שינויים
ניתן לראות ששדה הרציונאליים אינו שלם. נגדיר קבוצה של כל המספרים הרציונאליים אשר בריבוע קטנים משתים (כלומר המספרים שקטנים משורש שתים). לכל חסם מלעיל של הקבוצה, יש חסם מלעיל הקרוב יותר לשורש שתים הקטן ממנו (שכן שורש שתים עצמו אינו רציונאלי ולכן לא יכול להוות חסם מלעיל). לכן אין אף חסם עליון לקבוצה החסומה מלעיל שבנינו.
'''במילים:''' M חסם עליון אם הוא חסם מלעיל וגם אין חסם מלעיל הקטן ממנו. כלומר, כל מספר הקטן ממנו אינו חסם מלעיל. כלומר, אם נקטין את M בגודל כלשהו שאינו אפס נקבל מספר שאינו חסם מלעיל. מספר אינו חסם מלעיל אם"ם יש איבר בקבוצה הגדול ממנו.
(ניסוח דומה עבור החסם התחתון.)
'''הוכחה.''' נניח M חסם עליון. מתוך ההגדרה של חסם עליון נובע בפרט ש-M חסם מלעיל. נותר להוכיח כי
::<math>\forall\epsilon >0\exists a\in A:a>M-\epsilon</math>
נניח בשלילה כי קיים <math>\epsilon >0</math> כל שלכל האיברים <math>a\in A</math> מתקיים <math>a\leq M-\epsilon</math>.
לכן, לפי ההגדרה, <math>M-\epsilon</math> הוא חסם מלעיל של הקבוצה. מכיוון שאפסילון גדול מאפס, זה חסם '''קטן ממש''' מ-M בסתירה לכך ש-M הינו חסם המלעיל הכי קטן (זו ההגדרה של חסם עליון).
בכיוון השני, נניח כי M חסם מלעיל וגם <math>\forall\epsilon >0\exists a\in A:a>M-\epsilon</math>.
יהי N חסם מלעיל כלשהו של A, נניח בשלילה כי <math>N<M</math>. אזי, לכל <math>\epsilon >0</math> קיים <math>a\in A</math> כך ש <math>a>M-\epsilon</math> אבל N חסם מלעיל ולכן מתקיים <math>N\geq a>M-\epsilon</math>. לכן למעשה מתקיים <math>M-N<\epsilon</math> לכל אפסילון חיובי.
בפרט, זה מתקיים עבור <math>\epsilon = M-N</math> (הרי הנחנו בשלילה שM-N הינו מספר חיובי) ולכן קיבלנו את הסתירה <math>M-N<M-N</math>.
