נניח בשלילה כי קיים <math>\epsilon >0</math> כל שלכל האיברים <math>a\in A</math> מתקיים <math>a\leq M-\epsilon</math>.
לכן, לפי ההגדרה, <math>M-\epsilon</math> הוא חסם מלעיל של הקבוצה. מכיוון שאפסילון גדול מאפס, זה חסם '''קטן ממש''' מ-M בסתירה לכך ש-M הינו חסם המלעיל הכי קטן (זו ההגדרה של חסם עליון).שאפ
בכיוון השני, נניח כי M חסם מלעיל וגם '''תרגיל.''' תהי <math>A=\forall{\epsilon >0\exists afrac{1}{n^2} + 2(-1)^n|n\in A:a>M-\epsilon</math>. יהי mathbb{N חסם מלעיל כלשהו של A, נניח בשלילה כי <math>N<M</math>. אזי, לכל <math>}\epsilon >0}</math> קיים <math>a\in A</math> כך ש <math>a>M-\epsilon</math> אבל N מצא חסם מלעיל ולכן מתקיים <math>N\geq a>M-\epsilon</math>. לכן למעשה מתקיים <math>M-N<\epsilon</math> לכל אפסילון חיובי. בפרטעליון, זה מתקיים עבור <math>\epsilon = M-N</math> חסם עליון, מינימום ומקסימום (הרי הנחנו בשלילה שM-N הינו מספר חיוביאם הם קיימים) ולכן קיבלנו את הסתירה <math>M-N<M-N</math>.
