 f אינטגרבילית ב-<math>[x_{k-1},x_k]</math>. נסתמך על מסקנה למשפט 8 לומר ש-f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]=\bigcup_{k=1}^n [x_{k-1},x_k]</math>. {{משל}}
הגדרה: אומרים ש-<math>f(x)</math> "רציפה למקוטעין" ב-<math>[a,b]</math> אם היא רציפה שם פרט למספר סופי של נקודות אי-רציפות ממין ראשון.
גרף (2)
נובע ממסקנה 2 שכל פונקציה רציפה למקוטעין ב-<math>[a,b]</math> אינטגרבילית שם. באופן דומה אפשר להוכיח שאם <math>f(x)</math> מוגדרת ומונוטונית למקוטעין ב-<math>[a,b]</math> אך היא אינטגרבילית שם שם.
=אינטגרביליות לפי רימן=
נניח ש-<math>f(x)</math> מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. נבחר חלוקה P של <math>[a,b]</math>
<math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>. עוד נבחר מספרים <math>c_k\in[x_{k-1},x_k]</math> ונכנה ב-P' את התת חלוקה <math>a\le c_0<c_1<\dots<c_n\le b</math>. ז"א <math>a=x_0\le c_0\le x_1\le c_1\le\dots\le c_n\le x_n=b</math>. בהתאם לכן נבנה סכום רימן <math>S(f,P,P')=\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k</math> כאשר לכל k מתקיים <math>\Delta x_k=x_k-x_{k-1}</math>.
גרף (3)
<math>S(f,P,P')</math> מקרב את השטח שמתחת לגרף, ולא ידוע אם הוא גדול, קטן או שווה לשטח שמתחת לגרף.
נעיר שעל חלוקה אחת P של <math>[a,b]</math> אפשר לבנות אינסוף סכומי רימן <math>S(f,P,P')</math>. עם זאת יתקיים תמיד <math>\underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P)</math>. יתר על כן, <math>\underline S(f,P)=\inf_{P'} S(f,P,P')</math> ו-<math>\overline S(f,P)=\sup_{P'} S(f,P,P')</math>.
ההגדרת רימן: תהי <math>f(x)</math> מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. נאמר ש-f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> אם כאשר <math>\lambda(P)\to0</math> כל סכומי רימן <math>S(f,P,P')</math> שואפים לגבול אחד, שיסומן <math>\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx</math>.
===משפט 10===
תהי f מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. אזי f אינטגרבילית שם לפי רימן אם"ם f אינטגרבילית שם לפי דרבו, ואם כן אז <math>\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx</math> לפי רימן <math>\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx=</math> לפי דרבו.
====הוכחה====
תחילה נניח ש-f אינטגרבילית לפי דרבו. נעיר שלכל חלוקה P ותת חלוקה P' של <math>[a,b]</math>:
<math>\underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P)</math>. כעת נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math>. כיוון ש-f אינטגרבילית דרבו, <math>\overline S(f,P)\to\int\limits_a^b f</math> וכן <math>\underline S(f,P)\to\int\limits_a^b f</math> לכן משפט הסנדויץ' מבטיח ש-<math>\lim_{\lambda(P)\to0} S(f,P,P')</math> קיים ושווה ל-<math>\int\limits_a^b f</math>. ז"א f אינטגרבילית רימן ומתקיים <math>\int\limits_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0} S(f,P,P')=\int\limits_a^b f</math>. לצד השני, נניח ש-f אינטגרבילית רימן. אזי מתקיים <math>\int\limits_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0} S(f,P,P')</math>. אם כן הוא גם שווה ל-<math>\lim_{\lambda(P)\to0} \sup_{P'} S(f,P,P')=\lim_{\lambda(P)\to0} \overline S(f,P)=\int\limits_a^b f</math>. מצאנו <math>\int\limits_a^b f=\overline{\int}_a^b f=\underline\int_a^b f</math>. עצם זה שהאינטגרל העליון והתחתון שווים אומר ש-f אינטגרבילית דרבו וגם מצאנו: <math>\int\limits_a^b f=\int\limits_a^b f</math>. {{משל}}
באופן דומה נסיק <math>\lim\limits_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0} \inf_{P'} S(f,P,P')=\underline{\int}_a^b f</math>
===משפט 11===
נניח ש-f ו-g מוגדרות ואינטגרביליות ב-[a,b], ונניח ש-c קבוע כלשהו. אזי:
# <math>f+cg</math> אינטגרבילית ב-[a,b] ומתקיים <math>\int\limits_a^b\Big(f(x)+c g(x)\Big)\mathrm dx=\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx+c\int\limits_a^b g(x)\mathrm dx</math>
# אם <math>f(x)\le g(x)</math> לכל <math>x\in[a,b]</math> אז <math>
\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx\le\int\limits_a^b g(x)\mathrm dx</math> (מונוטוניות). בפרט אם <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)\le0</math> אז <math>\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx\le0</math> (חיוביות)
# <math>|f(x)|</math> אינטגרבילית ומתקיים <math>\left|\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx\right|=\int\limits_a^b |f(x)|\mathrm dx</math> ואם <math>|f(x)\le m</math> ב-<math>[a,b]</math> אז <math>\left|\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx\right|\le m(b-1)</math>
# אם <math>f(x)=m</math> (פונקציה קבועה) אז <math>\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx= m(b-1)</math>
...
