שינויים

תהי <math>f </math> פונקציה ממשית הגזירה בנקודה <math>a</math> . אם קיימת סביבה של סביבת <math>a </math> עבורה הפונקציה גדולה או שווה למשיק בנקודה <math>a</math> , אומרים כי הפונקציה '''קמורה כלפי מעלה''' ב-<math>a</math> .

באופן דומה, אם קיימת סביבה של סביבת <math>a </math> עבורה הפונקציה קטנה או שווה למשיק בנקודה <math>a</math> , אומרים כי הפונקציה '''קמורה כלפי מטה''' ב-<math>a</math> .

אם <math>f </math> גזירה פעמיים ברציפות בנקודה <math>a</math> , והנגזרת השנייה השניה חיובית אזי הפונקציה קמורה כלפי מעלה ב-<math>a</math> . אם הנגזרת השנייה השניה שלילית הפונקציה קמורה כלפי מטה, אחרת לא ניתן לקבוע.

''';הוכחה.''' לפי פיתוח טילור ההפרש בין הפונקציה למשיק שווה:::<math>f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)=\fracdfrac{f''(c)}{2}(x-a)^2</math>

מתוך רציפות הנגזרת השנייה, אם היא חיובית ב-<math>a </math> קיימת סביבה של סביבת <math>a </math> עבורה לכל <math>c </math> מתקיים <math>f''(c)>0</math>. באופן דומה עבור נגזרת שנייה שניה שלילית.