שינויים
/* תתי סדרות */
מצא את '''כל''' הגבולות החלקיים של הסדרה <math>a_n=(-1)^n(5-\frac{4}{2^n})</math>
'''פתרון.'''
נביט בתת הסדרה המורכבת מהאיברים הזוגיים <math>a_{2k}=(5-\frac{4}{2^{2k}}\rightarrow 5-0=5</math>
באופן דומה סדרת האי זוגיים שואפת למינוס 5. האם חמש ומינוס חמש הם הגבולות החלקיים היחידים של הסדרה?
נניח בשלילה שהיה גבול חלקי אחר. לפי ההגדרה, קיימת תת סדרה השואפת אליו. בהכרח היו בתת סדרה זו אינסוף איברים זוגיים '''או''' אינסוף איברים אי זוגיים. נביט בתת הסדרה המורכבת מאינסוף איברים אילו בתוך תת הסדרה. מצד אחד הם שואפים לפלוס או מינוס חמש כי הם מהווים תת סדרה של האיברים הזוגיים או האי זוגיים, אבל מצד שני הם שואפים לגבול החלקי האחר מכיוון שהם מהווים תת סדרה של תת הסדרה המתכנסת אליו, בסתירה.
<font size=4 color=#a7adcd>
'''דוגמא.'''
</font>
לסדרה הבאה, אינסוף גבולות חלקיים:
::<math>1,1,\frac{1}{2},1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...</math>
<font size=4 color=#a7adcd>
'''תרגיל.'''
</font>
מצא סדרה שקבוצת הגבולות החלקיים שלה מהווה את כל המספרים הממשיים.
'''פתרון.'''
נסדר את קבוצת המספרים הרציונאליים <math>\mathbb{Q}</math>. כיוון שבכל סביב של מספר ממשי ישנו מספר רציונאלי, ניתן לבנות סדרת מספרים רציונאליים השואפת אליו. בנוסף, ברור כי יש תתי סדרות השואפות לפלוס ומינוס אינסוף.
בכוונה לא ניסחנו את הפתרון באופן פורמלי ומדוייק, עשו את זה בעצמכם כתרגיל.