<math>=\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k+c\sum_{k=1}^n g(c_k)\Delta x_k</math>. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math> כיוון שנתון ש-f ו-g אינטגרביליות אגף ימין שואף לגבול, ז"א <math>\lim_{\lambda(P)\to0} S(f,P,P')=\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx+c\int\limits_a^b g(x)\mathrm dx</math>. עצם קיום הגבול אומר ש-<math>f+cg</math> אינטגרבילית ולפי ערך הגבול נסיק <math>\int\limits_a^b\Big(f(x)+cg(x)\Big)\mathrm dx\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx+c\int\limits_a^b g(x)\mathrm dx</math>
הכללה: אם <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math> ואם f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> אז <math>\int\limits_a^b f=\sum_{k=1}^n\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f</math>. הוכחה באינדוקציה.
מוסכמות:
# <math>\int\limits_a^a f=0</math>
# אם <math>a<b</math> ואם f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> נרשום <math>\int\limits_b^a f=-\int\limits_a^b f</math>
עם מוסכמות אלה יתקיים:
<math>\int\limits_a^c=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f</math>. באופן בלתי תלוי בסדר של המספרים a,b,c.
למשל: אם <math>c<a<b</math> אז לפי משפט 8 <math>\int\limits_a^c f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f</math>. נבדוק: <math>\int\limits_a^c f=-\int\limits_a^c f\ \and\ \int\limits_b^c f=-\int\limits_c^b f</math> ולכן <math>-\int\limits_b^c f=-\int\limits_a^c f+\int\limits_a^b f</math>, מה שנכון כי <math>\int\limits_a^c f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f</math>.
===משפט 9===
תהי <math>f(x)</math> מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. עוד נניח ש-f רציפה ב-<math>(a,b]</math>. אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.
====הוכחה====
יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. נגדיר <math>c=a+\frac\varepsilon{2\Omega}</math>
גרף (1). לפי הנתון f רציפה ב-<math>[c,b]</math>. לכן נוכל לבחור חלוקה P של <math>[c,b]</math> כך ש-<math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\frac\varepsilon2</math>. כעת גדיר חלוקה Q של <math>[a,b]</math> ע"י <math>Q=\{a\}\cup P</math>. עוד נגדיר <math>M'=\sup\{f(x):\ a\le x\le c\}</math> וכן <math>m'=\inf\{f(x):\ a\le x\le c\}</math>. נובע ש-<math>\overline S(f,P)-underline S(f,P)=(M'-m')(c-a)+\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\Omega(c-a)+\frac\varepsilon2<\Omega\cdot\frac\varepsilon{2\Omega}+\frac\varepsilon2=\varepsilon</math>. נובע ממשפט 4 ש-f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. {{משל}}
===מסקנה 1===
המשפט נכון אם f חסומה ורציפה ב-<math>(a,b)</math>.
===מסקנה 2===
נניח ש-f חסומה ב-<math>[a,b]</math> ורציפה שם פרט למספר סופי של נקודות <math>x_0,x_1,\dots,x_n</math> כך ש-<math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math> אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.
====הוכחה====
עבור כל k, f חסומה ב-<math>[x_{k-1},x_k]</math> ורציפה ב-<math>(x_{k-1},x_k)</math>. לפי מסקנה 1 f אינטגרבילית ב-<math>[x_{k-1},x_k]</math>. נסתמך על מסקנה למשפט 8 לומר ש-f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]=\bigcup_{k=1}^n [x_{k-1},x_k]</math>. {{משל}}
הגדרה: אומרים ש-<math>f(x)</math> "רציפה למקוטעין" ב-<math>[a,b]</math> אם היא רציפה שם פרט למספר סופי של נקודות אי-רציפות ממין ראשון.
גרף (2)
נובע ממסקנה 2 שכל פונקציה רציפה למקוטעין ב-<math>[a,b]</math> אינטגרבילית שם. באופן דומה אפשר להוכיח שאם <math>f(x)</math> מוגדרת ומונוטונית למקוטעין ב-<math>[a,b]</math> אך היא אינטגרבילית שם שם.
=אינטגרביליות לפי רימן=
נניח ש-<math>f(x)</math> מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. נבחר חלוקה P של <math>[a,b]</math>
<math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>. עוד נבחר מספרים <math>c_k\in[x_{k-1},x_k]</math> ונכנה ב-P' את התת חלוקה <math>a\le c_0<c_1<\dots<c_n\le b</math>. ז"א <math>a=x_0\le c_0\le x_1\le c_1\le\dots\le c_n\le x_n=b</math>. בהתאם לכן נבנה סכום רימן <math>S(f,P,P')=\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k</math> כאשר לכל k מתקיים <math>\Delta x_k=x_k-x_{k-1}</math>.
גרף (3)
<math>S(f,P,P')</math> מקרב את השטח שמתחת לגרף, ולא ידוע אם הוא גדול, קטן או שווה לשטח שמתחת לגרף.
נעיר שעל חלוקה אחת P של <math>[a,b]</math> אפשר לבנות אינסוף סכומי רימן <math>S(f,P,P')</math>. עם זאת יתקיים תמיד <math>\underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P)</math>. יתר על כן, <math>\underline S(f,P)=\inf_{P'} S(f,P,P')</math> ו-<math>\overline S(f,P)=\sup_{P'} S(f,P,P')</math>.
ההגדרת רימן: תהי <math>f(x)</math> מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. נאמר ש-f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> אם כאשר <math>\lambda(P)\to0</math> כל סכומי רימן <math>S(f,P,P')</math> שואפים לגבול אחד, שיסומן <math>\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx</math>.
===משפט 10===
תהי f מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. אזי f אינטגרבילית שם לפי רימן אם"ם f אינטגרבילית שם לפי דרבו, ואם כן אז <math>\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx</math> לפי רימן <math>\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx=</math> לפי דרבו.
====הוכחה====
תחילה נניח ש-f אינטגרבילית לפי דרבו. נעיר שלכל חלוקה P ותת חלוקה P' של <math>[a,b]</math>:
<math>\underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P)</math>. כעת נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math>. כיוון ש-f אינטגרבילית דרבו, <math>\overline S(f,P)\to\int\limits_a^b f</math> וכן <math>\underline S(f,P)\to\int\limits_a^b f</math> לכן משפט הסנדויץ' מבטיח ש-<math>\lim_{\lambda(P)\to0} S(f,P,P')</math> קיים ושווה ל-<math>\int\limits_a^b f</math>. ז"א f אינטגרבילית רימן ומתקיים <math>\int\limits_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0} S(f,P,P')=\int\limits_a^b f</math>. לצד השני, נניח ש-f אינטגרבילית רימן. אזי מתקיים <math>\int\limits_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0} S(f,P,P')</math>. אם כן הוא גם שווה ל-<math>\lim_{\lambda(P)\to0} \sup_{P'} S(f,P,P')=\lim_{\lambda(P)\to0} \overline S(f,P)=\int\limits_a^b f</math>. מצאנו <math>\int\limits_a^b f=\overline{\int}_a^b f=\underline\int_a^b f</math>. עצם זה שהאינטגרל העליון והתחתון שווים אומר ש-f אינטגרבילית דרבו וגם מצאנו: <math>\int\limits_a^b f=\int\limits_a^b f</math>. {{משל}}
באופן דומה נסיק <math>\lim\limits_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0} \inf_{P'} S(f,P,P')=\underline{\int}_a^b f</math>
===משפט 11===
נניח ש-f ו-g מוגדרות ואינטגרביליות ב-[a,b], ונניח ש-c קבוע כלשהו. אזי:
# <math>f+cg</math> אינטגרבילית ב-[a,b] ומתקיים <math>\int\limits_a^b\Big(f(x)+c g(x)\Big)\mathrm dx=\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx+c\int\limits_a^b g(x)\mathrm dx</math>
# אם <math>f(x)\le g(x)</math> לכל <math>x\in[a,b]</math> אז <math>
\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx\le\int\limits_a^b g(x)\mathrm dx</math> (מונוטוניות). בפרט אם <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)\le0</math> אז <math>\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx\le0</math> (חיוביות)
# <math>|f(x)|</math> אינטגרבילית ומתקיים <math>\left|\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx\right|=\int\limits_a^b |f(x)|\mathrm dx</math> ואם <math>|f(x)\le m</math> ב-<math>[a,b]</math> אז <math>\left|\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx\right|\le m(b-1)</math>
# אם <math>f(x)=m</math> (פונקציה קבועה) אז <math>\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx= m(b-1)</math>
...
<math>=\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k+c\sum_{k=1}^n g(c_k)\Delta x_k</math>. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math> כיוון שנתון ש-f ו-g אינטגרביליות אגף ימין שואף לגבול, ז"א <math>\lim_{\lambda(P)\to0} S(f,P,P')=\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx+c\int\limits_a^b g(x)\mathrm dx</math>. עצם קיום הגבול אומר ש-<math>f+cg</math> אינטגרבילית ולפי ערך הגבול נסיק <math>\int\limits_a^b\Big(f(x)+cg(x)\Big)\mathrm dx\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx+c\int\limits_a^b g(x)\mathrm dx</math>
